Bài học

Tính đơn điệu của hàm số bằng bảng biến thiên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xét được dấu của đạo hàm $f'(x)$ để lập bảng biến thiên, từ đó kết luận đúng các khoảng đồng biến, nghịch biến của một hàm số — kể cả khi hàm số là phân thức, có tập xác định bị chia cắt bởi một điểm loại trừ.

Kiến thức nền cần nhớ

Ở lớp 11 em đã học cách tính đạo hàm của đa thức và của thương hai hàm số (prior-grade review). Định lí liên hệ giữa dấu đạo hàm và chiều biến thiên cũng đã được giới thiệu: nếu $f'(x)>0$ trên khoảng $K$ thì $f$ đồng biến trên $K$ ; nếu $f'(x)<0$ trên $K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$ . Điều mới ở lớp 12 không phải là định lí đó, mà là cách dùng nó một cách có hệ thống — lập hẳn một bảng biến thiên cho bất kỳ hàm số nào, thay vì xét từng khoảng rời rạc.

Ở lớp 11 em đã học cách tính đạo hàm của đa thức và của thương hai hàm số (prior-grade review). Định lí liên hệ giữa dấu đạo hàm và chiều biến thiên cũng đã được giới thiệu: nếu $f'(x)>0$ trên khoảng $K$ thì $f$ đồng biến trên $K$; nếu $f'(x)<0$ trên $K$ thì $f$ nghịch biến trên $K$. Điều mới ở lớp 12 không phải là định lí đó, mà là cách dùng nó một cách có hệ thống — lập hẳn một bảng biến thiên cho bất kỳ hàm số nào, thay vì xét từng khoảng rời rạc.

Khởi động

Một chiếc diều được thả lên: dây càng thả ra, diều càng lên cao — cho tới một độ cao nhất định, sau đó gió đổi hướng và diều bắt đầu hạ dần dù dây vẫn tiếp tục thả thêm. Nếu coi độ cao của diều là một hàm theo độ dài dây đã thả, hàm số đó tăng rồi giảm. Làm sao xác định chính xác đoạn nào diều lên, đoạn nào diều xuống, chỉ từ công thức của hàm độ cao — không cần vẽ đồ thị trước?

Kiến thức trọng tâm

Quy trình xét tính đơn điệu của hàm số $y=f(x)$ gồm năm bước: tìm tập xác định $D$ ; tính đạo hàm $f'(x)$ ; giải phương trình $f'(x)=0$ và tìm các điểm $f'(x)$ không xác định trên $D$ — gọi chung là các điểm tới hạn; xét dấu $f'(x)$ trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp (chỉ cần thử một giá trị đại diện trong mỗi khoảng); và cuối cùng lập bảng biến thiên gồm ba dòng — dòng $x$ ghi các điểm tới hạn theo thứ tự tăng dần, dòng $f'(x)$ ghi dấu trên từng khoảng, dòng $f(x)$ vẽ mũi tên đi lên ứng với $f'(x)>0$ và mũi tên đi xuống ứng với $f'(x)<0$ .

Quy trình xét tính đơn điệu của hàm số $y=f(x)$ gồm năm bước: tìm tập xác định $D$; tính đạo hàm $f'(x)$; giải phương trình $f'(x)=0$ và tìm các điểm $f'(x)$ không xác định trên $D$ — gọi chung là các điểm tới hạn; xét dấu $f'(x)$ trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp (chỉ cần thử một giá trị đại diện trong mỗi khoảng); và cuối cùng lập bảng biến thiên gồm ba dòng — dòng $x$ ghi các điểm tới hạn theo thứ tự tăng dần, dòng $f'(x)$ ghi dấu trên từng khoảng, dòng $f(x)$ vẽ mũi tên đi lên ứng với $f'(x)>0$ và mũi tên đi xuống ứng với $f'(x)<0$.

Vì sao chỉ cần thử một giá trị đại diện trong mỗi khoảng mà không phải thử toàn bộ khoảng đó? Vì trên chương trình lớp 12, các hàm số ta khảo sát (đa thức, phân thức bậc nhất/bậc nhất) đều có đạo hàm liên tục trên từng khoảng giữa hai điểm tới hạn liên tiếp. Một hàm liên tục không đổi dấu trên một khoảng nếu nó không triệt tiêu ở đâu trong khoảng đó — mà mọi nghiệm của $f'(x)=0$ đã bị loại ra làm ranh giới các khoảng rồi, nên dấu của $f'(x)$ chắc chắn không đổi giữa hai điểm tới hạn liên tiếp. Thử một điểm là đủ để biết dấu cho cả khoảng.

Xét ví dụ $f(x)=x^3-3x^2+2$ . Ta có $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ , xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$ . Phương trình $f'(x)=0$ cho hai điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ , chia trục số thành ba khoảng. Thử $x=-1$ : $f'(-1)=3(-1)(-3)=9>0$ . Thử $x=1$ : $f'(1)=3(1)(-1)=-3<0$ . Thử $x=3$ : $f'(3)=3(3)(1)=9>0$ . Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty;0)$ , nghịch biến trên $(0;2)$ , và đồng biến trở lại trên $(2;+\infty)$ .

Xét ví dụ $f(x)=x^3-3x^2+2$. Ta có $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$, xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Phương trình $f'(x)=0$ cho hai điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$, chia trục số thành ba khoảng. Thử $x=-1$: $f'(-1)=3(-1)(-3)=9>0$. Thử $x=1$: $f'(1)=3(1)(-1)=-3<0$. Thử $x=3$: $f'(3)=3(3)(1)=9>0$. Vậy $f$ đồng biến trên $(-\infty;0)$, nghịch biến trên $(0;2)$, và đồng biến trở lại trên $(2;+\infty)$.

Hai điểm được đánh dấu chính là hai điểm tới hạn tìm được từ

f'(x)=0

— nơi chiều mũi tên trên bảng biến thiên đổi hướng.Hai điểm được đánh dấu chính là hai điểm tới hạn tìm được từ $f'(x)=0$ — nơi chiều mũi tên trên bảng biến thiên đổi hướng.

Ví dụ

Xét tính đơn điệu của f(x)=x³-3x²+2

1
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$ .
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f(x)=x^3-3x^2+2$.
2
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ . Ta có $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$ .
Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$.
3
Xét $f'(x)=0 \iff 3x(x-2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$ . (1)
Xét $f'(x)=0 \iff 3x(x-2)=0 \iff x=0$ hoặc $x=2$. (1)
4
Từ (1), trên $(-\infty;0)$ chọn $x=-1$ : $f'(-1)=9>0$ . Trên $(0;2)$ chọn $x=1$ : $f'(1)=-3<0$ . Trên $(2;+\infty)$ chọn $x=3$ : $f'(3)=9>0$ .
Từ (1), trên $(-\infty;0)$ chọn $x=-1$: $f'(-1)=9>0$. Trên $(0;2)$ chọn $x=1$: $f'(1)=-3<0$. Trên $(2;+\infty)$ chọn $x=3$: $f'(3)=9>0$.
5
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$ , nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ .
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty;0)$ và $(2;+\infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Với hàm phân thức, tập xác định bị loại trừ tại điểm làm mẫu bằng 0, và mỗi khoảng của tập xác định phải xét đơn điệu riêng — không được nối hai khoảng hai bên điểm loại trừ lại thành một kết luận chung, dù dấu $f'(x)$ có giống nhau ở cả hai bên.

Ví dụ

Lập bảng biến thiên của f(x)=(x-1)/(x+2)

1
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$ .
Lập bảng biến thiên của hàm số $f(x)=\dfrac{x-1}{x+2}$.
2
Hàm số xác định khi $x+2 \neq 0$ , tức $x \neq -2$ . Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ .
Hàm số xác định khi $x+2 \neq 0$, tức $x \neq -2$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$.
3
Áp dụng công thức đạo hàm thương: $f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+2) - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}$ .
Áp dụng công thức đạo hàm thương: $f'(x)=\dfrac{1 \cdot (x+2) - (x-1) \cdot 1}{(x+2)^2}=\dfrac{3}{(x+2)^2}$.
4
Ta có $(x+2)^2>0$ với mọi $x\neq -2$ , và tử số $3>0$ , nên $f'(x)>0$ với mọi $x\in D$ .
Ta có $(x+2)^2>0$ với mọi $x\neq -2$, và tử số $3>0$, nên $f'(x)>0$ với mọi $x\in D$.
5
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$ — không được kết luận hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ như một khoảng duy nhất, vì $x=-2$ không thuộc tập xác định nên không so sánh được giá trị hai bên qua điểm đó.
Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty;-2)$ và $(-2;+\infty)$ — không được kết luận hàm đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ như một khoảng duy nhất, vì $x=-2$ không thuộc tập xác định nên không so sánh được giá trị hai bên qua điểm đó.

Cả hai nhánh đều đồng biến — khớp với

f'(x)=3/(x+2)^2>0

trên toàn tập xác định — nhưng không nhánh nào có cực trị.Cả hai nhánh đều đồng biến — khớp với $f'(x)=3/(x+2)^2>0$ trên toàn tập xác định — nhưng không nhánh nào có cực trị.

Sai lầm thường gặp

Nhiều em thấy $f'(x)>0$ trên cả hai khoảng của tập xác định rồi vội viết "hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ ". Đây là sai lầm: định nghĩa đồng biến đòi hỏi so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$ khi $x_1<x_2$ trong cùng một khoảng của tập xác định. Với $x_1=-3$ và $x_2=0$ (hai bên điểm $-2$ ), ta có $f(-3)=4$ còn $f(0)=-0{,}5$ — giá trị giảm dù $x$ tăng, vì $x_1$ và $x_2$ nằm ở hai khoảng khác nhau, ngăn cách bởi tiệm cận đứng.

Nhiều em thấy $f'(x)>0$ trên cả hai khoảng của tập xác định rồi vội viết "hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$". Đây là sai lầm: định nghĩa đồng biến đòi hỏi so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$ khi $x_1<x_2$ **trong cùng một khoảng của tập xác định**. Với $x_1=-3$ và $x_2=0$ (hai bên điểm $-2$), ta có $f(-3)=4$ còn $f(0)=-0{,}5$ — giá trị giảm dù $x$ tăng, vì $x_1$ và $x_2$ nằm ở hai khoảng khác nhau, ngăn cách bởi tiệm cận đứng.

Một dạng đề khác không cho công thức $f(x)$ mà cho ngay dấu của $f'(x)$ — đúng như đề bài sẽ trình bày ở một số câu trắc nghiệm — và yêu cầu lập luôn bảng biến thiên. Kỹ năng cần có ở đây không phải tính đạo hàm, mà là đọc đúng dấu và chuyển thành chiều mũi tên.

Ví dụ

Lập bảng biến thiên từ dấu f'(x) cho trước

1
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ , có đạo hàm $f'(x)$ mang dấu như sau: $f'(x)<0$ trên $(-\infty;-1)$ , $f'(-1)=0$ , $f'(x)>0$ trên $(-1;2)$ , $f'(2)=0$ , $f'(x)<0$ trên $(2;+\infty)$ . Lập bảng biến thiên của $f$ và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến.
Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$, có đạo hàm $f'(x)$ mang dấu như sau: $f'(x)<0$ trên $(-\infty;-1)$, $f'(-1)=0$, $f'(x)>0$ trên $(-1;2)$, $f'(2)=0$, $f'(x)<0$ trên $(2;+\infty)$. Lập bảng biến thiên của $f$ và chỉ ra khoảng đồng biến, nghịch biến.
2
Ta có ba khoảng liên tiếp với dấu lần lượt là âm, dương, âm, phân cách bởi hai điểm tới hạn $x=-1$ và $x=2$ .
Ta có ba khoảng liên tiếp với dấu lần lượt là âm, dương, âm, phân cách bởi hai điểm tới hạn $x=-1$ và $x=2$.
3
Dấu âm ứng với mũi tên đi xuống (nghịch biến), dấu dương ứng với mũi tên đi lên (đồng biến). Bảng biến thiên gồm: đi xuống trên $(-\infty;-1)$ , đi lên trên $(-1;2)$ , đi xuống trên $(2;+\infty)$ .
Dấu âm ứng với mũi tên đi xuống (nghịch biến), dấu dương ứng với mũi tên đi lên (đồng biến). Bảng biến thiên gồm: đi xuống trên $(-\infty;-1)$, đi lên trên $(-1;2)$, đi xuống trên $(2;+\infty)$.
4
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$ , đồng biến trên khoảng $(-1;2)$ — không cần biết công thức $f(x)$ cụ thể vẫn kết luận được đầy đủ.
Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-1)$ và $(2;+\infty)$, đồng biến trên khoảng $(-1;2)$ — không cần biết công thức $f(x)$ cụ thể vẫn kết luận được đầy đủ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Xét tính đơn điệu = tìm tập xác định, tính $f'(x)$ , giải $f'(x)=0$ , xét dấu $f'(x)$ trên từng khoảng rồi lập bảng biến thiên. Với hàm phân thức, mỗi khoảng của tập xác định được kết luận đồng biến hay nghịch biến riêng, không gộp qua điểm loại trừ.

Xét tính đơn điệu = tìm tập xác định, tính $f'(x)$, giải $f'(x)=0$, xét dấu $f'(x)$ trên từng khoảng rồi lập bảng biến thiên. Với hàm phân thức, mỗi khoảng của tập xác định được kết luận đồng biến hay nghịch biến riêng, không gộp qua điểm loại trừ.

Quan sát kỹ bảng biến thiên của $f(x)=x^3-3x^2+2$ : đúng tại hai điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$ , chiều biến thiên đổi hướng. Bài tiếp theo gọi tên hai điểm đặc biệt này là cực trị của hàm số, và đưa ra cách xác định chúng một cách tường minh.

Quan sát kỹ bảng biến thiên của $f(x)=x^3-3x^2+2$: đúng tại hai điểm tới hạn $x=0$ và $x=2$, chiều biến thiên đổi hướng. Bài tiếp theo gọi tên hai điểm đặc biệt này là cực trị của hàm số, và đưa ra cách xác định chúng một cách tường minh.