Bài học

Hình hộp chữ nhật và hình lập phương

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình hộp chữ nhật và hình lập phương.

Kiến thức nền cần nhớ

Toàn bộ chương trước tính chu vi và diện tích trên mặt phẳng — hai chiều. Bài này thêm chiều thứ ba: chiều cao của một khối hình, để đo lượng không gian một vật chiếm chỗ, gọi là thể tích. Em vẫn dùng lại công thức diện tích hình chữ nhật và hình vuông của các bài trước, chỉ áp dụng cho từng mặt của khối hình.

Chuyển từ đo hình phẳng sang đo hình khối là một bước ngoặt của chương: trước đây em chỉ cần một hoặc hai kích thước (cạnh, hoặc dài và rộng), còn từ bài này trở đi luôn cần đủ ba kích thước để mô tả một khối hình. Ba đại lượng cần phân biệt rõ là diện tích một mặt (cm²), diện tích xung quanh hoặc toàn phần (cũng cm², nhưng cộng nhiều mặt lại), và thể tích (cm³, đo không gian bên trong chứ không phải bề mặt bên ngoài).

Khởi động

Một hộp quà hình hộp chữ nhật và một khối rubik hình lập phương — cả hai đều có sáu mặt. Muốn biết cần bao nhiêu giấy để bọc kín cả hộp quà, hay cần bao nhiêu nước để đổ đầy khối hộp đó, em phải tính điều gì trên từng mặt và cả khối hình?

Kiến thức trọng tâm

Hình hộp chữ nhật có sáu mặt đều là hình chữ nhật, các mặt đối diện bằng nhau từng đôi một. Ba kích thước của hình hộp chữ nhật là chiều dài $a$ , chiều rộng $b$ , chiều cao $c$ . Diện tích xung quanh — tổng diện tích bốn mặt bên, không tính hai mặt đáy — bằng chu vi đáy nhân chiều cao: $S_{xq} = 2 \times (a+b) \times c$ . Công thức này thực chất là "trải phẳng" bốn mặt bên thành một dải hình chữ nhật dài bằng chu vi đáy, cao bằng chiều cao khối hộp.

Hình hộp chữ nhật có sáu mặt đều là hình chữ nhật, các mặt đối diện bằng nhau từng đôi một. Ba kích thước của hình hộp chữ nhật là chiều dài $a$, chiều rộng $b$, chiều cao $c$. Diện tích xung quanh — tổng diện tích bốn mặt bên, không tính hai mặt đáy — bằng chu vi đáy nhân chiều cao: $S_{xq} = 2 \times (a+b) \times c$. Công thức này thực chất là "trải phẳng" bốn mặt bên thành một dải hình chữ nhật dài bằng chu vi đáy, cao bằng chiều cao khối hộp.

Diện tích toàn phần cộng thêm diện tích hai mặt đáy vào diện tích xung quanh: $S_{tp} = S_{xq} + 2 \times a \times b$ . Thể tích — lượng không gian khối hộp chiếm chỗ — bằng tích ba kích thước: $V = a \times b \times c$ . Có thể hình dung thể tích bằng cách xếp chồng các lớp hình chữ nhật $a \times b$ lên nhau, mỗi lớp dày 1 đơn vị, xếp đủ $c$ lớp thì được khối hộp hoàn chỉnh.

Diện tích toàn phần cộng thêm diện tích hai mặt đáy vào diện tích xung quanh: $S_{tp} = S_{xq} + 2 \times a \times b$. Thể tích — lượng không gian khối hộp chiếm chỗ — bằng tích ba kích thước: $V = a \times b \times c$. Có thể hình dung thể tích bằng cách xếp chồng các lớp hình chữ nhật $a \times b$ lên nhau, mỗi lớp dày 1 đơn vị, xếp đủ $c$ lớp thì được khối hộp hoàn chỉnh.

Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi cả ba kích thước bằng nhau, cùng bằng cạnh $a$ . Khi đó mỗi mặt là một hình vuông cạnh $a$ : diện tích xung quanh $S_{xq} = 4a^2$ (bốn mặt bên), diện tích toàn phần $S_{tp} = 6a^2$ (sáu mặt), và thể tích $V = a^3$ — đọc là "a lập phương", nghĩa là $a \times a \times a$ .

Hình lập phương là trường hợp đặc biệt của hình hộp chữ nhật khi cả ba kích thước bằng nhau, cùng bằng cạnh $a$. Khi đó mỗi mặt là một hình vuông cạnh $a$: diện tích xung quanh $S_{xq} = 4a^2$ (bốn mặt bên), diện tích toàn phần $S_{tp} = 6a^2$ (sáu mặt), và thể tích $V = a^3$ — đọc là "a lập phương", nghĩa là $a \times a \times a$.

Vì cả ba công thức của hình lập phương chỉ dùng một kích thước duy nhất, tính toán với hình lập phương thường nhanh hơn hình hộp chữ nhật — đây cũng là lí do nhiều đồ vật quen thuộc như khối rubik, xúc xắc, hộp quà vuông được thiết kế dạng lập phương: vừa dễ sản xuất, vừa dễ tính lượng vật liệu cần dùng.

Lời giải có hình

Một mặt của hình hộp chữ nhật là một hình chữ nhật phẳng

Bước 1

Xét riêng một mặt của hình hộp chữ nhật, kích thước 20 cm × 10 cm.

Ví dụ minh hoạ

Bốn ví dụ sau đi từ tính trực tiếp đến bài toán thực tế có đổi đơn vị và bớt một mặt.

Ví dụ

Thể tích hình hộp chữ nhật

1
Một hộp quà hình hộp chữ nhật có kích thước 20cm×15cm×10cm. Tính thể tích hộp quà.
2
Ta có $V = a \times b \times c = 20 \times 15 \times 10$ .
Ta có $V = a \times b \times c = 20 \times 15 \times 10$.
3
$20 \times 15 = 300$ , rồi $300 \times 10 = 3000$ .
$20 \times 15 = 300$, rồi $300 \times 10 = 3000$.
4
Vậy thể tích hộp quà là 3000 cm³.

Ví dụ

Diện tích toàn phần hình lập phương

1
Một khối rubik hình lập phương có cạnh 4cm. Tính diện tích toàn phần khối rubik.
2
Ta có $S_{tp} = 6a^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16$ .
Ta có $S_{tp} = 6a^2 = 6 \times 4^2 = 6 \times 16$.
3
$6 \times 16 = 96$ .
$6 \times 16 = 96$.
4
Vậy diện tích toàn phần khối rubik là 96 cm².

Ví dụ

Đổi thể tích sang lít (dạng thi)

1
Một bể nước hình hộp chữ nhật có kích thước 50cm×40cm×30cm. Đổ đầy nước vào bể thì cần bao nhiêu lít nước? (biết 1 lít = 1000 cm³)
2
Ta có $V = 50 \times 40 \times 30$ .
Ta có $V = 50 \times 40 \times 30$.
3
$50 \times 40 = 2000$ , rồi $2000 \times 30 = 60000$ .
$50 \times 40 = 2000$, rồi $2000 \times 30 = 60000$.
4
Vì 1 lít = 1000 cm³, số lít nước là $60000 : 1000 = 60$ (lít).
Vì 1 lít = 1000 cm³, số lít nước là $60000 : 1000 = 60$ (lít).
5
Vậy cần 60 lít nước để đổ đầy bể.

Ví dụ

Diện tích kính cho bể không nắp (dạng thi)

1
Một bể cá hình hộp chữ nhật không có nắp, kích thước đáy 60cm×40cm, chiều cao 50cm. Tính diện tích kính cần dùng để làm bể (gồm bốn mặt bên và một mặt đáy, không có mặt trên).
2
$S_{xq} = 2 \times (60+40) \times 50 = 2 \times 100 \times 50 = 10000$ (cm²) — đây là diện tích bốn mặt bên.
$S_{xq} = 2 \times (60+40) \times 50 = 2 \times 100 \times 50 = 10000$ (cm²) — đây là diện tích bốn mặt bên.
3
$S_{đáy} = 60 \times 40 = 2400$ (cm²).
$S_{đáy} = 60 \times 40 = 2400$ (cm²).
4
Vì bể không có nắp, diện tích kính cần dùng chỉ gồm bốn mặt bên và một mặt đáy: $10000 + 2400 = 12400$ (cm²).
Vì bể không có nắp, diện tích kính cần dùng chỉ gồm bốn mặt bên và một mặt đáy: $10000 + 2400 = 12400$ (cm²).
5
Vậy cần 12400 cm² kính để làm bể cá.

Ví dụ cuối cùng khác các ví dụ trước ở một điểm quan trọng: khối hình không có đủ sáu mặt. Khi đề bài mô tả một vật thật — bể cá, thùng không nắp, hộp mở miệng — em phải hình dung đúng vật đó thiếu mặt nào rồi mới cộng diện tích, chứ không thể áp dụng máy móc công thức $S_{tp}=S_{xq}+2ab$ cho mọi bài. Đọc kĩ đề mô tả vật thể luôn là bước đầu tiên trước khi chọn công thức.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn quên nhân đôi diện tích đáy khi tính diện tích toàn phần (hình hộp có HAI mặt đáy, không phải một). Ngược lại, khi bể không có nắp, chỉ cộng thêm MỘT mặt đáy chứ không phải hai — đọc kĩ đề để biết khối hình có đủ sáu mặt hay thiếu mặt nào.

Ghi nhớ

Hình hộp chữ nhật: $S_{xq}=2(a+b)c$ , $S_{tp}=S_{xq}+2ab$ , $V=abc$ . Hình lập phương: $S_{xq}=4a^2$ , $S_{tp}=6a^2$ , $V=a^3$ .

Hình hộp chữ nhật: $S_{xq}=2(a+b)c$, $S_{tp}=S_{xq}+2ab$, $V=abc$. Hình lập phương: $S_{xq}=4a^2$, $S_{tp}=6a^2$, $V=a^3$.

Bài tiếp theo mở rộng đáy từ hình chữ nhật sang các hình khác — tam giác, hình thang — để học hình lăng trụ đứng, một dạng hình khối có mặt đáy đa dạng hơn nhưng cách tính vẫn dựa trên cùng một nguyên tắc: chu vi đáy và diện tích đáy.