Bài học

Hỗn số và ứng dụng thực tế

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đổi được hỗn số thành phân số và ngược lại, cộng trừ được hai hỗn số đơn giản, và áp dụng hỗn số vào bài toán thực tế có đơn vị đo.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này cần các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân số vừa học ở hai bài trước — hỗn số không phải một loại số mới cần học lại từ đầu, mà chỉ là một cách viết khác của phân số lớn hơn 1.

Khởi động

Một sợi dây dài hai mét, và còn dư thêm $\frac{1}{3}$ mét nữa. Em có thể viết chiều dài đó là $\frac{7}{3}$ mét, nhưng cách viết $2\frac{1}{3}$ mét — hai mét rưỡi phần ba — lại dễ hình dung hơn nhiều. Hai cách viết này có phải cùng một độ dài không?

Kiến thức trọng tâm

Hỗn số là cách viết một phân số lớn hơn 1 thành tổng của một số nguyên dương (phần nguyên) và một phân số nhỏ hơn 1 (phần phân số), viết liền nhau không có dấu cộng: $a\frac{b}{c}$ nghĩa là $a + \frac{b}{c}$ , với $0 < b < c$ .

Đổi hỗn số $a\frac{b}{c}$ thành phân số: nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu — $a\frac{b}{c} = \frac{a\times c + b}{c}$ . Ngược lại, đổi một phân số $\frac{p}{q}$ (với $p > q > 0$ ) thành hỗn số: lấy $p$ chia cho $q$ , thương là phần nguyên, số dư là tử của phần phân số, mẫu giữ nguyên là $q$ .

Đổi hỗn số $a\frac{b}{c}$ thành phân số: nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng tử, giữ nguyên mẫu — $a\frac{b}{c} = \frac{a\times c + b}{c}$. Ngược lại, đổi một phân số $\frac{p}{q}$ (với $p > q > 0$) thành hỗn số: lấy $p$ chia cho $q$, thương là phần nguyên, số dư là tử của phần phân số, mẫu giữ nguyên là $q$.

Cộng trừ hai hỗn số có hai cách làm như nhau: đổi cả hai về phân số rồi cộng trừ như bình thường, hoặc cộng riêng phần nguyên với phần nguyên, phần phân số với phần phân số rồi gộp lại — cách sau nhanh hơn khi phần phân số cùng mẫu hoặc dễ quy đồng.

So sánh hai hỗn số cũng đi theo đúng thứ tự đó: so phần nguyên trước — phần nguyên lớn hơn thì hỗn số lớn hơn, không cần xét gì thêm. Chỉ khi hai phần nguyên bằng nhau mới cần so tiếp hai phần phân số, đúng như cách so hai phân số nhỏ hơn 1 đã học ở bài trước.

Hỗn số âm cần một quy ước riêng, khác với phân số âm ở bài đầu chương: phần nguyên và phần phân số của một hỗn số LUÔN viết dương, còn dấu âm (nếu có) đặt trước cả hỗn số. Chẳng hạn $-2\frac{1}{3}$ nghĩa là $-\left(2 + \frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{3}$ — lấy đối của toàn bộ tổng, chứ KHÔNG được hiểu là $-2 + \frac{1}{3}$ . Đây là điểm khác biệt quan trọng so với phân số $\frac{-7}{3}$ , nơi dấu trừ chỉ gắn với tử.

Hỗn số âm cần một quy ước riêng, khác với phân số âm ở bài đầu chương: phần nguyên và phần phân số của một hỗn số LUÔN viết dương, còn dấu âm (nếu có) đặt trước cả hỗn số. Chẳng hạn $-2\frac{1}{3}$ nghĩa là $-\left(2 + \frac{1}{3}\right) = -\frac{7}{3}$ — lấy đối của toàn bộ tổng, chứ KHÔNG được hiểu là $-2 + \frac{1}{3}$. Đây là điểm khác biệt quan trọng so với phân số $\frac{-7}{3}$, nơi dấu trừ chỉ gắn với tử.

Hỗn số

2\frac{1}{3}

là điểm 2 cộng thêm một cung nhảy dài

\frac{1}{3}

đơn vị.Hỗn số $2\frac{1}{3}$ là điểm 2 cộng thêm một cung nhảy dài $\frac{1}{3}$ đơn vị.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Đổi hỗn số thành phân số

1
Đổi hỗn số $2\frac{1}{3}$ thành phân số.
Đổi hỗn số $2\frac{1}{3}$ thành phân số.
2
$2\frac{1}{3} = \frac{2\times3+1}{3} = \frac{7}{3}$ .
$2\frac{1}{3} = \frac{2\times3+1}{3} = \frac{7}{3}$.
3
Vậy $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$ .
Vậy $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.

Ví dụ

So sánh hai hỗn số

1
So sánh $3\frac{1}{4}$ và $3\frac{1}{6}$ .
So sánh $3\frac{1}{4}$ và $3\frac{1}{6}$.
2
Phần nguyên bằng nhau: cả hai đều là 3.
3
Quy đồng mẫu 12: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ , $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$ . Vì $3 > 2$ nên $\frac{1}{4} > \frac{1}{6}$ .
Quy đồng mẫu 12: $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$, $\frac{1}{6} = \frac{2}{12}$. Vì $3 > 2$ nên $\frac{1}{4} > \frac{1}{6}$.
4
Vậy $3\frac{1}{4} > 3\frac{1}{6}$ .
Vậy $3\frac{1}{4} > 3\frac{1}{6}$.

Ví dụ

Đổi phân số thành hỗn số

1
Đổi phân số $\frac{17}{5}$ thành hỗn số.
Đổi phân số $\frac{17}{5}$ thành hỗn số.
2
$17 : 5 = 3$ dư $2$ .
$17 : 5 = 3$ dư $2$.
3
Vậy $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ .
Vậy $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$.

Ví dụ

Cộng hai hỗn số

1
Tính $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4}$ .
Tính $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4}$.
2
Phần nguyên: $1+2=3$ . Phần phân số quy đồng mẫu 4: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ , nên $\frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ .
Phần nguyên: $1+2=3$. Phần phân số quy đồng mẫu 4: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$, nên $\frac{2}{4}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
3
Vậy $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$ .
Vậy $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: tổng thời gian làm việc

1
Một công nhân mỗi ngày làm $6\frac{1}{2}$ giờ. Hỏi 3 ngày công nhân đó làm tổng cộng bao nhiêu giờ?
Một công nhân mỗi ngày làm $6\frac{1}{2}$ giờ. Hỏi 3 ngày công nhân đó làm tổng cộng bao nhiêu giờ?
2
$6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$ .
$6\frac{1}{2} = \frac{13}{2}$.
3
$\frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{2}$ .
$\frac{13}{2} \times 3 = \frac{39}{2}$.
4
$39 : 2 = 19$ dư $1$ , nên $\frac{39}{2} = 19\frac{1}{2}$ .
$39 : 2 = 19$ dư $1$, nên $\frac{39}{2} = 19\frac{1}{2}$.
5
Vậy trong 3 ngày, công nhân đó làm $19\frac{1}{2}$ giờ.
Vậy trong 3 ngày, công nhân đó làm $19\frac{1}{2}$ giờ.

Ví dụ

Đổi hỗn số âm thành phân số

1
Đổi hỗn số $-2\frac{1}{3}$ thành phân số.
Đổi hỗn số $-2\frac{1}{3}$ thành phân số.
2
Bỏ dấu trừ, đổi $2\frac{1}{3}$ thành phân số như bình thường: $2\frac{1}{3} = \frac{2\times3+1}{3} = \frac{7}{3}$ .
Bỏ dấu trừ, đổi $2\frac{1}{3}$ thành phân số như bình thường: $2\frac{1}{3} = \frac{2\times3+1}{3} = \frac{7}{3}$.
3
Vì hỗn số ban đầu mang dấu trừ trước cả tổng, kết quả cũng lấy dấu trừ: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$ .
Vì hỗn số ban đầu mang dấu trừ trước cả tổng, kết quả cũng lấy dấu trừ: $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3}$.
4
Vậy $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3} = \frac{-7}{3}$ .
Vậy $-2\frac{1}{3} = -\frac{7}{3} = \frac{-7}{3}$.

Ví dụ

Dạng thi: quãng đường với hai hỗn số

1
Một người đi bộ mỗi giờ được $4\frac{1}{2}$ km. Hỏi trong $2\frac{1}{2}$ giờ, người đó đi được bao nhiêu km?
Một người đi bộ mỗi giờ được $4\frac{1}{2}$ km. Hỏi trong $2\frac{1}{2}$ giờ, người đó đi được bao nhiêu km?
2
$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ và $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ .
$4\frac{1}{2} = \frac{9}{2}$ và $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$.
3
Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian: $\frac{9}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{45}{4}$ .
Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian: $\frac{9}{2} \times \frac{5}{2} = \frac{45}{4}$.
4
$45 : 4 = 11$ dư $1$ , nên $\frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$ .
$45 : 4 = 11$ dư $1$, nên $\frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$.
5
Vậy người đó đi được $11\frac{1}{4}$ km.
Vậy người đó đi được $11\frac{1}{4}$ km.

Sai lầm thường gặp

Nhầm hỗn số với phép nhân

Nhiều bạn đọc $2\frac{1}{3}$ rồi hiểu nhầm thành phép nhân $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ . Hỗn số $2\frac{1}{3}$ thực ra là phép CỘNG ẩn: $2 + \frac{1}{3}$ , và giá trị đúng của nó là $\frac{7}{3}$ — lớn hơn 2, khác hẳn $\frac{2}{3}$ nhỏ hơn 1. Một lỗi khác khi so sánh hỗn số là so luôn phần phân số trước, bỏ qua phần nguyên — dẫn tới kết luận sai khi hai phần nguyên thực ra đã khác nhau và quyết định luôn phân số nào lớn hơn.

Nhiều bạn đọc $2\frac{1}{3}$ rồi hiểu nhầm thành phép nhân $2 \times \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. Hỗn số $2\frac{1}{3}$ thực ra là phép CỘNG ẩn: $2 + \frac{1}{3}$, và giá trị đúng của nó là $\frac{7}{3}$ — lớn hơn 2, khác hẳn $\frac{2}{3}$ nhỏ hơn 1. Một lỗi khác khi so sánh hỗn số là so luôn phần phân số trước, bỏ qua phần nguyên — dẫn tới kết luận sai khi hai phần nguyên thực ra đã khác nhau và quyết định luôn phân số nào lớn hơn.

Luyện tập

Trong đời sống, hỗn số xuất hiện nhiều hơn phân số ở những chỗ đo đạc: công thức nấu ăn ghi $1\frac{1}{2}$ cốc bột chứ hiếm khi ghi $\frac{3}{2}$ cốc; đồng hồ nói "hai tiếng rưỡi" thay vì "năm phần hai tiếng". Ngược lại, khi cần tính toán — cộng, trừ, nhân, chia — phân số lại tiện hơn hẳn, vì mọi công thức phép tính đã học đều áp dụng thẳng cho phân số, không có công thức riêng cho hỗn số. Vì vậy quy trình chuẩn là: đổi hỗn số thành phân số trước khi tính, rồi đổi kết quả trở lại hỗn số nếu đề bài cần một câu trả lời dễ đọc.

Ghi nhớ

Hỗn số $a\frac{b}{c}$ là cách viết gọn của $a + \frac{b}{c}$ . Đổi hỗn số sang phân số: nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng tử. Đổi phân số sang hỗn số: chia tử cho mẫu, lấy thương làm phần nguyên, số dư làm tử của phần phân số. So sánh hỗn số: so phần nguyên trước, chỉ so phần phân số khi hai phần nguyên bằng nhau.

Hỗn số $a\frac{b}{c}$ là cách viết gọn của $a + \frac{b}{c}$. Đổi hỗn số sang phân số: nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng tử. Đổi phân số sang hỗn số: chia tử cho mẫu, lấy thương làm phần nguyên, số dư làm tử của phần phân số. So sánh hỗn số: so phần nguyên trước, chỉ so phần phân số khi hai phần nguyên bằng nhau.

Toàn bộ chương phân số — mở rộng dấu, rút gọn, quy đồng, so sánh, bốn phép tính và hỗn số — đến đây đã đủ mảnh ghép. Bài ôn tập cuối chương sẽ kết hợp tất cả trong các bài toán tổng hợp kiểu đề kiểm tra, đúng như những gì em sẽ gặp trong bài kiểm tra giữa kì thật sự.