Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Ghép cặp số hạng liền kề để triệt tiêu
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em ghép được các số hạng LIỀN KỀ của một tổng đại số dài thành từng cặp có giá trị không đổi, đếm đúng số cặp (và số hạng dư nếu có), rồi tính nhanh cả tổng — thay vì cộng trừ lần lượt từ trái sang phải.
Kiến thức cần có
Em đã vững quy tắc cộng, trừ số nguyên và quy tắc dấu ngoặc ở phần nền tảng Lớp 6 (same-grade bridge). Kỹ thuật GHÉP CẶP NHIỀU SỐ HẠNG để tính nhanh một tổng đại số dài — thay vì cộng tuần tự — không nằm trong yêu cầu chuẩn Lớp 6, ta đưa vào như một phần mở rộng dành cho HSG: nó là kỹ năng mở đầu bắt buộc cho toàn bộ khóa học này.
**So với đề chuẩn lớp 6:** một bài kiểm tra thông thường chỉ yêu cầu tính $12 - 5 + 3$ hay quy tắc dấu ngoặc với vài số hạng. Nhưng nếu đề cho một tổng dài như $1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 99 - 100$ (100 số hạng), cộng lần lượt từ trái sang phải vừa chậm vừa dễ sai dấu giữa chừng. Đây chính là ranh giới: đề HSG đòi hỏi em nhìn ra cấu trúc lặp lại của dãy số hạng trước khi đặt bút tính, không phải cộng thẳng.
Bài toán khởi động
Tính nhanh $A = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 99 - 100$ mà không cộng trừ tuần tự từng số một.
Ý tưởng cốt lõi
Quan sát dãy dấu: $+,-,+,-,\ldots$ xen kẽ đều đặn. Nếu ghép mỗi số hạng dương với số hạng âm đứng ngay sau nó thành một cặp — $(1-2), (3-4), (5-6), \ldots$ — thì mỗi cặp đều cho cùng một giá trị. Việc còn lại chỉ là đếm xem có bao nhiêu cặp như vậy, rồi nhân lên.
**Vì sao nghĩ ra được ý này?** Khi thấy một dãy dấu lặp lại đều đặn (không phải hỗn loạn), một học sinh giỏi sẽ tự hỏi: hai số hạng liền kề gộp lại có cho một số đơn giản không? Ở đây $1-2=-1$, $3-4=-1$ — cùng một giá trị $-1$. Khi mọi cặp liền kề đều cho cùng một kết quả, tổng dài biến thành một phép nhân đơn giản: (giá trị một cặp) $\times$ (số cặp).
Ví dụ áp dụng
Ví dụ
Ví dụ 1 — Ghép cặp cơ bản
1
Tính $A = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + 99 - 100$.
2
Nhóm hai số hạng một: $A = (1-2) + (3-4) + \cdots + (99-100)$. Mỗi ngoặc đều bằng $-1$.
3
Dãy có $100$ số hạng, mỗi cặp gồm đúng $2$ số hạng, nên có $100 \div 2 = 50$ cặp.
4
$A = 50 \times (-1) = -50$.
5
$A = -50$. Toàn bộ phép tính chỉ cần một phép nhân, không cần cộng trừ 100 số hạng.
6
Ta có $A = (1-2)+(3-4)+\cdots+(99-100)$ (nhóm các số hạng liền kề bằng tính chất kết hợp của phép cộng số nguyên) (1). Mỗi ngoặc trong (1) đều bằng $-1$ (2). Dãy có $100$ số hạng nên có $100:2=50$ ngoặc (3). Kết hợp (2) và (3): $A = 50\times(-1)=-50$. Vậy $A=-50$.
7
Nếu nhân mỗi số hạng của $A$ với $3$, ta được $B = 3-6+9-12+\cdots+297-300$. Vì mỗi số hạng gấp $3$ lần số hạng tương ứng của $A$, mỗi cặp cũng gấp $3$ lần: $B = 3\times A = 3\times(-50) = -150$ — không cần ghép cặp lại từ đầu.
Ví dụ
Ví dụ 2 — Đổi bước nhảy của dãy
1
Tính $C = 2 - 4 + 6 - 8 + \cdots + 98 - 100$.
2
$C = (2-4)+(6-8)+\cdots+(98-100)$. Mỗi ngoặc bằng $-2$ (khác Ví dụ 1 vì bước nhảy giữa các số hạng là $2$, không phải $1$).
3
Các số hạng là $2, 4, 6, \ldots, 100$ — có $100 \div 2 = 50$ số hạng, tức $25$ cặp.
4
$C = 25 \times (-2) = -50$.
5
$C = -50$ — trùng giá trị với $A$ dù dãy số hạng khác hẳn, vì số cặp giảm một nửa nhưng giá trị mỗi cặp tăng gấp đôi.
6
Ta có $C=(2-4)+(6-8)+\cdots+(98-100)$, mỗi ngoặc bằng $-2$ (1). Các số hạng $2,4,\ldots,100$ có $50$ số hạng nên có $25$ ngoặc (2). Kết hợp (1) và (2): $C=25\times(-2)=-50$. Vậy $C=-50$.
7
Đổi bước nhảy từ $2$ thành $3$: $D = 3-6+9-12+\cdots+147-150$. Các số hạng $3,6,\ldots,150$ có $50$ số hạng, tức $25$ cặp, mỗi cặp bằng $-3$: $D = 25\times(-3)=-75$.
Mỗi cặp $(1-2), (3-4), (5-6), \ldots$ đều cho đúng $-1$ — quy luật này lặp lại suốt cả 50 cặp của dãy $A$, đó là lý do phép ghép cặp thay được 100 phép cộng trừ bằng một phép nhân.
Ví dụ
Ví dụ 3 — Bẫy số hạng lẻ ra (dãy có số lẻ số hạng)
1
Tính $E = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots - 2020 + 2021$.
2
Dãy chạy từ $1$ đến $2021$, có $2021$ số hạng — một số lẻ, nên không ghép cặp trọn vẹn được hết như hai ví dụ trước.
3
Ghép $2020$ số hạng đầu: $(1-2)+(3-4)+\cdots+(2019-2020)$, có $2020\div2=1010$ cặp, mỗi cặp bằng $-1$, cho $-1010$.
4
Số hạng cuối cùng $+2021$ đứng một mình, chưa có số hạng nào đi kèm để ghép cặp.
5
$E = -1010 + 2021 = 1011$.
6
Dãy $E$ có $2021$ số hạng — số lẻ, nên không ghép cặp được trọn vẹn (1). Ghép $2020$ số hạng đầu thành $1010$ cặp, mỗi cặp bằng $-1$: $(1-2)+\cdots+(2019-2020)=-1010$ (2). Số hạng thứ $2021$ là $+2021$, còn dư lại, chưa ghép cặp (3). Kết hợp (2) và (3): $E=-1010+2021=1011$. Vậy $E=1011$.
7
Thêm đúng một số hạng nữa vào cuối: $F = 1-2+3-4+\cdots-2020+2021-2022$. Bây giờ dãy có $2022$ số hạng — số chẵn, ghép cặp trọn vẹn được $1011$ cặp, mỗi cặp $-1$: $F = 1011\times(-1) = -1011$.
Bẫy thường gặp
(1) Quên đếm số hạng trước khi ghép cặp — nếu số hạng là số lẻ, luôn có đúng một số hạng bị dư ra, không được bỏ sót hay ghép nhầm nó vào cặp khác. (2) Nhầm dấu của số hạng dư ra khi kết luận (nó giữ nguyên dấu như trong đề, không đổi dấu). (3) Cộng lần lượt từ trái sang phải cho một dãy dài — vừa mất thời gian vừa dễ sai dấu khi tính nhẩm.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Điều cần nhớ
Khi một tổng đại số có dấu xen kẽ đều đặn: (1) đếm số hạng trước — chẵn thì ghép cặp trọn vẹn, lẻ thì còn dư đúng một số hạng; (2) ghép các số hạng liền kề thành cặp và tính giá trị một cặp; (3) nhân giá trị đó với số cặp, rồi cộng số hạng dư (nếu có). Kỹ thuật này biến một dãy cộng trừ rất dài thành một phép nhân.
Bài tiếp theo: ghép cặp liền kề chỉ là một cách nhóm số hạng. Bài học sau sẽ nhóm số hạng theo một cách khác — tách nguyên một tổng dài thành hai khối (một khối toàn số âm, một khối toàn số dương) rồi ghép cặp giữa hai khối đó, mở rộng đúng ý tưởng ghép để triệt tiêu sang một tình huống phức tạp hơn.
So với đề chuẩn lớp 6: một bài kiểm tra thông thường chỉ yêu cầu tính 12−5+3 hay quy tắc dấu ngoặc với vài số hạng. Nhưng nếu đề cho một tổng dài như 1−2+3−4+⋯+99−100 (100 số hạng), cộng lần lượt từ trái sang phải vừa chậm vừa dễ sai dấu giữa chừng. Đây chính là ranh giới: đề HSG đòi hỏi em nhìn ra cấu trúc lặp lại của dãy số hạng trước khi đặt bút tính, không phải cộng thẳng.
Tính nhanh A=1−2+3−4+⋯+99−100 mà không cộng trừ tuần tự từng số một.
Quan sát dãy dấu: +,−,+,−,… xen kẽ đều đặn. Nếu ghép mỗi số hạng dương với số hạng âm đứng ngay sau nó thành một cặp — (1−2),(3−4),(5−6),… — thì mỗi cặp đều cho cùng một giá trị. Việc còn lại chỉ là đếm xem có bao nhiêu cặp như vậy, rồi nhân lên.
Vì sao nghĩ ra được ý này? Khi thấy một dãy dấu lặp lại đều đặn (không phải hỗn loạn), một học sinh giỏi sẽ tự hỏi: hai số hạng liền kề gộp lại có cho một số đơn giản không? Ở đây 1−2=−1, 3−4=−1 — cùng một giá trị −1. Khi mọi cặp liền kề đều cho cùng một kết quả, tổng dài biến thành một phép nhân đơn giản: (giá trị một cặp) × (số cặp).
Tính A=1−2+3−4+⋯+99−100.
Nhóm hai số hạng một: A=(1−2)+(3−4)+⋯+(99−100). Mỗi ngoặc đều bằng −1.
Dãy có 100 số hạng, mỗi cặp gồm đúng 2 số hạng, nên có 100÷2=50 cặp.
A=50×(−1)=−50.
A=−50. Toàn bộ phép tính chỉ cần một phép nhân, không cần cộng trừ 100 số hạng.
Ta có A=(1−2)+(3−4)+⋯+(99−100) (nhóm các số hạng liền kề bằng tính chất kết hợp của phép cộng số nguyên) (1). Mỗi ngoặc trong (1) đều bằng −1 (2). Dãy có 100 số hạng nên có 100:2=50 ngoặc (3). Kết hợp (2) và (3): A=50×(−1)=−50. Vậy A=−50.
Nếu nhân mỗi số hạng của A với 3, ta được B=3−6+9−12+⋯+297−300. Vì mỗi số hạng gấp 3 lần số hạng tương ứng của A, mỗi cặp cũng gấp 3 lần: B=3×A=3×(−50)=−150 — không cần ghép cặp lại từ đầu.
Tính C=2−4+6−8+⋯+98−100.
C=(2−4)+(6−8)+⋯+(98−100). Mỗi ngoặc bằng −2 (khác Ví dụ 1 vì bước nhảy giữa các số hạng là 2, không phải 1).
Các số hạng là 2,4,6,…,100 — có 100÷2=50 số hạng, tức 25 cặp.
C=25×(−2)=−50.
C=−50 — trùng giá trị với A dù dãy số hạng khác hẳn, vì số cặp giảm một nửa nhưng giá trị mỗi cặp tăng gấp đôi.
Ta có C=(2−4)+(6−8)+⋯+(98−100), mỗi ngoặc bằng −2 (1). Các số hạng 2,4,…,100 có 50 số hạng nên có 25 ngoặc (2). Kết hợp (1) và (2): C=25×(−2)=−50. Vậy C=−50.
Đổi bước nhảy từ 2 thành 3: D=3−6+9−12+⋯+147−150. Các số hạng 3,6,…,150 có 50 số hạng, tức 25 cặp, mỗi cặp bằng −3: D=25×(−3)=−75.
Mỗi cặp (1−2),(3−4),(5−6),… đều cho đúng −1 — quy luật này lặp lại suốt cả 50 cặp của dãy A, đó là lý do phép ghép cặp thay được 100 phép cộng trừ bằng một phép nhân.
Tính E=1−2+3−4+⋯−2020+2021.
Dãy chạy từ 1 đến 2021, có 2021 số hạng — một số lẻ, nên không ghép cặp trọn vẹn được hết như hai ví dụ trước.
Ghép 2020 số hạng đầu: (1−2)+(3−4)+⋯+(2019−2020), có 2020÷2=1010 cặp, mỗi cặp bằng −1, cho −1010.
Số hạng cuối cùng +2021 đứng một mình, chưa có số hạng nào đi kèm để ghép cặp.
E=−1010+2021=1011.
Dãy E có 2021 số hạng — số lẻ, nên không ghép cặp được trọn vẹn (1). Ghép 2020 số hạng đầu thành 1010 cặp, mỗi cặp bằng −1: (1−2)+⋯+(2019−2020)=−1010 (2). Số hạng thứ 2021 là +2021, còn dư lại, chưa ghép cặp (3). Kết hợp (2) và (3): E=−1010+2021=1011. Vậy E=1011.
Thêm đúng một số hạng nữa vào cuối: F=1−2+3−4+⋯−2020+2021−2022. Bây giờ dãy có 2022 số hạng — số chẵn, ghép cặp trọn vẹn được 1011 cặp, mỗi cặp −1: F=1011×(−1)=−1011.
(1) Quên đếm số hạng trước khi ghép cặp — nếu số hạng là số lẻ, luôn có đúng một số hạng bị dư ra, không được bỏ sót hay ghép nhầm nó vào cặp khác. (2) Nhầm dấu của số hạng dư ra khi kết luận (nó giữ nguyên dấu như trong đề, không đổi dấu). (3) Cộng lần lượt từ trái sang phải cho một dãy dài — vừa mất thời gian vừa dễ sai dấu khi tính nhẩm.