Bài học

Hình chữ nhật và hình bình hành

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được chu vi và diện tích hình chữ nhật, hình bình hành, và vận dụng được cả hai công thức vào bài toán có nhiều bước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước em đã học chu vi, diện tích hình vuông — trường hợp đặc biệt khi hình chữ nhật có bốn cạnh bằng nhau. Bài này mở rộng sang hình chữ nhật với hai kích thước khác nhau, và thêm một hình tứ giác mới: hình bình hành.

Khác với ba hình "đều" của bài trước, hình chữ nhật và hình bình hành không đòi hỏi mọi cạnh bằng nhau — chúng chỉ cần các cạnh đối song song và bằng nhau từng cặp. Đây là nhóm hình rất phổ biến quanh em: cửa sổ, mặt bàn, viên gạch chữ nhật, mái ngói xếp lệch đều mang hình dạng này, nên việc tính đúng chu vi và diện tích của chúng có ích cho rất nhiều bài toán thực tế, từ đo đạc đến xây dựng.

Khởi động

Một mảnh vườn hình chữ nhật và một mảnh vườn hình bình hành có cùng đáy, cùng chiều cao — hai mảnh vườn này có diện tích bằng nhau không? Cắt một góc của hình bình hành rồi ghép sang phía đối diện, hình bình hành vừa khít trở thành đúng hình chữ nhật ban đầu.

Kiến thức trọng tâm

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông; hai cạnh đối diện bằng nhau, gọi lần lượt là chiều dài $a$ và chiều rộng $b$ . Chu vi hình chữ nhật là tổng bốn cạnh, tính nhanh bằng $C = 2 \times (a+b)$ — cộng một chiều dài với một chiều rộng rồi nhân đôi, thay vì phải cộng đủ bốn cạnh. Diện tích là $S = a \times b$ .

Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông; hai cạnh đối diện bằng nhau, gọi lần lượt là chiều dài $a$ và chiều rộng $b$. Chu vi hình chữ nhật là tổng bốn cạnh, tính nhanh bằng $C = 2 \times (a+b)$ — cộng một chiều dài với một chiều rộng rồi nhân đôi, thay vì phải cộng đủ bốn cạnh. Diện tích là $S = a \times b$.

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Gọi một cặp cạnh là đáy $a$ và cạnh kia là $b$ , chu vi hình bình hành cũng tính bằng $C = 2 \times (a+b)$ — giống công thức chu vi hình chữ nhật, vì cả hai đều là tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau. Điểm khác nằm ở góc: hình chữ nhật có bốn góc vuông, còn hình bình hành thì không, nên hình bình hành trông "xiên" hơn dù chu vi tính theo cùng một công thức.

Hình bình hành là tứ giác có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Gọi một cặp cạnh là đáy $a$ và cạnh kia là $b$, chu vi hình bình hành cũng tính bằng $C = 2 \times (a+b)$ — giống công thức chu vi hình chữ nhật, vì cả hai đều là tứ giác có hai cặp cạnh đối bằng nhau. Điểm khác nằm ở góc: hình chữ nhật có bốn góc vuông, còn hình bình hành thì không, nên hình bình hành trông "xiên" hơn dù chu vi tính theo cùng một công thức.

Diện tích hình bình hành lại khác: $S = a \times h$ , trong đó $a$ là đáy và $h$ là chiều cao — khoảng cách vuông góc từ đáy đến cạnh đối diện, không phải cạnh bên. Công thức giống diện tích hình chữ nhật (đáy nhân chiều cao) vì cắt một tam giác ở đầu hình bình hành rồi ghép sang đầu kia, hình bình hành vừa khít trở thành một hình chữ nhật có cùng đáy và cùng chiều cao — đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động ở trên.

Diện tích hình bình hành lại khác: $S = a \times h$, trong đó $a$ là đáy và $h$ là chiều cao — khoảng cách vuông góc từ đáy đến cạnh đối diện, không phải cạnh bên. Công thức giống diện tích hình chữ nhật (đáy nhân chiều cao) vì cắt một tam giác ở đầu hình bình hành rồi ghép sang đầu kia, hình bình hành vừa khít trở thành một hình chữ nhật có cùng đáy và cùng chiều cao — đây chính là câu trả lời cho câu hỏi khởi động ở trên.

Vì phép cắt-ghép này không làm thay đổi lượng giấy hay lượng đất, diện tích hình bình hành và hình chữ nhật tương ứng luôn bằng nhau khi có cùng đáy và cùng chiều cao — dù chu vi của chúng có thể khác nhau, vì cạnh bên xiên của hình bình hành thường dài hơn chiều cao. Đây là lí do vì sao hai hình có vẻ ngoài khác nhau nhưng lại chia sẻ đúng một công thức diện tích.

Lời giải có hình

Hình bình hành: hai cặp cạnh đối bằng nhau, chiều cao vuông góc với đáy

Bước 1

Cho tứ giác ABCD có AB song song và bằng DC.

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ sau đi từ tính trực tiếp đến bài toán kết hợp cả hai hình, rồi đến bài toán ngược từ chu vi tìm lại kích thước.

Ví dụ

Chu vi và diện tích hình chữ nhật

1
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài 12m, chiều rộng 8m. Tính chu vi và diện tích mảnh vườn.
2
Áp dụng công thức: $C = 2 \times (12+8) = 2 \times 20 = 40$ (m).
Áp dụng công thức: $C = 2 \times (12+8) = 2 \times 20 = 40$ (m).
3
Áp dụng công thức: $S = 12 \times 8 = 96$ (m²).
Áp dụng công thức: $S = 12 \times 8 = 96$ (m²).
4
Vậy mảnh vườn có chu vi 40m và diện tích 96 m².

Ví dụ

Chu vi và diện tích hình bình hành

1
Một sân hình bình hành có đáy 15m, chiều cao 6m, cạnh bên 7m. Người ta lát gạch kín sân và làm hàng rào quanh sân. Tính diện tích sân cần lát gạch và chu vi hàng rào.
2
Theo công thức diện tích hình bình hành: $S =$ đáy $\times$ chiều cao $= 15 \times 6 = 90$ (m²).
Theo công thức diện tích hình bình hành: $S = $ đáy $\times$ chiều cao $ = 15 \times 6 = 90$ (m²).
3
Áp dụng công thức: $C = 2 \times (15+7) = 2 \times 22 = 44$ (m).
Áp dụng công thức: $C = 2 \times (15+7) = 2 \times 22 = 44$ (m).
4
Vậy diện tích sân cần lát gạch là 90 m², và chu vi hàng rào quanh sân là 44m.

Ví dụ

Kết hợp hình chữ nhật và hình bình hành (dạng thi)

1
Một khu vườn hình chữ nhật dài 18m, rộng 10m. Trong khu vườn, người ta dành một phần hình bình hành có đáy bằng chiều rộng khu vườn và chiều cao 6m để lát gạch, phần còn lại trồng cỏ. Tính diện tích phần trồng cỏ.
2
Ta có $S_{\text{vườn}} = 18 \times 10 = 180$ (m²).
Ta có $S_{\text{vườn}} = 18 \times 10 = 180$ (m²).
3
Đáy của hình bình hành bằng chiều rộng khu vườn, tức 10m, nên $S_{\text{gạch}} = 10 \times 6 = 60$ (m²).
Đáy của hình bình hành bằng chiều rộng khu vườn, tức 10m, nên $S_{\text{gạch}} = 10 \times 6 = 60$ (m²).
4
Suy ra $S_{\text{cỏ}} = S_{\text{vườn}} - S_{\text{gạch}} = 180 - 60 = 120$ (m²).
Suy ra $S_{\text{cỏ}} = S_{\text{vườn}} - S_{\text{gạch}} = 180 - 60 = 120$ (m²).
5
Vậy diện tích phần trồng cỏ là 120 m².

Ví dụ

Tìm hai kích thước từ chu vi và hiệu (dạng thi)

1
Một hình chữ nhật có chu vi 60m, chiều dài hơn chiều rộng 6m. Tính diện tích hình chữ nhật.
2
Nửa chu vi bằng tổng chiều dài và chiều rộng: $60 : 2 = 30$ (m).
Nửa chu vi bằng tổng chiều dài và chiều rộng: $60 : 2 = 30$ (m).
3
Biết tổng hai cạnh là 30m, hiệu là 6m — dùng cách tìm hai số biết tổng và hiệu đã học ở tiểu học: chiều dài $= (30+6):2 = 18$ (m), chiều rộng $= (30-6):2 = 12$ (m).
Biết tổng hai cạnh là 30m, hiệu là 6m — dùng cách tìm hai số biết tổng và hiệu đã học ở tiểu học: chiều dài $= (30+6):2 = 18$ (m), chiều rộng $= (30-6):2 = 12$ (m).
4
Ta có $S = 18 \times 12 = 216$ (m²).
Ta có $S = 18 \times 12 = 216$ (m²).
5
Vậy diện tích hình chữ nhật là 216 m².

Ví dụ 3 cho thấy một bài toán có thể chứa cả hình chữ nhật và hình bình hành cùng lúc — em phải tách bài toán thành từng phần nhỏ, tính diện tích mỗi phần trước khi cộng hay trừ. Ví dụ 4 nhắc lại một kĩ năng tiểu học (tìm hai số biết tổng và hiệu) để giải một bài hình học — cho thấy công cụ cũ vẫn có ích trong bài toán mới, không phải kiến thức nào học xong cũng bỏ qua.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn dùng cạnh bên của hình bình hành thay cho chiều cao khi tính diện tích. Chiều cao phải là khoảng cách VUÔNG GÓC từ đáy lên cạnh đối diện, thường ngắn hơn cạnh bên (trừ khi hình bình hành đó chính là hình chữ nhật). Nhìn hình vẽ để nhận ra chiều cao là đoạn thẳng kẻ vuông góc, không phải cạnh xiên.

Ghi nhớ

Hình chữ nhật: $C=2(a+b)$ , $S=a\times b$ . Hình bình hành: $C=2(a+b)$ với $a,b$ là hai cạnh, $S=$ đáy $\times$ chiều cao (chiều cao vuông góc với đáy, không phải cạnh bên).

Hình chữ nhật: $C=2(a+b)$, $S=a\times b$. Hình bình hành: $C=2(a+b)$ với $a,b$ là hai cạnh, $S=$ đáy $\times$ chiều cao (chiều cao vuông góc với đáy, không phải cạnh bên).

Bài tiếp theo học hai hình tứ giác còn lại của chương — hình thoi với công thức diện tích dựa vào hai đường chéo, và hình thang cân với công thức diện tích dựa vào hai đáy.