Bài học

Ôn tập tổng hợp về phân số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phối hợp được rút gọn, quy đồng, so sánh và bốn phép tính với phân số (kể cả hỗn số và dấu âm) trong một bài toán tổng hợp đúng cấu trúc đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài ôn tập này không dạy kiến thức mới — nó ghép lại toàn bộ sáu bài trước: phân số mở rộng và phân số bằng nhau, rút gọn, quy đồng, so sánh, cộng trừ, nhân chia và hỗn số. Mỗi bài toán dưới đây cần ít nhất hai kỹ năng trong số đó phối hợp với nhau.

Khởi động

Một đề kiểm tra giữa kì hiếm khi hỏi riêng lẻ "rút gọn phân số này" hay "so sánh hai phân số kia" — thường một bài toán sẽ bắt em rút gọn rồi mới so sánh, hoặc cộng trừ rồi mới nhân chia. Bài ôn tập hôm nay luyện đúng kiểu phối hợp đó, để em không bỡ ngỡ khi gặp trong đề thi thật.

Kiến thức trọng tâm

Với một bài toán phân số tổng hợp, thứ tự xử lý luôn theo một mạch chung: đưa mọi mẫu về dương, rút gọn phân số nào chưa tối giản, quy đồng khi cần cộng trừ hoặc so sánh khác mẫu, thực hiện đúng thứ tự phép tính khi biểu thức có ngoặc và nhiều phép tính phối hợp, rồi kết luận và kiểm tra lại kết quả có hợp lý với đề bài hay không.

Thứ tự thực hiện phép tính với phân số giống hệt với số tự nhiên và số nguyên đã học: trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau; nhân chia trước, cộng trừ sau nếu không có ngoặc phân định rõ.

Một điểm hay gây lúng túng là chọn phương pháp: gặp hai phân số cần so sánh, dùng quy đồng mẫu khi không có mẹo nào nhanh hơn, dùng so với 0/1 khi hai phân số trái dấu hoặc một bên rõ ràng lớn/nhỏ hơn 1, và dùng phần bù đến 1 khi cả hai đều gần 1. Gặp phép nhân hoặc chia, không bao giờ quy đồng trước — chỉ quy đồng khi phép tính là cộng hoặc trừ. Gặp hỗn số trong một biểu thức có nhiều phép tính, đổi ngay về phân số trước khi tính bất cứ điều gì, và chỉ đổi ngược lại hỗn số ở bước kết luận cuối cùng.

Quy trình ôn tập: đưa mẫu dương, rút gọn, quy đồng, thực hiện đúng thứ tự phép tính, kết luận.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn rồi so sánh hai phân số có mẫu âm

1
So sánh hai phân số $\frac{-14}{21}$ và $\frac{3}{-5}$ .
So sánh hai phân số $\frac{-14}{21}$ và $\frac{3}{-5}$.
2
$\frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$ (đã có mẫu dương). $\text{ƯCLN}(14,21)=7$ , nên $\frac{-14}{21} = -\frac{2}{3}$ .
$\frac{3}{-5} = -\frac{3}{5}$ (đã có mẫu dương). $\text{ƯCLN}(14,21)=7$, nên $\frac{-14}{21} = -\frac{2}{3}$.
3
$\text{BCNN}(3,5)=15$ : $-\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}$ và $-\frac{3}{5} = -\frac{9}{15}$ .
$\text{BCNN}(3,5)=15$: $-\frac{2}{3} = -\frac{10}{15}$ và $-\frac{3}{5} = -\frac{9}{15}$.
4
$-10 < -9$ , nên $-\frac{2}{3} < -\frac{3}{5}$ .
$-10 < -9$, nên $-\frac{2}{3} < -\frac{3}{5}$.
5
Vậy $\frac{-14}{21} < \frac{3}{-5}$ .
Vậy $\frac{-14}{21} < \frac{3}{-5}$.

Ví dụ

Biểu thức phối hợp cộng, trừ và nhân

1
Tính $\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \frac{3}{5}$ .
Tính $\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \frac{3}{5}$.
2
$\text{BCNN}(3,6)=6$ : $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$ . Cộng: $\frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ .
$\text{BCNN}(3,6)=6$: $\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$. Cộng: $\frac{4}{6}+\frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
3
$\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{1} = \frac{1}{2}$ (rút gọn chéo $5$ với $5$ và $3$ với $6$ ).
$\frac{5}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{1} = \frac{1}{2}$ (rút gọn chéo $5$ với $5$ và $3$ với $6$).
4
Vậy $\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$ .
Vậy $\left(\frac{2}{3} + \frac{1}{6}\right) \times \frac{3}{5} = \frac{1}{2}$.

Ví dụ

Bài toán thực tế nhiều bước: cửa hàng bán gạo

1
Một cửa hàng có 90kg gạo. Ngày đầu bán $\frac{2}{5}$ số gạo, ngày sau bán tiếp $\frac{1}{3}$ số gạo còn lại. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
Một cửa hàng có 90kg gạo. Ngày đầu bán $\frac{2}{5}$ số gạo, ngày sau bán tiếp $\frac{1}{3}$ số gạo còn lại. Hỏi cửa hàng còn lại bao nhiêu ki-lô-gam gạo?
2
Ngày đầu bán $90 \times \frac{2}{5} = 36$ kg. Số gạo còn lại là $90 - 36 = 54$ kg. (1)
Ngày đầu bán $90 \times \frac{2}{5} = 36$kg. Số gạo còn lại là $90 - 36 = 54$kg. (1)
3
Ngày sau bán $\frac{1}{3}$ của 54kg còn lại: $54 \times \frac{1}{3} = 18$ kg. (2)
Ngày sau bán $\frac{1}{3}$ của 54kg còn lại: $54 \times \frac{1}{3} = 18$kg. (2)
4
Số gạo còn lại cuối cùng là $54 - 18 = 36$ kg.
Số gạo còn lại cuối cùng là $54 - 18 = 36$kg.
5
Vậy cửa hàng còn lại 36kg gạo.

Ví dụ

Biểu thức phối hợp hỗn số

1
Tính $2\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)$ .
Tính $2\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right)$.
2
$\text{BCNN}(3,4)=12$ : $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ , $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ . Cộng: $\frac{4}{12}+\frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ .
$\text{BCNN}(3,4)=12$: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. Cộng: $\frac{4}{12}+\frac{3}{12} = \frac{7}{12}$.
3
$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} = \frac{30}{12}$ .
$2\frac{1}{2} = \frac{5}{2} = \frac{30}{12}$.
4
$\frac{30}{12} - \frac{7}{12} = \frac{23}{12}$ .
$\frac{30}{12} - \frac{7}{12} = \frac{23}{12}$.
5
Vậy $2\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{23}{12} = 1\frac{11}{12}$ .
Vậy $2\frac{1}{2} - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{23}{12} = 1\frac{11}{12}$.

Ví dụ

Dạng thi: tìm một số biết giá trị phân số của nó, kết hợp đổi hỗn số

1
Biết $\frac{3}{5}$ quãng đường AB dài 24km. Tính độ dài cả quãng đường AB, rồi tính thời gian đi hết quãng đường đó với vận tốc 12km/h.
Biết $\frac{3}{5}$ quãng đường AB dài 24km. Tính độ dài cả quãng đường AB, rồi tính thời gian đi hết quãng đường đó với vận tốc 12km/h.
2
Gọi độ dài AB là $x$ km. Theo đề bài, $x \times \frac{3}{5} = 24$ , suy ra $x = 24 \times \frac{5}{3} = 40$ . (1)
Gọi độ dài AB là $x$ km. Theo đề bài, $x \times \frac{3}{5} = 24$, suy ra $x = 24 \times \frac{5}{3} = 40$. (1)
3
Theo (1), thời gian đi hết quãng đường là $40 : 12 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ giờ.
Theo (1), thời gian đi hết quãng đường là $40 : 12 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}$ giờ.
4
$10 : 3 = 3$ dư $1$ , nên $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ giờ.
$10 : 3 = 3$ dư $1$, nên $\frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ giờ.
5
Vậy quãng đường AB dài 40km, và đi hết quãng đường đó mất $3\frac{1}{3}$ giờ.
Vậy quãng đường AB dài 40km, và đi hết quãng đường đó mất $3\frac{1}{3}$ giờ.

Ví dụ

Dạng thi tổng hợp: hỗn số âm, phân số âm và thứ tự phép tính

1
Tính $-2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right)$ .
Tính $-2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right)$.
2
Theo quy ước hỗn số âm đã học, $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$ . (1)
Theo quy ước hỗn số âm đã học, $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$. (1)
3
Theo thứ tự thực hiện phép tính, nhân trước cộng: $\frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right)$ . Hai phân số trái dấu nên tích âm; rút gọn chéo $5$ với $5$ : $= -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ . (2)
Theo thứ tự thực hiện phép tính, nhân trước cộng: $\frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right)$. Hai phân số trái dấu nên tích âm; rút gọn chéo $5$ với $5$: $= -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$. (2)
4
$-\frac{7}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{-7-1}{3} = \frac{-8}{3}$ .
$-\frac{7}{3} + \left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{-7-1}{3} = \frac{-8}{3}$.
5
$8 : 3 = 2$ dư $2$ , nên $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$ , mang dấu âm.
$8 : 3 = 2$ dư $2$, nên $\frac{8}{3} = 2\frac{2}{3}$, mang dấu âm.
6
Vậy $-2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right) = -2\frac{2}{3}$ .
Vậy $-2\frac{1}{3} + \frac{5}{6} \times \left(-\frac{2}{5}\right) = -2\frac{2}{3}$.

Sai lầm thường gặp

Bỏ qua thứ tự phép tính khi có ngoặc

Ở ví dụ cửa hàng bán gạo, một lỗi hay gặp là tính $\frac{1}{3}$ của 90kg ban đầu thay vì $\frac{1}{3}$ của 54kg còn lại sau ngày đầu — dẫn đến đáp số sai. Khi đề bài mô tả nhiều bước liên tiếp, phải dùng đúng số liệu MỚI sau mỗi bước, không quay lại số liệu ban đầu cho bước sau. Ở ví dụ hỗn số âm và phân số âm phối hợp, một lỗi khác là cộng trước khi nhân — phải luôn thực hiện phép nhân/chia trước phép cộng/trừ khi không có ngoặc phân định.

Luyện tập

Ghi nhớ

Một bài toán phân số tổng hợp luôn theo cùng một mạch: đưa mẫu về dương, rút gọn, quy đồng khi cần, thực hiện đúng thứ tự phép tính, rồi kết luận có kiểm tra lại. Nắm chắc mạch này, mọi bài toán phân số — dù phối hợp bao nhiêu kỹ năng — đều xử lý được theo từng bước rõ ràng.

Khi bài toán mô tả nhiều bước liên tiếp như ví dụ cửa hàng bán gạo, luôn dùng đúng số liệu MỚI sau mỗi bước — không quay lại số liệu ban đầu. Và với mọi kết quả cuối cùng, luôn kiểm tra ngược lại xem con số đó có hợp lý với tình huống thực tế của đề bài hay không, trước khi viết câu 'Vậy...' kết luận.

Chương phân số khép lại ở đây. Bài học kế tiếp của chương trình lớp 6 dùng đúng những phân số này để làm quen với một cách viết số mới — số thập phân — cùng tỉ số và tỉ số phần trăm trong đời sống hằng ngày, những công cụ em sẽ gặp lại suốt các năm học sau.