Phần

Biểu thức đại số và hiệu số với số viết ngược

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em mở rộng được kỹ thuật khai triển sang số có ba chữ số, chứng minh được một công thức hiệu tổng quát, và dùng chính công thức đó để tìm tất cả số thỏa mãn một điều kiện — không chỉ chứng minh một tính chất có sẵn.

Kiến thức cần có

Cần vững kỹ thuật khai triển theo giá trị hàng của Bài 1, đặc biệt là công thức hiệu $\overline{ab}-\overline{ba}=9(a-b)$ vừa xuất hiện ở phần Biến thể gần. Bài này lặp lại đúng ý tưởng đó với số có ba chữ số, rồi đi xa hơn: dùng công thức để giải một bài toán tìm số.

So với dạng chuẩn lớp 6 — chỉ hỏi " $\overline{abc}$ có chia hết cho 9 không" bằng dấu hiệu tổng các chữ số — bài HSG đi xa hơn theo hai hướng: khai triển được một công thức TỔNG QUÁT cho hiệu của một số và số viết ngược của nó, rồi DÙNG NGƯỢC công thức đó để đếm xem có bao nhiêu số thỏa một điều kiện cho trước. Đây là bước chuyển từ "kiểm tra" sang "khai thác" một công thức đã chứng minh.

So với dạng chuẩn lớp 6 — chỉ hỏi "$\overline{abc}$ có chia hết cho 9 không" bằng dấu hiệu tổng các chữ số — bài HSG đi xa hơn theo hai hướng: khai triển được một công thức TỔNG QUÁT cho hiệu của một số và số viết ngược của nó, rồi DÙNG NGƯỢC công thức đó để đếm xem có bao nhiêu số thỏa một điều kiện cho trước. Đây là bước chuyển từ "kiểm tra" sang "khai thác" một công thức đã chứng minh.

Bài toán khởi động

Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho hiệu giữa nó và số viết ngược $\overline{cba}$ đúng bằng $594$ . Thử từng số có ba chữ số là không khả thi — có tới 900 số cần kiểm tra. Ta cần một công thức để thu gọn bài toán về vài phép tính đơn giản.

Tìm tất cả các số có ba chữ số $\overline{abc}$ sao cho hiệu giữa nó và số viết ngược $\overline{cba}$ đúng bằng $594$. Thử từng số có ba chữ số là không khả thi — có tới 900 số cần kiểm tra. Ta cần một công thức để thu gọn bài toán về vài phép tính đơn giản.

Ý tưởng cốt lõi

Áp dụng đúng kỹ thuật của Bài 1 cho ba chữ số: $\overline{abc}=100a+10b+c$ , $\overline{cba}=100c+10b+a$ . Khi trừ hai khai triển này, số hạng $10b$ xuất hiện ở cả hai vế và triệt tiêu hoàn toàn — đây là điểm khác biệt quan trọng so với số có hai chữ số, nơi không có chữ số hàng chục "đứng giữa" để triệt tiêu.

Áp dụng đúng kỹ thuật của Bài 1 cho ba chữ số: $\overline{abc}=100a+10b+c$, $\overline{cba}=100c+10b+a$. Khi trừ hai khai triển này, số hạng $10b$ xuất hiện ở cả hai vế và **triệt tiêu hoàn toàn** — đây là điểm khác biệt quan trọng so với số có hai chữ số, nơi không có chữ số hàng chục "đứng giữa" để triệt tiêu.

Vì sao đáng để ý điều này? Một khi đã có công thức hiệu dưới dạng tích của một số cố định (ở đây là 99) với $(a-c)$ , bài toán "tìm số thỏa điều kiện" biến thành bài toán "giải phương trình $a-c = k$ với $a,c$ là chữ số" — một bài toán đếm nghiệm quen thuộc, dễ hơn hẳn việc dò từng số có ba chữ số.

Vì sao đáng để ý điều này? Một khi đã có công thức hiệu dưới dạng tích của một số cố định (ở đây là 99) với $(a-c)$, bài toán "tìm số thỏa điều kiện" biến thành bài toán "giải phương trình $a-c = k$ với $a,c$ là chữ số" — một bài toán đếm nghiệm quen thuộc, dễ hơn hẳn việc dò từng số có ba chữ số.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Công thức hiệu cho số có ba chữ số

1
Chứng minh rằng với số có ba chữ số $\overline{abc}$ ( $a \ge 1$ ) và số viết ngược $\overline{cba}$ (hiểu là giá trị $100c+10b+a$ ), hiệu $\overline{abc} - \overline{cba}$ luôn chia hết cho cả 9 và 11.
Chứng minh rằng với số có ba chữ số $\overline{abc}$ ($a \ge 1$) và số viết ngược $\overline{cba}$ (hiểu là giá trị $100c+10b+a$), hiệu $\overline{abc} - \overline{cba}$ luôn chia hết cho cả 9 và 11.
2
$\overline{abc} = 100a+10b+c$ , $\overline{cba} = 100c+10b+a$ .
$\overline{abc} = 100a+10b+c$, $\overline{cba} = 100c+10b+a$.
3
$\overline{abc}-\overline{cba} = (100a+10b+c)-(100c+10b+a) = 99a - 99c = 99(a-c)$ — số hạng $10b$ triệt tiêu vì xuất hiện ở cả hai vế.
$\overline{abc}-\overline{cba} = (100a+10b+c)-(100c+10b+a) = 99a - 99c = 99(a-c)$ — số hạng $10b$ triệt tiêu vì xuất hiện ở cả hai vế.
4
Vì $99 = 9 \times 11$ , hiệu $99(a-c)$ chia hết cho cả 9 và 11 — với mọi chữ số $a \ge 1$ và $c$ , không phụ thuộc chữ số hàng chục $b$ là bao nhiêu.
Vì $99 = 9 \times 11$, hiệu $99(a-c)$ chia hết cho cả 9 và 11 — với mọi chữ số $a \ge 1$ và $c$, không phụ thuộc chữ số hàng chục $b$ là bao nhiêu.
5
Ta có $\overline{abc}=100a+10b+c$ , $\overline{cba}=100c+10b+a$ (1). Trừ vế theo vế: $\overline{abc}-\overline{cba}=99a-99c=99(a-c)$ (2). Vì $99=9\times11$ , từ (2) suy ra $\overline{abc}-\overline{cba}$ chia hết cho 9 và chia hết cho 11, với mọi chữ số $a\ge1,b,c$ . Vậy khẳng định được chứng minh.
Ta có $\overline{abc}=100a+10b+c$, $\overline{cba}=100c+10b+a$ (1). Trừ vế theo vế: $\overline{abc}-\overline{cba}=99a-99c=99(a-c)$ (2). Vì $99=9\times11$, từ (2) suy ra $\overline{abc}-\overline{cba}$ chia hết cho 9 và chia hết cho 11, với mọi chữ số $a\ge1,b,c$. Vậy khẳng định được chứng minh.
6
Đổi phép trừ thành phép cộng: $\overline{abc}+\overline{cba}=101a+20b+101c$ — biểu thức này KHÔNG rút gọn thành một tích đẹp như phép trừ, vì hệ số của $a$ và $c$ (101) khác hệ số của $b$ (20). Đây là lý do phép trừ, chứ không phải phép cộng, mới cho công thức tổng quát gọn ở bài này.
Đổi phép trừ thành phép cộng: $\overline{abc}+\overline{cba}=101a+20b+101c$ — biểu thức này KHÔNG rút gọn thành một tích đẹp như phép trừ, vì hệ số của $a$ và $c$ (101) khác hệ số của $b$ (20). Đây là lý do phép trừ, chứ không phải phép cộng, mới cho công thức tổng quát gọn ở bài này.

Quy trình 4 bước biến bài toán tìm số thành bài toán đếm nghiệm: từ công thức đại số ở Ví dụ 1 đến con số cuối cùng.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Dùng công thức để giải bài toán khởi động

1
Theo Ví dụ 1, $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$ . Đề bài cho hiệu bằng 594, nên $99(a-c)=594$ , suy ra $a-c = 594 \div 99 = 6$ .
Theo Ví dụ 1, $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$. Đề bài cho hiệu bằng 594, nên $99(a-c)=594$, suy ra $a-c = 594 \div 99 = 6$.
2
Vì $a$ là chữ số hàng trăm nên $a \ge 1$ , và $a \le 9$ ; $c$ là chữ số nên $0 \le c \le 9$ . Với $a-c=6$ : $(a,c) \in \{(6{,}0),(7{,}1),(8{,}2),(9{,}3)\}$ — đúng 4 cặp.
Vì $a$ là chữ số hàng trăm nên $a \ge 1$, và $a \le 9$; $c$ là chữ số nên $0 \le c \le 9$. Với $a-c=6$: $(a,c) \in \{(6,0),(7,1),(8,2),(9,3)\}$ — đúng 4 cặp.
3
Chữ số hàng chục $b$ hoàn toàn tự do, không xuất hiện trong công thức hiệu — có đúng 10 cách chọn ( $b$ từ 0 đến 9) cho mỗi cặp $(a,c)$ .
Chữ số hàng chục $b$ hoàn toàn tự do, không xuất hiện trong công thức hiệu — có đúng 10 cách chọn ($b$ từ 0 đến 9) cho mỗi cặp $(a,c)$.
4
Tổng số số thỏa mãn là $4 \times 10 = 40$ số, ví dụ $605, 615, \ldots, 695$ (ứng với $a=6,c=0$ ) và tương tự cho ba cặp còn lại. Bài toán tìm số ban đầu, tưởng chừng phải dò 900 số, thu gọn còn đúng hai phép tính.
Tổng số số thỏa mãn là $4 \times 10 = 40$ số, ví dụ $605, 615, \ldots, 695$ (ứng với $a=6,c=0$) và tương tự cho ba cặp còn lại. Bài toán tìm số ban đầu, tưởng chừng phải dò 900 số, thu gọn còn đúng hai phép tính.
5
Theo công thức đã chứng minh, $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$ . Ta có $99(a-c)=594 \Rightarrow a-c=6$ (1). Vì $1\le a\le9$ , $0\le c\le9$ , từ (1) suy ra $(a,c)\in\{(6{,}0),(7{,}1),(8{,}2),(9{,}3)\}$ — 4 cặp (2). Chữ số $b$ không xuất hiện trong công thức nên nhận tự do 10 giá trị $0,\ldots,9$ (3). Kết hợp (2) và (3), theo quy tắc nhân, có $4\times10=40$ số thỏa mãn. Vậy có tất cả 40 số.
Theo công thức đã chứng minh, $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$. Ta có $99(a-c)=594 \Rightarrow a-c=6$ (1). Vì $1\le a\le9$, $0\le c\le9$, từ (1) suy ra $(a,c)\in\{(6,0),(7,1),(8,2),(9,3)\}$ — 4 cặp (2). Chữ số $b$ không xuất hiện trong công thức nên nhận tự do 10 giá trị $0,\ldots,9$ (3). Kết hợp (2) và (3), theo quy tắc nhân, có $4\times10=40$ số thỏa mãn. Vậy có tất cả 40 số.
6
Đổi hiệu đề bài từ 594 thành 297: $99(a-c)=297 \Rightarrow a-c=3$ , cho các cặp $(a,c)\in\{(3{,}0),\ldots,(9{,}6)\}$ — 7 cặp thay vì 4, nên đáp số đổi thành $7\times10=70$ số. Đổi hằng số vế phải làm thay đổi cả số cặp $(a,c)$ lẫn đáp số cuối.
Đổi hiệu đề bài từ 594 thành 297: $99(a-c)=297 \Rightarrow a-c=3$, cho các cặp $(a,c)\in\{(3,0),\ldots,(9,6)\}$ — 7 cặp thay vì 4, nên đáp số đổi thành $7\times10=70$ số. Đổi hằng số vế phải làm thay đổi cả số cặp $(a,c)$ lẫn đáp số cuối.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Mở rộng: số 6 chữ số dạng khối lặp

1
Chứng minh rằng số có 6 chữ số dạng $\overline{abcabc}$ (khối 3 chữ số $\overline{abc}$ viết lặp lại hai lần, ví dụ $123123$ , $456456$ ) luôn chia hết cho 11.
Chứng minh rằng số có 6 chữ số dạng $\overline{abcabc}$ (khối 3 chữ số $\overline{abc}$ viết lặp lại hai lần, ví dụ $123123$, $456456$) luôn chia hết cho 11.
2
$\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \times 1001$ — vì viết lặp một khối 3 chữ số nghĩa là nhân khối đó với 1000 rồi cộng chính nó.
$\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 1000 + \overline{abc} = \overline{abc} \times 1001$ — vì viết lặp một khối 3 chữ số nghĩa là nhân khối đó với 1000 rồi cộng chính nó.
3
$1001 = 11 \times 91$ (kiểm tra: $11 \times 91 = 1001$ ).
$1001 = 11 \times 91$ (kiểm tra: $11 \times 91 = 1001$).
4
$\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 11 \times 91$ — luôn chứa thừa số 11, nên chia hết cho 11 với mọi khối 3 chữ số $\overline{abc}$ . Ví dụ $123123 = 123\times1001 = 123 \times 11 \times 91$ .
$\overline{abcabc} = \overline{abc} \times 11 \times 91$ — luôn chứa thừa số 11, nên chia hết cho 11 với mọi khối 3 chữ số $\overline{abc}$. Ví dụ $123123 = 123\times1001 = 123 \times 11 \times 91$.
5
Viết số lặp khối theo giá trị: $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1000+\overline{abc}=\overline{abc}\times1001$ (1). Ta có $1001=11\times91$ (2). Kết hợp (1) và (2): $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times11\times91$ , chia hết cho 11 với mọi khối $\overline{abc}$ . Vậy khẳng định đúng.
Viết số lặp khối theo giá trị: $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times1000+\overline{abc}=\overline{abc}\times1001$ (1). Ta có $1001=11\times91$ (2). Kết hợp (1) và (2): $\overline{abcabc}=\overline{abc}\times11\times91$, chia hết cho 11 với mọi khối $\overline{abc}$. Vậy khẳng định đúng.
6
Đổi khối lặp 2 lần thành khối lặp 3 lần: số 9 chữ số $\overline{abcabcabc}=\overline{abc}\times1001001$ . Vì $1001001=1001\times1001+?$ — thực ra $1001001=3\times333667$ , không còn chứa thừa số 11 một cách hiển nhiên như trước, cho thấy không phải MỌI cách lặp khối đều giữ nguyên tính chia hết cho 11 — phải kiểm tra lại hệ số nhân từng trường hợp, không suy diễn máy móc.
Đổi khối lặp 2 lần thành khối lặp 3 lần: số 9 chữ số $\overline{abcabcabc}=\overline{abc}\times1001001$. Vì $1001001=1001\times1001+? $ — thực ra $1001001=3\times333667$, không còn chứa thừa số 11 một cách hiển nhiên như trước, cho thấy không phải MỌI cách lặp khối đều giữ nguyên tính chia hết cho 11 — phải kiểm tra lại hệ số nhân từng trường hợp, không suy diễn máy móc.

Bẫy thường gặp

(1) Quên rằng $\overline{cba}$ hiểu theo giá trị $100c+10b+a$ ngay cả khi $c=0$ — công thức $99(a-c)$ vẫn đúng, không cần loại trừ trường hợp này. (2) Nhầm vai trò của chữ số hàng chục $b$ : trong công thức hiệu, $b$ triệt tiêu hoàn toàn nên KHÔNG ảnh hưởng đến điều kiện chia hết — nhưng vẫn phải đếm đúng số cách chọn $b$ khi đếm nghiệm. (3) Áp dụng kết quả của Ví dụ 3 (khối lặp 2 lần) sang khối lặp 3 lần mà không kiểm tra lại — Biến thể gần cho thấy kết quả không tự động lặp lại.

(1) Quên rằng $\overline{cba}$ hiểu theo giá trị $100c+10b+a$ ngay cả khi $c=0$ — công thức $99(a-c)$ vẫn đúng, không cần loại trừ trường hợp này. (2) Nhầm vai trò của chữ số hàng chục $b$: trong công thức hiệu, $b$ triệt tiêu hoàn toàn nên KHÔNG ảnh hưởng đến điều kiện chia hết — nhưng vẫn phải đếm đúng số cách chọn $b$ khi đếm nghiệm. (3) Áp dụng kết quả của Ví dụ 3 (khối lặp 2 lần) sang khối lặp 3 lần mà không kiểm tra lại — Biến thể gần cho thấy kết quả không tự động lặp lại.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Công thức $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$ biến một bài toán "tìm số" thành bài toán "đếm nghiệm nguyên" của một phương trình đơn giản — kỹ thuật này (chứng minh công thức trước, rồi dùng ngược công thức để đếm) sẽ lặp lại nhiều lần trong khóa học HSG. Luôn kiểm tra lại điều kiện chữ số ( $a\ge1$ vì là chữ số hàng trăm; $0\le b,c\le9$ ) trước khi kết luận số nghiệm.

Công thức $\overline{abc}-\overline{cba}=99(a-c)$ biến một bài toán "tìm số" thành bài toán "đếm nghiệm nguyên" của một phương trình đơn giản — kỹ thuật này (chứng minh công thức trước, rồi dùng ngược công thức để đếm) sẽ lặp lại nhiều lần trong khóa học HSG. Luôn kiểm tra lại điều kiện chữ số ($a\ge1$ vì là chữ số hàng trăm; $0\le b,c\le9$) trước khi kết luận số nghiệm.

Bài tiếp theo: Chương 1 đã dùng cách viết số theo giá trị hàng để chứng minh chia hết. Ví dụ 3 của Bài 1 (Chương này) — $n(n+1)$ chia hết cho 2 bằng cách xét chẵn lẻ — mở ra một hướng khác hoàn toàn: xét tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp. Chương 2 sẽ đi sâu vào hướng này, mở rộng từ tích hai số lên ba, bốn số liên tiếp, và cả tổng của một dãy số liên tiếp.

**Bài tiếp theo:** Chương 1 đã dùng cách viết số theo giá trị hàng để chứng minh chia hết. Ví dụ 3 của Bài 1 (Chương này) — $n(n+1)$ chia hết cho 2 bằng cách xét chẵn lẻ — mở ra một hướng khác hoàn toàn: xét **tích của nhiều số tự nhiên liên tiếp**. Chương 2 sẽ đi sâu vào hướng này, mở rộng từ tích hai số lên ba, bốn số liên tiếp, và cả tổng của một dãy số liên tiếp.