Bài học

Ôn tập: Hình phẳng và hình khối

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được các công thức chu vi, diện tích hình phẳng và diện tích, thể tích hình khối đã học để giải các bài toán tổng hợp, đúng dạng đề kiểm tra cuối chương.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không có kiến thức mới — em dùng lại toàn bộ bảy công thức của bốn bài trước: chu vi tam giác đều, hình vuông, lục giác đều; chu vi và diện tích hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình thang cân; diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, thể tích hình hộp chữ nhật, hình lập phương và hình lăng trụ đứng.

Cả chương đi theo một trục rõ ràng: từ hình phẳng "đều" (tam giác đều, hình vuông, lục giác đều), sang tứ giác có cặp cạnh song song (hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi, hình thang cân), rồi từ mặt phẳng bước sang không gian ba chiều (hình hộp chữ nhật, hình lập phương, lăng trụ đứng). Ôn tập không phải học lại từ đầu, mà là nhìn lại cả trục này một lần, để thấy các công thức không rời rạc mà liên kết chặt với nhau — công thức sau luôn xây trên công thức trước.

Khởi động

Một bài toán đề kiểm tra thường không nói thẳng "tính diện tích hình thoi" — mà mô tả một tình huống thật, như bồn hoa giữa sân trường, rồi để em tự nhận ra hình dạng và chọn đúng công thức. Bốn bài toán dưới đây tập đúng kĩ năng đó.

Kiến thức trọng tâm

Giải một bài toán hình học tổng hợp luôn theo bốn bước: đọc kĩ đề để xác định đúng hình (hay các hình) xuất hiện trong bài; ghi lại số liệu đề cho — cạnh, đường chéo, chiều cao, chiều dài, chiều rộng; chọn đúng công thức chu vi, diện tích hay thể tích tương ứng với từng hình; và tính toán, đối chiếu đơn vị theo đúng yêu cầu đề bài.

Một điểm hay gây nhầm lẫn là bài toán ghép nhiều hình lại — ví dụ một hình chữ nhật chứa một hình thoi ở giữa. Khi đó em cần tính diện tích từng hình riêng, rồi mới cộng hoặc trừ tuỳ theo đề hỏi phần nào.

Với bài toán hình khối, bước đối chiếu đơn vị càng quan trọng: đề thường cho kích thước bằng cm nhưng hỏi kết quả bằng lít, hoặc ngược lại. Nhớ chắc quy đổi $1$ lít $= 1000$ cm³ (vì $1$ lít nước vừa đúng một khối lập phương cạnh 10cm) sẽ tránh được lỗi sai đáng tiếc dù phần tính diện tích, thể tích đã đúng. Một quy đổi khác cũng hay gặp là giữa mét và xăng-ti-mét: $1$ m $= 100$ cm, nên $1$ m² $= 10000$ cm² và $1$ m³ $= 1000000$ cm³ — đổi nhầm đơn vị dài mà quên bình phương hoặc lập phương hệ số đổi là lỗi phổ biến khi bài toán trộn cả mét lẫn xăng-ti-mét.

Lời giải có hình

Sân chơi hình chữ nhật có bồn hoa hình thoi ở giữa

Bước 1

Sân chơi ABCD hình chữ nhật, bồn hoa PQRS hình thoi nằm ở giữa sân.

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ dưới đây phối hợp hình phẳng với hình phẳng, và hình phẳng với hình khối, đúng dạng đề kiểm tra cuối chương.

Ví dụ

Sân chơi có bồn hoa hình thoi ở giữa

1
Một sân chơi hình chữ nhật kích thước 20m×15m, ở giữa sân có một bồn hoa hình thoi với hai đường chéo 6m và 4m. Tính diện tích phần sân còn lại, không kể bồn hoa.
2
$S_{sân} = 20 \times 15 = 300$ (m²).
$S_{sân} = 20 \times 15 = 300$ (m²).
3
$S_{bồn hoa} = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ (m²).
$S_{bồn hoa} = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ (m²).
4
$S_{còn lại} = S_{sân} - S_{bồn hoa} = 300 - 12 = 288$ (m²).
$S_{còn lại} = S_{sân} - S_{bồn hoa} = 300 - 12 = 288$ (m²).
5
Vậy diện tích phần sân còn lại là 288 m².

Ví dụ

Lượng nước trong bể hình hộp chữ nhật

1
Một bể cá hình hộp chữ nhật có đáy 80cm×50cm. Người ta đổ nước vào bể đến độ cao 30cm. Hỏi lượng nước trong bể là bao nhiêu lít?
2
Lượng nước tạo thành một hình hộp chữ nhật có cùng đáy với bể nhưng chiều cao chỉ 30cm, nên $V_{nước} = 80 \times 50 \times 30$ .
Lượng nước tạo thành một hình hộp chữ nhật có cùng đáy với bể nhưng chiều cao chỉ 30cm, nên $V_{nước} = 80 \times 50 \times 30$.
3
$80 \times 50 = 4000$ , rồi $4000 \times 30 = 120000$ .
$80 \times 50 = 4000$, rồi $4000 \times 30 = 120000$.
4
$120000 : 1000 = 120$ (lít).
$120000 : 1000 = 120$ (lít).
5
Vậy bể chứa 120 lít nước.

Ví dụ

Phần bìa thừa ngoài đáy hộp lập phương

1
Một hộp quà hình lập phương cạnh 6cm được đặt trên một tấm bìa hình vuông cạnh 10cm để làm đế. Tính diện tích phần bìa còn thừa ra ngoài đáy hộp.
2
$S_{bìa} = 10 \times 10 = 100$ (cm²).
$S_{bìa} = 10 \times 10 = 100$ (cm²).
3
Đáy hộp lập phương là hình vuông cạnh 6cm: $S_{đáy} = 6 \times 6 = 36$ (cm²).
Đáy hộp lập phương là hình vuông cạnh 6cm: $S_{đáy} = 6 \times 6 = 36$ (cm²).
4
$S_{thừa} = S_{bìa} - S_{đáy} = 100 - 36 = 64$ (cm²).
$S_{thừa} = S_{bìa} - S_{đáy} = 100 - 36 = 64$ (cm²).
5
Vậy phần bìa thừa ra ngoài đáy hộp có diện tích 64 cm².

Ví dụ

Lượng đất trong chậu cây lăng trụ đứng đáy hình thang cân

1
Một chậu cây hình lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang cân với đáy lớn 18cm, đáy nhỏ 10cm, chiều cao đáy 8cm; chiều cao chậu 20cm. Hỏi chậu chứa được tối đa bao nhiêu lít đất?
2
$S_{đáy} = \dfrac{(18+10) \times 8}{2} = \dfrac{28 \times 8}{2} = \dfrac{224}{2} = 112$ (cm²).
$S_{đáy} = \dfrac{(18+10) \times 8}{2} = \dfrac{28 \times 8}{2} = \dfrac{224}{2} = 112$ (cm²).
3
$V = S_{đáy} \times h = 112 \times 20 = 2240$ (cm³).
$V = S_{đáy} \times h = 112 \times 20 = 2240$ (cm³).
4
$2240 : 1000 = 2{,}24$ (lít).
$2240 : 1000 = 2{,}24$ (lít).
5
Vậy chậu chứa được tối đa 2,24 lít đất.

Bốn ví dụ ôn tập lần lượt gọi lại: hình thoi và hình chữ nhật (ví dụ 1), thể tích chất lỏng không đổ đầy hết khối hình (ví dụ 2), phép trừ diện tích để tìm phần thừa (ví dụ 3), và lăng trụ đứng đáy hình thang cân kết hợp đổi đơn vị (ví dụ 4). Nếu em làm đúng cả bốn ví dụ này mà không cần xem lại công thức, nghĩa là em đã sẵn sàng cho đề kiểm tra cuối chương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất ở bài tổng hợp là quên đổi đơn vị (cm³ sang lít) hoặc cộng nhầm thay vì trừ khi đề hỏi "phần còn lại" hay "phần thừa ra". Luôn đọc lại câu hỏi cuối đề trước khi kết luận, để chắc chắn phép cộng hay trừ chọn đúng, và đơn vị ghi trong đáp số khớp với đơn vị đề bài yêu cầu.

Ghi nhớ

Hình phẳng: tam giác đều $C=3a$ ; hình vuông $C=4a,S=a^2$ ; lục giác đều $C=6a$ ; hình chữ nhật $C=2(a+b),S=ab$ ; hình bình hành $C=2(a+b),S=$ đáy×cao; hình thoi $C=4a,S=\dfrac{d_1d_2}{2}$ ; hình thang cân $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$ . Hình khối: $S_{xq}=C_{đáy}h$ , $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}$ , $V=S_{đáy}h$ .

Hình phẳng: tam giác đều $C=3a$; hình vuông $C=4a,S=a^2$; lục giác đều $C=6a$; hình chữ nhật $C=2(a+b),S=ab$; hình bình hành $C=2(a+b),S=$đáy×cao; hình thoi $C=4a,S=\dfrac{d_1d_2}{2}$; hình thang cân $S=\dfrac{(a+b)h}{2}$. Hình khối: $S_{xq}=C_{đáy}h$, $S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}$, $V=S_{đáy}h$.

Hoàn thành khóa Hình phẳng và hình khối lớp 6. Các công thức chu vi, diện tích, thể tích ở đây sẽ quay lại thường xuyên trong Toán 7, khi em học thêm tam giác cân, tam giác vuông và các loại hình khối phức tạp hơn.