Bài học

Cộng, trừ phân số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cộng và trừ được hai phân số cùng mẫu hoặc khác mẫu, cộng trừ được phân số với số nguyên, và áp dụng đúng quy tắc dấu ngoặc khi biểu thức có nhiều phân số.

Kiến thức nền cần nhớ

Muốn cộng trừ hai phân số khác mẫu, em cần quy đồng chúng trước — đúng kỹ năng của hai bài trước. Em cũng cần nhớ lại quy tắc dấu ngoặc đã học ở khóa Số nguyên: mở ngoặc có dấu trừ đứng trước thì đổi dấu tất cả các số hạng bên trong.

Khởi động

An ăn $\frac{1}{4}$ cái bánh, Bình ăn $\frac{1}{3}$ cái bánh cùng loại. Hai bạn đã ăn tổng cộng bao nhiêu phần cái bánh? Cộng trực tiếp $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ mà giữ nguyên mẫu số thì chắc chắn sai — mẫu số 4 và 3 không cùng biểu diễn cùng một loại phần. Bài học này chỉ cho em cách cộng đúng.

Kiến thức trọng tâm

Cộng hoặc trừ hai phân số cùng mẫu: giữ nguyên mẫu, cộng hoặc trừ hai tử số với nhau. $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a+b}{m}$ và $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a-b}{m}$ . Khi hai phân số khác mẫu, quy đồng về mẫu chung trước rồi mới áp dụng đúng quy tắc trên.

Cộng hoặc trừ hai phân số cùng mẫu: giữ nguyên mẫu, cộng hoặc trừ hai tử số với nhau. $\frac{a}{m} + \frac{b}{m} = \frac{a+b}{m}$ và $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a-b}{m}$. Khi hai phân số khác mẫu, quy đồng về mẫu chung trước rồi mới áp dụng đúng quy tắc trên.

Cộng trừ phân số với số nguyên: viết số nguyên dưới dạng phân số có mẫu bằng mẫu của phân số kia (nhân số nguyên với mẫu đó), rồi cộng trừ như hai phân số cùng mẫu bình thường. Chẳng hạn muốn tính $\frac{7}{4} - 1$ , viết $1 = \frac{4}{4}$ rồi trừ trực tiếp.

Cộng trừ phân số với số nguyên: viết số nguyên dưới dạng phân số có mẫu bằng mẫu của phân số kia (nhân số nguyên với mẫu đó), rồi cộng trừ như hai phân số cùng mẫu bình thường. Chẳng hạn muốn tính $\frac{7}{4} - 1$, viết $1 = \frac{4}{4}$ rồi trừ trực tiếp.

Cách làm này áp dụng được cho mọi số nguyên, kể cả số nguyên âm: muốn tính $-2 + \frac{3}{5}$ , viết $-2 = \frac{-10}{5}$ rồi cộng bình thường, được $\frac{-10+3}{5} = \frac{-7}{5}$ . Không có công thức riêng nào khác cho trường hợp số nguyên âm — quy trình luôn giống nhau, chỉ khác ở dấu của tử khi viết lại số nguyên dưới dạng phân số.

Cách làm này áp dụng được cho mọi số nguyên, kể cả số nguyên âm: muốn tính $-2 + \frac{3}{5}$, viết $-2 = \frac{-10}{5}$ rồi cộng bình thường, được $\frac{-10+3}{5} = \frac{-7}{5}$. Không có công thức riêng nào khác cho trường hợp số nguyên âm — quy trình luôn giống nhau, chỉ khác ở dấu của tử khi viết lại số nguyên dưới dạng phân số.

Khi biểu thức có nhiều phân số phối hợp với ngoặc, quy tắc dấu ngoặc áp dụng y hệt số nguyên: ngoặc có dấu cộng đứng trước thì bỏ ngoặc giữ nguyên dấu bên trong; ngoặc có dấu trừ đứng trước thì bỏ ngoặc và đổi dấu tất cả số hạng bên trong.

Về bản chất, cộng hai phân số cùng mẫu cũng giống hệt việc cộng hai số nguyên trên trục số: mỗi đơn vị $\frac{1}{m}$ đóng vai trò một "bước nhảy" bằng nhau, và cộng tử số chính là đếm tổng số bước nhảy. Đó là lý do vì sao quy đồng luôn phải làm trước — hai phân số khác mẫu là hai bước nhảy có độ dài khác nhau, không thể cộng số bước một cách trực tiếp.

Trừ hai phân số cũng có thể hiểu theo hai cách tương đương: trừ trực tiếp tử số như trên, hoặc cộng với số đối — $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a}{m} + \left(-\frac{b}{m}\right)$ . Cách thứ hai đặc biệt hữu ích khi biểu thức có nhiều số hạng cộng trừ liên tiếp: đổi hết phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi cộng các phân số cùng mẫu theo bất kỳ thứ tự nào cũng ra cùng một kết quả — đúng tính chất giao hoán em đã học với số nguyên.

Trừ hai phân số cũng có thể hiểu theo hai cách tương đương: trừ trực tiếp tử số như trên, hoặc cộng với số đối — $\frac{a}{m} - \frac{b}{m} = \frac{a}{m} + \left(-\frac{b}{m}\right)$. Cách thứ hai đặc biệt hữu ích khi biểu thức có nhiều số hạng cộng trừ liên tiếp: đổi hết phép trừ thành phép cộng với số đối, rồi cộng các phân số cùng mẫu theo bất kỳ thứ tự nào cũng ra cùng một kết quả — đúng tính chất giao hoán em đã học với số nguyên.

\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}

— tổng phần bánh An và Bình đã ăn.$\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$ — tổng phần bánh An và Bình đã ăn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai phân số khác mẫu

1
Tính $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$ .
Tính $\frac{2}{3} + \frac{5}{6}$.
2
$\text{BCNN}(3,6)=6$ , nên $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$ .
$\text{BCNN}(3,6)=6$, nên $\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$.
3
$\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6}$ .
$\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6}$.
4
$\text{ƯCLN}(9,6)=3$ , nên $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$ .
$\text{ƯCLN}(9,6)=3$, nên $\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$.
5
Vậy $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$ .
Vậy $\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{3}{2}$.

Ví dụ

Trừ phân số cho số nguyên

1
Tính $\frac{7}{4} - 1$ .
Tính $\frac{7}{4} - 1$.
2
$1 = \frac{4}{4}$ .
$1 = \frac{4}{4}$.
3
$\frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{7-4}{4} = \frac{3}{4}$ .
$\frac{7}{4} - \frac{4}{4} = \frac{7-4}{4} = \frac{3}{4}$.
4
Vậy $\frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}$ .
Vậy $\frac{7}{4} - 1 = \frac{3}{4}$.

Ví dụ

Cộng phân số có dấu âm

1
Tính $-\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$ .
Tính $-\frac{2}{5} + \frac{3}{10}$.
2
$\text{BCNN}(5,10)=10$ , nên $-\frac{2}{5} = -\frac{4}{10}$ .
$\text{BCNN}(5,10)=10$, nên $-\frac{2}{5} = -\frac{4}{10}$.
3
$-\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{-4+3}{10} = \frac{-1}{10}$ .
$-\frac{4}{10} + \frac{3}{10} = \frac{-4+3}{10} = \frac{-1}{10}$.
4
Vậy $-\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = -\frac{1}{10}$ .
Vậy $-\frac{2}{5} + \frac{3}{10} = -\frac{1}{10}$.

Ví dụ

Bài toán thực tế: phần bánh hai bạn đã ăn

1
An ăn $\frac{1}{4}$ cái bánh, Bình ăn $\frac{1}{3}$ cái bánh cùng loại. Hỏi cả hai bạn đã ăn bao nhiêu phần cái bánh?
An ăn $\frac{1}{4}$ cái bánh, Bình ăn $\frac{1}{3}$ cái bánh cùng loại. Hỏi cả hai bạn đã ăn bao nhiêu phần cái bánh?
2
Tổng phần đã ăn là $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$ .
Tổng phần đã ăn là $\frac{1}{4} + \frac{1}{3}$.
3
$\text{BCNN}(4,3)=12$ , nên $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ và $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$ .
$\text{BCNN}(4,3)=12$, nên $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$ và $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$.
4
$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$ .
$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{7}{12}$.
5
Vậy cả hai bạn đã ăn $\frac{7}{12}$ cái bánh.
Vậy cả hai bạn đã ăn $\frac{7}{12}$ cái bánh.

Ví dụ

Áp dụng quy tắc dấu ngoặc

1
Tính $\frac{2}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)$ .
Tính $\frac{2}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right)$.
2
Ngoặc có dấu trừ đứng trước nên đổi dấu tất cả số hạng bên trong: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$ .
Ngoặc có dấu trừ đứng trước nên đổi dấu tất cả số hạng bên trong: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$.
3
$\text{BCNN}(3,4,2)=12$ : $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$ , $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ , $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$ .
$\text{BCNN}(3,4,2)=12$: $\frac{2}{3}=\frac{8}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$, $\frac{1}{2}=\frac{6}{12}$.
4
$\frac{8}{12} - \frac{3}{12} + \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$ .
$\frac{8}{12} - \frac{3}{12} + \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$.
5
Vậy $\frac{2}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{11}{12}$ .
Vậy $\frac{2}{3} - \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{11}{12}$.

Ví dụ

Dạng thi: bài toán công việc

1
Trong một ngày, đội A làm được $\frac{1}{3}$ công việc, đội B làm được $\frac{1}{4}$ công việc. Hỏi cả hai đội còn lại bao nhiêu phần công việc chưa hoàn thành?
Trong một ngày, đội A làm được $\frac{1}{3}$ công việc, đội B làm được $\frac{1}{4}$ công việc. Hỏi cả hai đội còn lại bao nhiêu phần công việc chưa hoàn thành?
2
Quy đồng mẫu 12: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$ , $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$ . Cộng: $\frac{4}{12}+\frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ . (1)
Quy đồng mẫu 12: $\frac{1}{3}=\frac{4}{12}$, $\frac{1}{4}=\frac{3}{12}$. Cộng: $\frac{4}{12}+\frac{3}{12} = \frac{7}{12}$. (1)
3
Toàn bộ công việc ứng với phân số $1 = \frac{12}{12}$ . Theo (1), phần chưa hoàn thành là $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ .
Toàn bộ công việc ứng với phân số $1 = \frac{12}{12}$. Theo (1), phần chưa hoàn thành là $\frac{12}{12} - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$.
4
Vậy hai đội còn lại $\frac{5}{12}$ công việc chưa hoàn thành.
Vậy hai đội còn lại $\frac{5}{12}$ công việc chưa hoàn thành.

Sai lầm thường gặp

Cộng cả tử lẫn mẫu

Một lỗi rất phổ biến khi cộng phân số khác mẫu là cộng thẳng cả tử lẫn mẫu, ví dụ viết $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2}{7}$ . Phép cộng phân số không hoạt động như vậy — mẫu số không được cộng trực tiếp, mà phải quy đồng về cùng một mẫu trước, rồi mới cộng hai tử và giữ nguyên mẫu chung đó. Với bài toán công việc, một lỗi khác là quên rằng "toàn bộ công việc" luôn ứng với phân số 1 — bỏ qua bước này sẽ không biết lấy gì trừ đi phần đã hoàn thành.

Một lỗi rất phổ biến khi cộng phân số khác mẫu là cộng thẳng cả tử lẫn mẫu, ví dụ viết $\frac{1}{4} + \frac{1}{3} = \frac{2}{7}$. Phép cộng phân số không hoạt động như vậy — mẫu số không được cộng trực tiếp, mà phải quy đồng về cùng một mẫu trước, rồi mới cộng hai tử và giữ nguyên mẫu chung đó. Với bài toán công việc, một lỗi khác là quên rằng "toàn bộ công việc" luôn ứng với phân số 1 — bỏ qua bước này sẽ không biết lấy gì trừ đi phần đã hoàn thành.

Luyện tập

Ghi nhớ

Cộng trừ phân số cùng mẫu chỉ cộng trừ tử, giữ nguyên mẫu. Khác mẫu thì quy đồng trước. Số nguyên tham gia phép tính được viết lại dưới dạng phân số cùng mẫu với phân số kia. Nhiều số hạng có ngoặc thì áp dụng đúng quy tắc dấu ngoặc như với số nguyên. Kết quả cuối cùng nên rút gọn về dạng tối giản, đúng kỹ năng đã luyện ở đầu chương.

Cộng trừ xong, phép tính phân số còn thiếu nhân và chia — hai phép tính cuối cùng để hoàn thiện bộ công cụ bốn phép tính với phân số, cùng với hỗn số, ở bài tiếp theo. Bốn phép tính này sẽ còn theo em suốt những năm THCS, từ tính giá trị biểu thức tới giải phương trình.