Bài học

Ôn tập: Đơn điệu và cực trị có tham số m

Mục tiêu bài học

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — nó vận dụng đúng những gì đã học ở Chương 1 (đơn điệu) và Chương 2 (cực trị) vào đúng dạng câu hỏi tham số $m$ mà đề thi tốt nghiệp THPT hay dùng. Sau bài này, em giải được hai dạng toán tham số phổ biến nhất của mảng đơn điệu — cực trị.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ công cụ dùng trong bài này đã có sẵn: liên hệ dấu $f'(x)$ với chiều biến thiên (Chương 1), dấu hiệu nhận biết cực trị và điều kiện có hai điểm cực trị của hàm bậc ba (Chương 2). Điểm mới duy nhất là một công cụ đại số quen thuộc từ lớp 10: xét dấu tam thức bậc hai bằng biệt thức $\Delta$ , áp dụng cho chính $f'(x)$ khi nó là một tam thức bậc hai theo $x$ .

Toàn bộ công cụ dùng trong bài này đã có sẵn: liên hệ dấu $f'(x)$ với chiều biến thiên (Chương 1), dấu hiệu nhận biết cực trị và điều kiện có hai điểm cực trị của hàm bậc ba (Chương 2). Điểm mới duy nhất là một công cụ đại số quen thuộc từ lớp 10: xét dấu tam thức bậc hai bằng biệt thức $\Delta$, áp dụng cho chính $f'(x)$ khi nó là một tam thức bậc hai theo $x$.

Khởi động

Ở Chương 2, em đã tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị: điều kiện là $m>0$ . Câu hỏi đề thi thật hiếm khi dừng lại ở đó — nó thường thêm một ràng buộc nữa lên chính hai điểm cực trị đó, ví dụ khoảng cách giữa chúng, hoặc yêu cầu hàm số đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ thay vì hỏi về cực trị. Làm sao chuyển một câu hỏi về "đồng biến trên $\mathbb{R}$ " thành một điều kiện đại số cho $m$ ?

Ở Chương 2, em đã tìm $m$ để $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị: điều kiện là $m>0$. Câu hỏi đề thi thật hiếm khi dừng lại ở đó — nó thường thêm một ràng buộc nữa lên chính hai điểm cực trị đó, ví dụ khoảng cách giữa chúng, hoặc yêu cầu hàm số đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ thay vì hỏi về cực trị. Làm sao chuyển một câu hỏi về "đồng biến trên $\mathbb{R}$" thành một điều kiện đại số cho $m$?

Dạng 1 — Tham số để hàm đồng biến trên toàn miền xác định

Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ , ta có $f'(x)=3x^2+2ax+b$ — một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số $x^2$ dương. Hàm $f$ đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$ , tức tam thức $f'(x)$ không có hai nghiệm phân biệt đổi dấu — nói cách khác, biệt thức $\Delta' \le 0$ . Đây chính là điều kiện "biên" của dạng toán hai cực trị đã học: hàm KHÔNG có cực trị (hoặc chỉ có một điểm mà đạo hàm chạm 0 rồi không đổi dấu, giống ví dụ $g(x)=x^3$ ở Chương 2) khi và chỉ khi $\Delta' \le 0$ .

Với hàm bậc ba $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$, ta có $f'(x)=3x^2+2ax+b$ — một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số $x^2$ dương. Hàm $f$ đồng biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$, tức tam thức $f'(x)$ không có hai nghiệm phân biệt đổi dấu — nói cách khác, biệt thức $\Delta' \le 0$. Đây chính là điều kiện "biên" của dạng toán hai cực trị đã học: hàm KHÔNG có cực trị (hoặc chỉ có một điểm mà đạo hàm chạm 0 rồi không đổi dấu, giống ví dụ $g(x)=x^3$ ở Chương 2) khi và chỉ khi $\Delta' \le 0$.

Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: một câu hỏi tưởng như thuần đơn điệu ("đồng biến trên $\mathbb{R}$ ") hoá ra chỉ là cách hỏi khác của đúng bài toán cực trị đã học — thay vì hỏi "có bao nhiêu cực trị", đề hỏi "không có cực trị nào", và cả hai câu hỏi đều quy về cùng một biệt thức $\Delta'$ của $f'(x)$ , chỉ khác chiều bất đẳng thức. Nếu hệ số bậc ba âm (dạng $f(x)=-x^3+ax^2+bx+c$ ), lập luận đối xứng: $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'(x) \le 0$ với mọi $x$ , tức khi hệ số bậc hai của $f'(x)$ âm và $\Delta' \le 0$ — cùng một kỹ thuật, chỉ đổi dấu.

Đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động: một câu hỏi tưởng như thuần đơn điệu ("đồng biến trên $\mathbb{R}$") hoá ra chỉ là cách hỏi khác của đúng bài toán cực trị đã học — thay vì hỏi "có bao nhiêu cực trị", đề hỏi "không có cực trị nào", và cả hai câu hỏi đều quy về cùng một biệt thức $\Delta'$ của $f'(x)$, chỉ khác chiều bất đẳng thức. Nếu hệ số bậc ba âm (dạng $f(x)=-x^3+ax^2+bx+c$), lập luận đối xứng: $f$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'(x) \le 0$ với mọi $x$, tức khi hệ số bậc hai của $f'(x)$ âm và $\Delta' \le 0$ — cùng một kỹ thuật, chỉ đổi dấu.

Ví dụ

Tìm m để f(x)=x³-3x²+mx+2 đồng biến trên ℝ

1
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3x^2+mx+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Tìm tất cả giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3x^2+mx+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
2
Ta có $f'(x)=3x^2-6x+m$ , một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số bậc hai $3>0$ .
Ta có $f'(x)=3x^2-6x+m$, một tam thức bậc hai theo $x$ với hệ số bậc hai $3>0$.
3
Hàm $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$ . Vì hệ số bậc hai dương, điều này tương đương $\Delta' \le 0$ , với $\Delta'=(-3)^2-3m=9-3m$ . (1)
Hàm $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$. Vì hệ số bậc hai dương, điều này tương đương $\Delta' \le 0$, với $\Delta'=(-3)^2-3m=9-3m$. (1)
4
Từ (1): $9-3m \le 0 \iff m \ge 3$ .
Từ (1): $9-3m \le 0 \iff m \ge 3$.
5
Tại $m=3$ : $f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 \ge 0$ với mọi $x$ , chỉ bằng $0$ tại $x=1$ và không đổi dấu qua điểm đó — đúng như dấu hiệu ở Chương 2, $x=1$ không phải cực trị, hàm vẫn đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$ . Vậy $m=3$ được nhận.
Tại $m=3$: $f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2 \ge 0$ với mọi $x$, chỉ bằng $0$ tại $x=1$ và không đổi dấu qua điểm đó — đúng như dấu hiệu ở Chương 2, $x=1$ không phải cực trị, hàm vẫn đồng biến trên toàn $\mathbb{R}$. Vậy $m=3$ được nhận.
6
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m \ge 3$ .
Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $m \ge 3$.

Tại

m=3

(đúng biên

\Delta'=0

), đường cong vẫn đi lên liên tục — chỉ độ dốc bằng 0 tức thời tại

x=1

. Tại

m=1<3

, đường cong lượn rõ và có hai điểm cực trị — không còn đồng biến trên

\mathbb{R}

.Tại $m=3$ (đúng biên $\Delta'=0$), đường cong vẫn đi lên liên tục — chỉ độ dốc bằng 0 tức thời tại $x=1$. Tại $m=1<3$, đường cong lượn rõ và có hai điểm cực trị — không còn đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Dạng 2 — Tham số ràng buộc trên hai điểm cực trị

Khi đề đã cho hàm có hai điểm cực trị và ràng buộc thêm một hệ thức lên chúng (khoảng cách, tổng, tích, hay một điều kiện hình học), cách làm là biểu diễn hai điểm cực trị theo $m$ bằng công thức nghiệm, rồi thay vào hệ thức đề cho để tìm phương trình theo $m$ .

Ví dụ

Tìm m để f(x)=x³-3mx+1 có hai điểm cực trị cách nhau 4 đơn vị

1
Tìm $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1<x_2$ ) thoả $x_2-x_1=4$ .
Tìm $m$ để hàm số $f(x)=x^3-3mx+1$ có hai điểm cực trị $x_1, x_2$ (với $x_1<x_2$) thoả $x_2-x_1=4$.
2
Ta có $f'(x)=3x^2-3m=3(x^2-m)$ . Theo Chương 2, hàm có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$ . (1)
Ta có $f'(x)=3x^2-3m=3(x^2-m)$. Theo Chương 2, hàm có hai điểm cực trị khi và chỉ khi $m>0$. (1)
3
Từ (1), $f'(x)=0 \iff x^2=m \iff x=\pm\sqrt{m}$ . Vì $x_1<x_2$ , ta có $x_1=-\sqrt{m}$ , $x_2=\sqrt{m}$ .
Từ (1), $f'(x)=0 \iff x^2=m \iff x=\pm\sqrt{m}$. Vì $x_1<x_2$, ta có $x_1=-\sqrt{m}$, $x_2=\sqrt{m}$.
4
Ta có $x_2-x_1=\sqrt{m}-(-\sqrt{m})=2\sqrt{m}$ . Theo đề, $2\sqrt{m}=4 \iff \sqrt{m}=2 \iff m=4$ .
Ta có $x_2-x_1=\sqrt{m}-(-\sqrt{m})=2\sqrt{m}$. Theo đề, $2\sqrt{m}=4 \iff \sqrt{m}=2 \iff m=4$.
5
$m=4>0$ (TMĐK). Kiểm tra cụ thể: tại $m=4$ , $f(x)=x^3-12x+1$ , hai điểm cực trị là $x=-2$ và $x=2$ ; $f(-2)=-8+24+1=17$ , $f(2)=8-24+1=-15$ , khoảng cách $x_2-x_1=2-(-2)=4$ — đúng như yêu cầu.
$m=4>0$ (TMĐK). Kiểm tra cụ thể: tại $m=4$, $f(x)=x^3-12x+1$, hai điểm cực trị là $x=-2$ và $x=2$; $f(-2)=-8+24+1=17$, $f(2)=8-24+1=-15$, khoảng cách $x_2-x_1=2-(-2)=4$ — đúng như yêu cầu.
6
Giá trị cần tìm là $m=4$ .
Giá trị cần tìm là $m=4$.

Ví dụ trên biểu diễn được $x_1, x_2$ trực tiếp vì $f'(x)=3x^2-3m$ không có số hạng bậc nhất, nên hai nghiệm đối nhau. Với dạng tổng quát hơn $f'(x)=3x^2+2ax+b$ (khi hàm bậc ba có thêm số hạng $x^2$ ), hai nghiệm $x_1, x_2$ không còn đối xứng quanh $0$ một cách hiển nhiên — khi đó định lí Viète cho lớp 10 vẫn dùng được (prior-grade review): $x_1+x_2=-\dfrac{2a}{3}$ và $x_1 x_2=\dfrac{b}{3}$ . Một hệ thức như tổng, tích, hay khoảng cách bình phương $(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ đều tính được từ hai công thức Viète này mà không cần giải $x_1, x_2$ tường minh — hữu ích khi nghiệm của $f'(x)=0$ không đẹp như trong ví dụ trên.

Ví dụ trên biểu diễn được $x_1, x_2$ trực tiếp vì $f'(x)=3x^2-3m$ không có số hạng bậc nhất, nên hai nghiệm đối nhau. Với dạng tổng quát hơn $f'(x)=3x^2+2ax+b$ (khi hàm bậc ba có thêm số hạng $x^2$), hai nghiệm $x_1, x_2$ không còn đối xứng quanh $0$ một cách hiển nhiên — khi đó định lí Viète cho lớp 10 vẫn dùng được (prior-grade review): $x_1+x_2=-\dfrac{2a}{3}$ và $x_1 x_2=\dfrac{b}{3}$. Một hệ thức như tổng, tích, hay khoảng cách bình phương $(x_2-x_1)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2$ đều tính được từ hai công thức Viète này mà không cần giải $x_1, x_2$ tường minh — hữu ích khi nghiệm của $f'(x)=0$ không đẹp như trong ví dụ trên.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất ở Dạng 2 là quên kiểm tra điều kiện tồn tại cực trị (bước 1) sau khi đã giải ra $m$ từ hệ thức đề cho — nếu hệ thức đề cho vô tình cho một giá trị $m \le 0$ , giá trị đó phải bị loại vì khi đó hàm không hề có hai điểm cực trị để mà xét khoảng cách. Một sai lầm khác là gán nhầm $x_1, x_2$ (đổi chỗ điểm nhỏ hơn và điểm lớn hơn), khiến khoảng cách bị tính ra một giá trị âm vô nghĩa. Nếu đề dùng hệ thức bình phương $(x_2-x_1)^2$ thay vì $x_2-x_1$ , việc quên lấy căn bậc hai ở bước cuối (hoặc quên xét dấu khi lấy căn) cũng là một lỗi thường gặp không kém.

Sai lầm phổ biến nhất ở Dạng 2 là quên kiểm tra điều kiện tồn tại cực trị (bước 1) sau khi đã giải ra $m$ từ hệ thức đề cho — nếu hệ thức đề cho vô tình cho một giá trị $m \le 0$, giá trị đó phải bị loại vì khi đó hàm không hề có hai điểm cực trị để mà xét khoảng cách. Một sai lầm khác là gán nhầm $x_1, x_2$ (đổi chỗ điểm nhỏ hơn và điểm lớn hơn), khiến khoảng cách bị tính ra một giá trị âm vô nghĩa. Nếu đề dùng hệ thức bình phương $(x_2-x_1)^2$ thay vì $x_2-x_1$, việc quên lấy căn bậc hai ở bước cuối (hoặc quên xét dấu khi lấy căn) cũng là một lỗi thường gặp không kém.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Dạng 1: $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$ , tương đương $\Delta' \le 0$ (khi hệ số bậc hai của $f'(x)$ dương). Dạng 2: biểu diễn hai điểm cực trị theo $m$ bằng công thức nghiệm của $f'(x)=0$ , thay vào hệ thức đề cho, rồi luôn đối chiếu lại với điều kiện tồn tại cực trị.

Dạng 1: $f$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $f'(x) \ge 0$ với mọi $x$, tương đương $\Delta' \le 0$ (khi hệ số bậc hai của $f'(x)$ dương). Dạng 2: biểu diễn hai điểm cực trị theo $m$ bằng công thức nghiệm của $f'(x)=0$, thay vào hệ thức đề cho, rồi luôn đối chiếu lại với điều kiện tồn tại cực trị.

Hai dạng toán trên đều xoay quanh dấu của đạo hàm bậc nhất — chỉ khác nhau ở việc điều kiện được đặt lên toàn miền (Dạng 1) hay lên riêng hai điểm tới hạn (Dạng 2). Bài ôn tập tiếp theo chuyển sang dạng tham số của GTLN–GTNN, và khép lại chương bằng một bài toán tối ưu thực tế tổng hợp.