Phần

Ghép hai khối số hạng để tính nhanh

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tách được một tổng đại số dài thành một khối số âm và một khối số dương, nhận ra khi nào hai khối có thể ghép cặp trực tiếp theo thứ tự để cho một hằng số không đổi, và dùng đúng công thức (số cặp) $\times$ (hằng số) để tính nhanh.

Kiến thức cần có

Cần vững kỹ thuật ghép cặp liền kề ở Bài 1 và phép cộng, trừ số nguyên nền tảng Lớp 6. Kỹ thuật ghép cặp giữa hai khối riêng biệt là mở rộng của Bài 1, vẫn thuộc Mở rộng dành cho HSG: đề chuẩn Lớp 6 chỉ yêu cầu cộng trừ trực tiếp một dãy ngắn, không yêu cầu nhận ra cấu trúc hai khối này.

So với đề chuẩn lớp 6: một bài tập thông thường cho sẵn một khối số âm và cộng trực tiếp với một khối số dương bằng cách tính riêng từng khối rồi cộng lại — cách này luôn đúng nhưng chậm khi mỗi khối có hàng chục số hạng. Bài HSG đòi hỏi một cách nhìn khác: ghép từng cặp một số hạng âm với một số hạng dương sao cho mỗi cặp cho cùng một kết quả, biến phép cộng nhiều số hạng thành một phép nhân.

**So với đề chuẩn lớp 6:** một bài tập thông thường cho sẵn một khối số âm và cộng trực tiếp với một khối số dương bằng cách tính riêng từng khối rồi cộng lại — cách này luôn đúng nhưng chậm khi mỗi khối có hàng chục số hạng. Bài HSG đòi hỏi một cách nhìn khác: ghép từng cặp một số hạng âm với một số hạng dương sao cho mỗi cặp cho cùng một kết quả, biến phép cộng nhiều số hạng thành một phép nhân.

Bài toán khởi động

Tính nhanh $E = (-1) + (-2) + \cdots + (-50) + 51 + 52 + \cdots + 100$ . Khối âm có $50$ số hạng, khối dương cũng có $50$ số hạng — liệu có cách nào nhanh hơn tính riêng từng khối rồi cộng?

Tính nhanh $E = (-1) + (-2) + \cdots + (-50) + 51 + 52 + \cdots + 100$. Khối âm có $50$ số hạng, khối dương cũng có $50$ số hạng — liệu có cách nào nhanh hơn tính riêng từng khối rồi cộng?

Ý tưởng cốt lõi

Ghép số hạng thứ $k$ của khối âm với số hạng thứ $k$ của khối dương (tính theo đúng thứ tự xuất hiện): $(-1+51), (-2+52), \ldots, (-50+100)$ . Mỗi cặp đều cho $50$ — một hằng số không đổi, dù $k$ thay đổi. Lý do: khối âm giảm dần $1, 2, 3, \ldots$ còn khối dương cũng tăng dần $1, 2, 3,\ldots$ với đúng cùng bước nhảy, nên độ lệch giữa hai số hạng tương ứng luôn cố định.

Ghép số hạng thứ $k$ của khối âm với số hạng thứ $k$ của khối dương (tính theo đúng thứ tự xuất hiện): $(-1+51), (-2+52), \ldots, (-50+100)$. Mỗi cặp đều cho $50$ — một hằng số không đổi, dù $k$ thay đổi. Lý do: khối âm giảm dần $1, 2, 3, \ldots$ còn khối dương cũng tăng dần $1, 2, 3,\ldots$ với đúng cùng bước nhảy, nên độ lệch giữa hai số hạng tương ứng luôn cố định.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Một học sinh giỏi khi thấy hai dãy số cách đều cùng bước nhảy $1$ sẽ tự hỏi: nếu ghép số hạng thứ $k$ của dãy này với số hạng thứ $k$ của dãy kia thì có triệt tiêu bớt biến $k$ không? Vì cả hai dãy đều tăng cùng tốc độ, hiệu của chúng không phụ thuộc $k$ — đây chính là điều kiện để phép ghép cặp áp dụng được: hai khối phải có cùng số lượng số hạng.

**Vì sao ý tưởng này tự nhiên?** Một học sinh giỏi khi thấy hai dãy số cách đều cùng bước nhảy $1$ sẽ tự hỏi: nếu ghép số hạng thứ $k$ của dãy này với số hạng thứ $k$ của dãy kia thì có triệt tiêu bớt biến $k$ không? Vì cả hai dãy đều tăng cùng tốc độ, hiệu của chúng không phụ thuộc $k$ — đây chính là điều kiện để phép ghép cặp áp dụng được: hai khối phải có cùng số lượng số hạng.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Hai khối liền nhau (trường hợp đối xứng)

1
Tính $E = (-1) + (-2) + \cdots + (-50) + 51 + 52 + \cdots + 100$ .
Tính $E = (-1) + (-2) + \cdots + (-50) + 51 + 52 + \cdots + 100$.
2
Khối âm: $-(1+2+\cdots+50) = -1275$ . Khối dương: $51+52+\cdots+100 = \dfrac{(51+100)\times 50}{2} = 3775$ . Cộng lại: $-1275+3775=2500$ .
Khối âm: $-(1+2+\cdots+50) = -1275$. Khối dương: $51+52+\cdots+100 = \dfrac{(51+100)\times 50}{2} = 3775$. Cộng lại: $-1275+3775=2500$.
3
Ghép $(-1+51)+(-2+52)+\cdots+(-50+100)$ : mỗi cặp bằng $50$ , có $50$ cặp (vì mỗi khối có $50$ số hạng): $50\times50=2500$ .
Ghép $(-1+51)+(-2+52)+\cdots+(-50+100)$: mỗi cặp bằng $50$, có $50$ cặp (vì mỗi khối có $50$ số hạng): $50\times50=2500$.
4
Hai cách cho cùng kết quả $E=2500$ , nhưng Cách 2 (ghép cặp) nhanh hơn hẳn vì không cần cộng hai dãy số riêng biệt.
Hai cách cho cùng kết quả $E=2500$, nhưng Cách 2 (ghép cặp) nhanh hơn hẳn vì không cần cộng hai dãy số riêng biệt.
5
Khối âm và khối dương đều có $50$ số hạng, cùng bước nhảy $1$ (1). Ghép số hạng thứ $k$ của mỗi khối theo đúng thứ tự: $(-1+51)=(-2+52)=\cdots=(-50+100)=50$ , tức mỗi cặp đều bằng $50$ (2). Kết hợp (1) và (2): $E=50\times50=2500$ . Vậy $E=2500$ .
Khối âm và khối dương đều có $50$ số hạng, cùng bước nhảy $1$ (1). Ghép số hạng thứ $k$ của mỗi khối theo đúng thứ tự: $(-1+51)=(-2+52)=\cdots=(-50+100)=50$, tức mỗi cặp đều bằng $50$ (2). Kết hợp (1) và (2): $E=50\times50=2500$. Vậy $E=2500$.
6
Thu nhỏ hai khối còn $25$ số hạng mỗi bên: $(-1)+(-2)+\cdots+(-25)+26+27+\cdots+50$ . Ghép cặp: $(-1+26)=(-2+27)=\cdots=25$ (hằng số mới), có $25$ cặp: $25\times25=625$ .
Thu nhỏ hai khối còn $25$ số hạng mỗi bên: $(-1)+(-2)+\cdots+(-25)+26+27+\cdots+50$. Ghép cặp: $(-1+26)=(-2+27)=\cdots=25$ (hằng số mới), có $25$ cặp: $25\times25=625$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Hai khối cách nhau một khoảng (không liền kề)

1
Tính $F = (-1) + (-2) + \cdots + (-40) + 61 + 62 + \cdots + 100$ .
Tính $F = (-1) + (-2) + \cdots + (-40) + 61 + 62 + \cdots + 100$.
2
Khối âm: $1$ đến $40$ , có $40$ số hạng. Khối dương: $61$ đến $100$ , cũng có $40$ số hạng — bằng nhau, nên ghép cặp áp dụng được, dù khối dương không bắt đầu ngay sau khối âm.
Khối âm: $1$ đến $40$, có $40$ số hạng. Khối dương: $61$ đến $100$, cũng có $40$ số hạng — bằng nhau, nên ghép cặp áp dụng được, dù khối dương không bắt đầu ngay sau khối âm.
3
Ghép $(-1+61)+(-2+62)+\cdots+(-40+100)$ : mỗi cặp bằng $60$ — hằng số này bằng đúng khoảng cách giữa hai khối ( $61-1=60$ ).
Ghép $(-1+61)+(-2+62)+\cdots+(-40+100)$: mỗi cặp bằng $60$ — hằng số này bằng đúng khoảng cách giữa hai khối ($61-1=60$).
4
$F = 40 \times 60 = 2400$ .
$F = 40 \times 60 = 2400$.
5
$F=2400$ . Khác Ví dụ 1 ở chỗ khối dương không liền ngay sau khối âm, nhưng vì hai khối vẫn cùng số lượng số hạng, phép ghép cặp vẫn cho một hằng số không đổi.
$F=2400$. Khác Ví dụ 1 ở chỗ khối dương không liền ngay sau khối âm, nhưng vì hai khối vẫn cùng số lượng số hạng, phép ghép cặp vẫn cho một hằng số không đổi.
6
Khối âm ( $1$ đến $40$ ) và khối dương ( $61$ đến $100$ ) đều có $40$ số hạng (1). Ghép số hạng thứ $k$ của hai khối: $-(k) + (60+k) = 60$ với mọi $k=1,\ldots,40$ — hằng số không đổi (2). Kết hợp (1) và (2): $F = 40\times60=2400$ . Vậy $F=2400$ .
Khối âm ($1$ đến $40$) và khối dương ($61$ đến $100$) đều có $40$ số hạng (1). Ghép số hạng thứ $k$ của hai khối: $-(k) + (60+k) = 60$ với mọi $k=1,\ldots,40$ — hằng số không đổi (2). Kết hợp (1) và (2): $F = 40\times60=2400$. Vậy $F=2400$.
7
Đổi khối dương thành $81$ đến $100$ và khối âm thành $(-1)$ đến $(-20)$ (vẫn $20$ số hạng mỗi khối): mỗi cặp bằng $80$ , tổng $=20\times80=1600$ .
Đổi khối dương thành $81$ đến $100$ và khối âm thành $(-1)$ đến $(-20)$ (vẫn $20$ số hạng mỗi khối): mỗi cặp bằng $80$, tổng $=20\times80=1600$.

Quy trình ghép hai khối áp dụng được ngay khi khối âm và khối dương có cùng số lượng số hạng, bất kể hai khối có liền nhau hay cách xa nhau.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Tổng quát hóa và áp dụng cho số lớn

1
Cho khối âm gồm $m$ số hạng $-a, -(a+1), \ldots, -(a+m-1)$ và khối dương gồm $m$ số hạng $b, b+1, \ldots, b+m-1$ (cùng bước nhảy $1$ , cùng số lượng $m$ ). Ghép số hạng thứ $k$ (tính từ $k=0$ ): $-(a+k)+(b+k)=b-a$ — không phụ thuộc $k$ .
Cho khối âm gồm $m$ số hạng $-a, -(a+1), \ldots, -(a+m-1)$ và khối dương gồm $m$ số hạng $b, b+1, \ldots, b+m-1$ (cùng bước nhảy $1$, cùng số lượng $m$). Ghép số hạng thứ $k$ (tính từ $k=0$): $-(a+k)+(b+k)=b-a$ — không phụ thuộc $k$.
2
Vậy tổng của cả hai khối luôn bằng $m \times (b-a)$ , với $m$ là số hạng mỗi khối và $b-a$ là hằng số của một cặp.
Vậy tổng của cả hai khối luôn bằng $m \times (b-a)$, với $m$ là số hạng mỗi khối và $b-a$ là hằng số của một cặp.
3
Tính $G = (-1)+(-2)+\cdots+(-100) + 201+202+\cdots+300$ : ở đây $m=100$ , $a=1$ , $b=201$ , hằng số $b-a=200$ .
Tính $G = (-1)+(-2)+\cdots+(-100) + 201+202+\cdots+300$: ở đây $m=100$, $a=1$, $b=201$, hằng số $b-a=200$.
4
$G = 100 \times 200 = 20000$ .
$G = 100 \times 200 = 20000$.
5
Với khối âm $m$ số hạng bắt đầu từ $-a$ và khối dương $m$ số hạng bắt đầu từ $b$ (cùng bước nhảy $1$ ), ghép số hạng thứ $k$ : $-(a+k)+(b+k)=b-a$ , không phụ thuộc $k$ (1). Suy ra tổng hai khối luôn bằng $m(b-a)$ (2). Với $G$ : $m=100, a=1, b=201$ , hằng số $b-a=200$ (3). Kết hợp (2) và (3): $G=100\times200=20000$ . Vậy $G=20000$ .
Với khối âm $m$ số hạng bắt đầu từ $-a$ và khối dương $m$ số hạng bắt đầu từ $b$ (cùng bước nhảy $1$), ghép số hạng thứ $k$: $-(a+k)+(b+k)=b-a$, không phụ thuộc $k$ (1). Suy ra tổng hai khối luôn bằng $m(b-a)$ (2). Với $G$: $m=100, a=1, b=201$, hằng số $b-a=200$ (3). Kết hợp (2) và (3): $G=100\times200=20000$. Vậy $G=20000$.
6
Đổi khối dương thành bắt đầu từ $301$ (giữ $m=100, a=1$ ): hằng số mới $b-a=300$ , tổng mới $=100\times300=30000$ — chỉ cần thay đúng một số vào công thức tổng quát, không cần ghép cặp lại từ đầu.
Đổi khối dương thành bắt đầu từ $301$ (giữ $m=100, a=1$): hằng số mới $b-a=300$, tổng mới $=100\times300=30000$ — chỉ cần thay đúng một số vào công thức tổng quát, không cần ghép cặp lại từ đầu.

Bẫy thường gặp

(1) Ghép cặp trực tiếp khi hai khối không cùng số lượng số hạng — công thức $m(b-a)$ chỉ đúng khi cả hai khối có đúng $m$ số hạng như nhau, nếu khác nhau phải tách phần dư ra tính riêng. (2) Nhầm hằng số của cặp là $b$ hoặc $a$ một mình, thay vì $b-a$ . (3) Đếm sai số lượng số hạng của một khối (luôn nhớ công thức: số hạng $=$ số cuối $-$ số đầu $+1$ ).

(1) Ghép cặp trực tiếp khi hai khối không cùng số lượng số hạng — công thức $m(b-a)$ chỉ đúng khi cả hai khối có đúng $m$ số hạng như nhau, nếu khác nhau phải tách phần dư ra tính riêng. (2) Nhầm hằng số của cặp là $b$ hoặc $a$ một mình, thay vì $b-a$. (3) Đếm sai số lượng số hạng của một khối (luôn nhớ công thức: số hạng $=$ số cuối $-$ số đầu $+1$).

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Khi một tổng đại số tách được thành một khối âm và một khối dương cùng số lượng số hạng, ghép số hạng thứ $k$ của khối âm với số hạng thứ $k$ của khối dương luôn cho một hằng số không đổi (bằng số đầu khối dương trừ số đầu khối âm, nếu cùng bước nhảy). Kết quả $=$ hằng số $\times$ số hạng mỗi khối. Nếu hai khối khác số lượng, phải tính riêng từng khối.

Bài tiếp theo: ta vừa học cách ghép cặp bên trong một tổng đại số. Chương tiếp theo chuyển sang một dạng dãy số nguyên khác — dãy các số nguyên liên tiếp (không xen kẽ dấu) — và học cách tính nhanh tổng của dãy đó, kể cả khi dãy đi qua số $0$ .

**Bài tiếp theo:** ta vừa học cách ghép cặp bên trong một tổng đại số. Chương tiếp theo chuyển sang một dạng dãy số nguyên khác — dãy các số nguyên liên tiếp (không xen kẽ dấu) — và học cách tính nhanh tổng của dãy đó, kể cả khi dãy đi qua số $0$.