Bài học

Cực trị của hàm số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định đúng điểm cực đại, điểm cực tiểu và giá trị cực đại, cực tiểu của một hàm số từ bảng biến thiên hoặc từ dấu hiệu đạo hàm cấp hai, đồng thời giải được bài toán tìm tham số $m$ để hàm số có một số lượng cực trị cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em quy trình lập bảng biến thiên và chỉ ra rằng chiều biến thiên đổi hướng đúng tại các điểm tới hạn (same-grade bridge). Bài này gọi tên chính xác hiện tượng đó: điểm mà tại đó hàm số chuyển từ đồng biến sang nghịch biến, hoặc ngược lại.

Khởi động

Độ cao của chiếc diều ở bài trước tăng dần rồi giảm dần — đúng lúc gió đổi hướng, diều đạt độ cao lớn nhất so với những thời điểm ngay trước và ngay sau đó, dù sau này gió có thể đổi chiều lần nữa và diều còn lên cao hơn thế. Cái "lớn nhất tạm thời, chỉ so với lân cận" đó gọi là gì trong ngôn ngữ toán học?

Kiến thức trọng tâm

Hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \le f(x_0)$ với mọi $x \in (a;b)$ , $x \neq x_0$ ; khi đó $x_0$ gọi là điểm cực đại và $f(x_0)$ là giá trị cực đại. Định nghĩa cực tiểu tương tự, chỉ đổi chiều bất đẳng thức thành $f(x) \ge f(x_0)$ . Cần chú ý ngay: đây là so sánh trong một khoảng lân cận nhỏ quanh $x_0$ , không phải so với toàn bộ tập xác định — một điểm cực tiểu hoàn toàn có thể lớn hơn một điểm cực đại khác của cùng hàm số, nếu hai điểm đó ở cách xa nhau.

Hàm số $f$ đạt cực đại tại điểm $x_0$ nếu tồn tại một khoảng $(a;b)$ chứa $x_0$ sao cho $f(x) \le f(x_0)$ với mọi $x \in (a;b)$, $x \neq x_0$; khi đó $x_0$ gọi là điểm cực đại và $f(x_0)$ là giá trị cực đại. Định nghĩa cực tiểu tương tự, chỉ đổi chiều bất đẳng thức thành $f(x) \ge f(x_0)$. Cần chú ý ngay: đây là so sánh trong một khoảng lân cận nhỏ quanh $x_0$, không phải so với toàn bộ tập xác định — một điểm cực tiểu hoàn toàn có thể lớn hơn một điểm cực đại khác của cùng hàm số, nếu hai điểm đó ở cách xa nhau.

Dấu hiệu nhận biết cực trị từ bảng biến thiên: nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu; nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x_0$ (dù $f'(x_0)=0$ ) thì $x_0$ không phải là điểm cực trị. Điều kiện " $f'(x_0)=0$ " chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ — đây là nơi nhiều em mắc sai lầm nhất.

Dấu hiệu nhận biết cực trị từ bảng biến thiên: nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu; nếu $f'(x)$ không đổi dấu khi qua $x_0$ (dù $f'(x_0)=0$) thì $x_0$ không phải là điểm cực trị. Điều kiện "$f'(x_0)=0$" chỉ là điều kiện cần, không phải điều kiện đủ — đây là nơi nhiều em mắc sai lầm nhất.

Với những hàm mà đạo hàm cấp hai dễ tính (đa thức bậc thấp), có một cách kiểm tra nhanh hơn việc lập cả bảng biến thiên: nếu $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)<0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)>0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Khi $f''(x_0)=0$ , dấu hiệu đạo hàm cấp hai không kết luận được gì — phải quay lại xét dấu $f'(x)$ trực tiếp.

Với những hàm mà đạo hàm cấp hai dễ tính (đa thức bậc thấp), có một cách kiểm tra nhanh hơn việc lập cả bảng biến thiên: nếu $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)<0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; nếu $f'(x_0)=0$ và $f''(x_0)>0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Khi $f''(x_0)=0$, dấu hiệu đạo hàm cấp hai không kết luận được gì — phải quay lại xét dấu $f'(x)$ trực tiếp.

Ví dụ

Tìm cực trị của f(x)=x³-3x+1

1
Tìm các điểm cực trị của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$ .
Tìm các điểm cực trị của hàm số $f(x)=x^3-3x+1$.
2
Ta có $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$ . Xét $f'(x)=0 \iff x=1$ hoặc $x=-1$ . (1)
Ta có $f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$. Xét $f'(x)=0 \iff x=1$ hoặc $x=-1$. (1)
3
Từ (1): trên $(-\infty;-1)$ chọn $x=-2$ : $f'(-2)=9>0$ . Trên $(-1;1)$ chọn $x=0$ : $f'(0)=-3<0$ . Trên $(1;+\infty)$ chọn $x=2$ : $f'(2)=9>0$ .
Từ (1): trên $(-\infty;-1)$ chọn $x=-2$: $f'(-2)=9>0$. Trên $(-1;1)$ chọn $x=0$: $f'(0)=-3<0$. Trên $(1;+\infty)$ chọn $x=2$: $f'(2)=9>0$.
4
$f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$ , nên $x=-1$ là điểm cực đại. Ta có $f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$ .
$f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x=-1$, nên $x=-1$ là điểm cực đại. Ta có $f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3$.
5
$f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$ , nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Ta có $f(1)=1-3+1=-1$ .
$f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x=1$, nên $x=1$ là điểm cực tiểu. Ta có $f(1)=1-3+1=-1$.
6
Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $y=3$ , đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $y=-1$ .
Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ với giá trị cực đại $y=3$, đạt cực tiểu tại $x=1$ với giá trị cực tiểu $y=-1$.
7
Ta có $f''(x)=6x$ . Tại $x=-1$ : $f''(-1)=-6<0$ , khớp với kết luận $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$ : $f''(1)=6>0$ , khớp với kết luận $x=1$ là điểm cực tiểu. Hai cách làm cho cùng một kết quả, đúng như dự đoán.
Ta có $f''(x)=6x$. Tại $x=-1$: $f''(-1)=-6<0$, khớp với kết luận $x=-1$ là điểm cực đại. Tại $x=1$: $f''(1)=6>0$, khớp với kết luận $x=1$ là điểm cực tiểu. Hai cách làm cho cùng một kết quả, đúng như dự đoán.

Toạ độ hai điểm khớp đúng với dấu

f'(x)

đổi chiều tìm được ở bảng biến thiên bên trên.Toạ độ hai điểm khớp đúng với dấu $f'(x)$ đổi chiều tìm được ở bảng biến thiên bên trên.

Sai lầm thường gặp

Xét $g(x)=x^3$ : ta có $g'(x)=3x^2 \ge 0$ với mọi $x$ , và $g'(0)=0$ . Nhiều em kết luận vội " $x=0$ là điểm cực trị vì $g'(0)=0$ ". Sai: $g'(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ — nó dương ở cả hai bên — nên hàm luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $x=0$ chỉ là một điểm uốn, không phải cực trị. Luôn kiểm tra dấu $f'(x)$ hai bên điểm nghi ngờ, đừng dừng lại ở việc giải $f'(x)=0$ .

Xét $g(x)=x^3$: ta có $g'(x)=3x^2 \ge 0$ với mọi $x$, và $g'(0)=0$. Nhiều em kết luận vội "$x=0$ là điểm cực trị vì $g'(0)=0$". Sai: $g'(x)$ không đổi dấu khi qua $x=0$ — nó dương ở cả hai bên — nên hàm luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$ và $x=0$ chỉ là một điểm uốn, không phải cực trị. Luôn kiểm tra dấu $f'(x)$ hai bên điểm nghi ngờ, đừng dừng lại ở việc giải $f'(x)=0$.

Bài toán tham số về số cực trị

Một dạng đề thi tốt nghiệp THPT quen thuộc không hỏi trực tiếp cực trị là bao nhiêu, mà cho hàm số phụ thuộc tham số $m$ và hỏi điều kiện của $m$ để hàm số có đủ số lượng cực trị mong muốn. Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax+b$ ( $a$ chứa $m$ ), $f'(x)=3x^2+a$ là một tam thức bậc hai theo $x$ : hàm có hai điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Một dạng đề thi tốt nghiệp THPT quen thuộc không hỏi trực tiếp cực trị là bao nhiêu, mà cho hàm số phụ thuộc tham số $m$ và hỏi điều kiện của $m$ để hàm số có đủ số lượng cực trị mong muốn. Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax+b$ ($a$ chứa $m$), $f'(x)=3x^2+a$ là một tam thức bậc hai theo $x$: hàm có hai điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ

Tìm m để f(x)=x³-3mx+1 có hai điểm cực trị

1
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị.
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị.
2
Ta có $f'(x)=3x^2-3m=3(x^2-m)$ .
Ta có $f'(x)=3x^2-3m=3(x^2-m)$.
3
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $m>0$ . (1)
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $f'(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt, tức phương trình $x^2=m$ có hai nghiệm phân biệt. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $m>0$. (1)
4
Khi $m=0$ : $f'(x)=3x^2 \ge 0$ với mọi $x$ , không đổi dấu qua $x=0$ (giống ví dụ $g(x)=x^3$ ở trên) nên không có cực trị. Khi $m<0$ : $f'(x)=3x^2-3m=3x^2+3|m|>0$ với mọi $x$ , hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$ , cũng không có cực trị. Cả hai trường hợp biên đều khớp với điều kiện (1) là chỉ nhận $m>0$ .
Khi $m=0$: $f'(x)=3x^2 \ge 0$ với mọi $x$, không đổi dấu qua $x=0$ (giống ví dụ $g(x)=x^3$ ở trên) nên không có cực trị. Khi $m<0$: $f'(x)=3x^2-3m=3x^2+3|m|>0$ với mọi $x$, hàm đồng biến trên $\mathbb{R}$, cũng không có cực trị. Cả hai trường hợp biên đều khớp với điều kiện (1) là chỉ nhận $m>0$.
5
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$ .
Hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$.

Với

m=1>0

, hàm có đúng hai điểm cực trị (trùng với ví dụ đầu bài vì

3 \times 1=3

); với

m=-1<0

, hàm đồng biến trên toàn trục số và không có điểm cực trị nào.Với $m=1>0$, hàm có đúng hai điểm cực trị (trùng với ví dụ đầu bài vì $3 \times 1=3$); với $m=-1<0$, hàm đồng biến trên toàn trục số và không có điểm cực trị nào.

Quan sát đồ thị: khi $m=1$ (thoả $m>0$ ), đường cong đúng là hàm $f(x)=x^3-3x+1$ đã khảo sát ở ví dụ đầu — hai điểm cực trị hiện rõ như hai chỗ lượn sóng. Khi $m=-1$ (không thoả $m>0$ ), đường cong đi lên liên tục, không hề có chỗ lượn nào — đúng như kết luận $f'(x)>0$ với mọi $x$ khi $m<0$ .

Quan sát đồ thị: khi $m=1$ (thoả $m>0$), đường cong đúng là hàm $f(x)=x^3-3x+1$ đã khảo sát ở ví dụ đầu — hai điểm cực trị hiện rõ như hai chỗ lượn sóng. Khi $m=-1$ (không thoả $m>0$), đường cong đi lên liên tục, không hề có chỗ lượn nào — đúng như kết luận $f'(x)>0$ với mọi $x$ khi $m<0$.

Đáng chú ý hơn là điều xảy ra khi $m$ giảm dần về $0$ : hai điểm cực trị $x=-\sqrt{m}$ và $x=\sqrt{m}$ tiến lại gần nhau, và khi $m=0$ thì cả hai trùng làm một tại $x=0$ — đúng là trường hợp biên đã kiểm tra ở ví dụ trước, nơi $x=0$ không còn là cực trị nữa vì $f'(x)$ không đổi dấu. Nhìn theo cách này, điều kiện $m>0$ không phải một con số tách rời, mà là điều kiện để hai nghiệm của $f'(x)=0$ "tách" ra khỏi nhau thành hai điểm phân biệt trên trục số — một cách hiểu sẽ còn hữu ích khi em gặp lại dạng toán tham số này ở phần ôn tập cuối khoá.

Đáng chú ý hơn là điều xảy ra khi $m$ giảm dần về $0$: hai điểm cực trị $x=-\sqrt{m}$ và $x=\sqrt{m}$ tiến lại gần nhau, và khi $m=0$ thì cả hai trùng làm một tại $x=0$ — đúng là trường hợp biên đã kiểm tra ở ví dụ trước, nơi $x=0$ không còn là cực trị nữa vì $f'(x)$ không đổi dấu. Nhìn theo cách này, điều kiện $m>0$ không phải một con số tách rời, mà là điều kiện để hai nghiệm của $f'(x)=0$ "tách" ra khỏi nhau thành hai điểm phân biệt trên trục số — một cách hiểu sẽ còn hữu ích khi em gặp lại dạng toán tham số này ở phần ôn tập cuối khoá.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$x_0$ là cực đại nếu $f'(x)$ đổi dấu dương sang âm qua $x_0$ ; là cực tiểu nếu đổi dấu âm sang dương. $f'(x_0)=0$ chỉ là điều kiện cần. Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax+b$ , số điểm cực trị phụ thuộc vào việc $f'(x)=3x^2+a=0$ có hai nghiệm phân biệt hay không.

$x_0$ là cực đại nếu $f'(x)$ đổi dấu dương sang âm qua $x_0$; là cực tiểu nếu đổi dấu âm sang dương. $f'(x_0)=0$ chỉ là điều kiện cần. Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax+b$, số điểm cực trị phụ thuộc vào việc $f'(x)=3x^2+a=0$ có hai nghiệm phân biệt hay không.

Cực trị chỉ là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất so với các điểm lân cận, không phải so với toàn bộ miền đang xét. Chương tiếp theo trả lời câu hỏi thực tế hơn: trên một đoạn $[a;b]$ cụ thể, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất thật sự của hàm số là bao nhiêu?