Bài học

Chu vi, diện tích và thể tích phối hợp phân số, tỉ số phần trăm

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tính được thể tích một hình hộp khi chiều cao chưa cho trực tiếp mà phải suy ra từ một tỉ số phần trăm của cạnh đáy, và tính được thể tích một lăng trụ đứng tam giác khi chiều cao lăng trụ được cho dưới dạng một phân số của một cạnh đáy.

Kiến thức nền cần nhớ

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao. Với hình lăng trụ đứng, thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao lăng trụ (chiều cao ở đây là khoảng cách giữa hai mặt đáy, không phải chiều cao của tam giác đáy). Diện tích một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$ , $b$ tính bằng $\frac{1}{2} \times a \times b$ . Về đơn vị, thể tích đo bằng cm³, m³ hay đơn vị khối tương ứng, nhưng đề bài đôi khi hỏi kết quả theo lít — em cần nhớ đúng một quy đổi: $1$ lít $= 1\,000$ cm³, tức thể tích một khối lập phương cạnh 10 cm.

Thể tích hình hộp chữ nhật bằng chiều dài nhân chiều rộng nhân chiều cao. Với hình lăng trụ đứng, thể tích bằng diện tích đáy nhân chiều cao lăng trụ (chiều cao ở đây là khoảng cách giữa hai mặt đáy, không phải chiều cao của tam giác đáy). Diện tích một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông $a$, $b$ tính bằng $\frac{1}{2} \times a \times b$. Về đơn vị, thể tích đo bằng cm³, m³ hay đơn vị khối tương ứng, nhưng đề bài đôi khi hỏi kết quả theo lít — em cần nhớ đúng một quy đổi: $1$ lít $= 1\,000$ cm³, tức thể tích một khối lập phương cạnh 10 cm.

Khởi động

Một hộp quà sinh nhật hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông cạnh 15 cm, còn chiều cao hộp bằng 60% cạnh đáy. Người đóng gói cần biết chu vi nắp hộp để cắt dải ruy băng vừa khít, và cần biết thể tích hộp để chọn giấy lót phù hợp. Hai đại lượng đó tính thế nào?

Khi chiều cao là một tỉ số phần trăm của cạnh đáy

Khác với các bài toán chu vi diện tích quen thuộc cho sẵn đủ số đo, bài toán tổng hợp thường chỉ cho MỘT cạnh trực tiếp rồi yêu cầu tự suy ra cạnh còn lại qua một tỉ số phần trăm hoặc phân số. Bước đầu tiên luôn là tính cạnh còn thiếu đó trước, sau đó mới áp dụng công thức chu vi, diện tích, hay thể tích như bình thường.

Cách suy luận này không chỉ dùng cho hình hộp chữ nhật hay lăng trụ tam giác — nó áp dụng được cho MỌI hình khối trong chương trình lớp 6, kể cả hình lập phương và lăng trụ đứng tứ giác, miễn đề cho một kích thước trực tiếp và các kích thước còn lại theo tỉ số hoặc phần trăm của kích thước đó. Một bài toán có thể còn yêu cầu đổi kết quả cuối cùng từ cm³ sang lít, đúng như đã ôn ở phần Kiến thức nền — đừng bỏ sót bước đổi đơn vị này nếu đề yêu cầu.

Tín hiệu để nhận ra kích thước còn thiếu cho theo phần trăm hay theo phân số cũng giống hai chương trước: chữ '%' hoặc 'phần trăm' đi với phép nhân $\frac{p}{100}$ , còn cụm 'bằng $\frac{a}{b}$ của' đi với phép nhân phân số trực tiếp. Cả hai đều cùng một bản chất — nhân kích thước đã biết với một hệ số nhỏ hơn hoặc lớn hơn 1 — nên dù đề dùng cách viết nào, bước tính toán bên trong vẫn giống nhau, chỉ khác cách đề diễn đạt hệ số đó.

Tín hiệu để nhận ra kích thước còn thiếu cho theo phần trăm hay theo phân số cũng giống hai chương trước: chữ '%' hoặc 'phần trăm' đi với phép nhân $\frac{p}{100}$, còn cụm 'bằng $\frac{a}{b}$ của' đi với phép nhân phân số trực tiếp. Cả hai đều cùng một bản chất — nhân kích thước đã biết với một hệ số nhỏ hơn hoặc lớn hơn 1 — nên dù đề dùng cách viết nào, bước tính toán bên trong vẫn giống nhau, chỉ khác cách đề diễn đạt hệ số đó.

Chu vi nắp hộp bằng bốn lần cạnh này.

Ví dụ

Dạng thi — thể tích hộp quà khi chiều cao là phần trăm cạnh đáy

1
Hộp quà hình hộp chữ nhật có đáy hình vuông cạnh 15 cm, chiều cao bằng 60% cạnh đáy. Tính chu vi nắp hộp và thể tích hộp.
2
Nắp hộp là hình vuông cạnh 15 cm, chu vi $= 4 \times 15 = 60$ cm.
Nắp hộp là hình vuông cạnh 15 cm, chu vi $= 4 \times 15 = 60$ cm.
3
Chiều cao $= 60\% \times 15 = \frac{60}{100} \times 15 = 9$ cm.
Chiều cao $= 60\% \times 15 = \frac{60}{100} \times 15 = 9$ cm.
4
Thể tích hình hộp chữ nhật $= 15 \times 15 \times 9 = 2\,025$ cm³.
Thể tích hình hộp chữ nhật $= 15 \times 15 \times 9 = 2\,025$ cm³.
5
Chu vi nắp hộp là 60 cm, thể tích hộp quà là 2 025 cm³.

Diện tích đáy dùng công thức nửa tích hai cạnh góc vuông.

Ví dụ

Dạng thi — lăng trụ đứng tam giác với chiều cao là phân số của cạnh đáy

1
Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Chiều cao lăng trụ bằng $\frac{3}{4}$ cạnh góc vuông dài hơn. Tính thể tích lăng trụ.
Lăng trụ đứng tam giác có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 cm và 8 cm. Chiều cao lăng trụ bằng $\frac{3}{4}$ cạnh góc vuông dài hơn. Tính thể tích lăng trụ.
2
Đáy là tam giác vuông hai cạnh góc vuông 6 cm, 8 cm: diện tích $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm².
Đáy là tam giác vuông hai cạnh góc vuông 6 cm, 8 cm: diện tích $= \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24$ cm².
3
Cạnh góc vuông dài hơn là 8 cm. Chiều cao $= \frac{3}{4} \times 8 = 6$ cm.
Cạnh góc vuông dài hơn là 8 cm. Chiều cao $= \frac{3}{4} \times 8 = 6$ cm.
4
Thể tích lăng trụ $=$ diện tích đáy $\times$ chiều cao $= 24 \times 6 = 144$ cm³.
Thể tích lăng trụ $=$ diện tích đáy $\times$ chiều cao $= 24 \times 6 = 144$ cm³.
5
Thể tích lăng trụ đứng tam giác là 144 cm³.

Ví dụ

Dạng thi — lăng trụ đứng tứ giác với chiều cao là phân số

1
Một lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang với diện tích đáy 45 cm² (đã cho sẵn). Chiều cao lăng trụ bằng $\frac{2}{5}$ của 20 cm. Tính thể tích lăng trụ.
Một lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thang với diện tích đáy 45 cm² (đã cho sẵn). Chiều cao lăng trụ bằng $\frac{2}{5}$ của 20 cm. Tính thể tích lăng trụ.
2
Chiều cao $= \frac{2}{5} \times 20 = 8$ cm.
Chiều cao $= \frac{2}{5} \times 20 = 8$ cm.
3
Thể tích lăng trụ $=$ diện tích đáy $\times$ chiều cao $= 45 \times 8 = 360$ cm³.
Thể tích lăng trụ $=$ diện tích đáy $\times$ chiều cao $= 45 \times 8 = 360$ cm³.
4
Thể tích lăng trụ đứng tứ giác là 360 cm³.

Ví dụ

Dạng thi — bể cá với các kích thước cho qua tỉ số, đổi ra lít

1
Một bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao 40 cm, chiều dài gấp đôi chiều cao, chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài. Tính thể tích bể cá theo lít (biết $1$ lít $= 1\,000$ cm³).
Một bể cá hình hộp chữ nhật có chiều cao 40 cm, chiều dài gấp đôi chiều cao, chiều rộng bằng $\frac{3}{4}$ chiều dài. Tính thể tích bể cá theo lít (biết $1$ lít $= 1\,000$ cm³).
2
Chiều dài gấp đôi chiều cao: $2 \times 40 = 80$ cm.
Chiều dài gấp đôi chiều cao: $2 \times 40 = 80$ cm.
3
Chiều rộng $= \frac{3}{4} \times 80 = 60$ cm.
Chiều rộng $= \frac{3}{4} \times 80 = 60$ cm.
4
Thể tích $= 80 \times 60 \times 40 = 192\,000$ cm³.
Thể tích $= 80 \times 60 \times 40 = 192\,000$ cm³.
5
$192\,000 : 1\,000 = 192$ lít.
$192\,000 : 1\,000 = 192$ lít.
6
Bể cá chứa được tối đa 192 lít nước.

Bẫy thường gặp

Sai lầm hay gặp: nhầm chiều cao của lăng trụ với chiều cao của tam giác đáy, dẫn đến nhân sai hai đại lượng không tương ứng. Luôn xác định rõ công thức thể tích lăng trụ chỉ cần MỘT diện tích đáy và MỘT chiều cao giữa hai đáy, không liên quan đến các cạnh còn lại của tam giác.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Khi một kích thước của hình không được cho trực tiếp mà phải tính qua phần trăm hoặc phân số của một kích thước khác, luôn tính kích thước còn thiếu đó TRƯỚC, kiểm tra lại đơn vị, rồi mới áp dụng công thức chu vi, diện tích hay thể tích quen thuộc. Với lăng trụ đứng — dù đáy là tam giác hay tứ giác — công thức thể tích luôn là diện tích đáy nhân chiều cao lăng trụ, chỉ khác nhau ở cách tính diện tích đáy của từng loại hình.

Chương tiếp theo rời khỏi hình học để quay về thống kê và xác suất — nơi tỉ số phần trăm sẽ xuất hiện lại lần cuối, lần này gắn với dữ liệu đọc từ một biểu đồ thật.