Bài học

Rút gọn phân số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em rút gọn được một phân số (kể cả phân số có tử hoặc mẫu âm) về dạng tối giản bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất, và giải thích được vì sao kết quả đã tối giản.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em cách nhận ra hai phân số bằng nhau bằng tích chéo. Rút gọn chính là đi tìm, trong vô số phân số bằng một phân số cho trước, phiên bản có tử và mẫu nhỏ nhất — dễ đọc, dễ so sánh, dễ tính toán nhất. Công cụ cần dùng lại là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của khóa Ước chung lớn nhất và Bội chung nhỏ nhất trước đó.

Khởi động

Một lớp có 24 học sinh, trong đó 18 bạn đăng kí câu lạc bộ thể thao. Nói "tỉ lệ đăng kí là $\frac{18}{24}$ " đúng nhưng không gọn. Cùng một tỉ lệ đó, có cách viết nào bằng phân số nhỏ hơn mà giá trị không đổi hay không? Câu trả lời chính là điều bài học hôm nay dạy em làm.

Một lớp có 24 học sinh, trong đó 18 bạn đăng kí câu lạc bộ thể thao. Nói "tỉ lệ đăng kí là $\frac{18}{24}$" đúng nhưng không gọn. Cùng một tỉ lệ đó, có cách viết nào bằng phân số nhỏ hơn mà giá trị không đổi hay không? Câu trả lời chính là điều bài học hôm nay dạy em làm.

Kiến thức trọng tâm

Rút gọn một phân số $\frac{a}{b}$ là chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung của chúng. Chia cho một ước chung bất kỳ vẫn cho một phân số bằng phân số ban đầu — vì việc đó tương đương nhân cả tử và mẫu của phân số kết quả trở lại với ước chung đó, thoả đúng điều kiện tích chéo đã học. Nhưng để phân số không thể rút gọn thêm được nữa, ta chia cho đúng ƯCLN của $|a|$ và $|b|$ — khi đó phân số ở dạng tối giản, nghĩa là tử và mẫu không còn ước chung nào khác 1.

Khi phân số có dấu âm, quy trình không đổi gì thêm: trước tiên đưa mẫu về dương như bài trước, rồi tính ƯCLN trên giá trị tuyệt đối của tử và mẫu, và giữ nguyên dấu trừ ở tử trong suốt quá trình rút gọn.

Có hai cách viết dấu tương đương khi trình bày kết quả rút gọn của một phân số âm: đặt dấu trừ ở tử ( $\frac{-2}{3}$ ) hoặc đặt dấu trừ trước cả phân số ( $-\frac{2}{3}$ ) — hai cách này bằng nhau, miễn là mẫu vẫn dương. Theo quy ước đã thống nhất ở bài trước, khóa học này luôn trình bày kết quả rút gọn với dấu trừ đặt trước cả phân số, mẫu số giữ nguyên dương.

Có hai cách viết dấu tương đương khi trình bày kết quả rút gọn của một phân số âm: đặt dấu trừ ở tử ($\frac{-2}{3}$) hoặc đặt dấu trừ trước cả phân số ($-\frac{2}{3}$) — hai cách này bằng nhau, miễn là mẫu vẫn dương. Theo quy ước đã thống nhất ở bài trước, khóa học này luôn trình bày kết quả rút gọn với dấu trừ đặt trước cả phân số, mẫu số giữ nguyên dương.

Quy trình rút gọn: đưa mẫu dương, tìm ƯCLN, chia tử, chia mẫu, kiểm tra lại.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Rút gọn một phân số dương

1
Rút gọn phân số $\frac{18}{24}$ về dạng tối giản.
Rút gọn phân số $\frac{18}{24}$ về dạng tối giản.
2
Ta có $18 = 2 \times 3^2$ và $24 = 2^3 \times 3$ . Theo cách lấy thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất, $\text{ƯCLN}(18, 24) = 2 \times 3 = 6$ .
Ta có $18 = 2 \times 3^2$ và $24 = 2^3 \times 3$. Theo cách lấy thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất, $\text{ƯCLN}(18, 24) = 2 \times 3 = 6$.
3
$\frac{18}{24} = \frac{18:6}{24:6} = \frac{3}{4}$ .
$\frac{18}{24} = \frac{18:6}{24:6} = \frac{3}{4}$.
4
Vậy $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ — đây là dạng tối giản vì $\text{ƯCLN}(3,4) = 1$ .
Vậy $\frac{18}{24} = \frac{3}{4}$ — đây là dạng tối giản vì $\text{ƯCLN}(3,4) = 1$.

Ví dụ

Kiểm tra hai phân số bằng nhau bằng cách rút gọn

1
$\frac{2}{3}$ có bằng $\frac{8}{12}$ không?
$\frac{2}{3}$ có bằng $\frac{8}{12}$ không?
2
$\text{ƯCLN}(8, 12) = 4$ , nên $\frac{8}{12} = \frac{8:4}{12:4} = \frac{2}{3}$ .
$\text{ƯCLN}(8, 12) = 4$, nên $\frac{8}{12} = \frac{8:4}{12:4} = \frac{2}{3}$.
3
Vậy $\frac{8}{12}$ rút gọn đúng bằng $\frac{2}{3}$ — hai phân số này bằng nhau.
Vậy $\frac{8}{12}$ rút gọn đúng bằng $\frac{2}{3}$ — hai phân số này bằng nhau.

Ví dụ

Rút gọn phân số âm

1
Rút gọn phân số $\frac{-20}{30}$ .
Rút gọn phân số $\frac{-20}{30}$.
2
$\text{ƯCLN}(20, 30) = 10$ (giữ nguyên dấu trừ ở tử, chỉ tính ƯCLN trên 20 và 30).
$\text{ƯCLN}(20, 30) = 10$ (giữ nguyên dấu trừ ở tử, chỉ tính ƯCLN trên 20 và 30).
3
$\frac{-20}{30} = \frac{-20:10}{30:10} = \frac{-2}{3}$ .
$\frac{-20}{30} = \frac{-20:10}{30:10} = \frac{-2}{3}$.
4
Vậy $\frac{-20}{30} = -\frac{2}{3}$ , đã tối giản.
Vậy $\frac{-20}{30} = -\frac{2}{3}$, đã tối giản.

Ví dụ

Bài toán thực tế: viết tỉ lệ bằng phân số tối giản

1
Một trường có 45 học sinh khối 6 tham gia hội thao, trong đó 27 bạn là học sinh nữ. Viết tỉ lệ học sinh nữ dưới dạng phân số tối giản.
2
Tỉ lệ học sinh nữ trên tổng số là $\frac{27}{45}$ .
Tỉ lệ học sinh nữ trên tổng số là $\frac{27}{45}$.
3
$\text{ƯCLN}(27, 45) = 9$ , nên $\frac{27}{45} = \frac{27:9}{45:9} = \frac{3}{5}$ .
$\text{ƯCLN}(27, 45) = 9$, nên $\frac{27}{45} = \frac{27:9}{45:9} = \frac{3}{5}$.
4
Vậy tỉ lệ học sinh nữ tham gia hội thao là $\frac{3}{5}$ .
Vậy tỉ lệ học sinh nữ tham gia hội thao là $\frac{3}{5}$.

Ví dụ

Dạng thi: rút gọn tỉ lệ rồi áp dụng cho một số lớn hơn

1
Một hộp có 60 viên bi, trong đó 24 viên bi xanh. Viết tỉ lệ bi xanh dưới dạng phân số tối giản, rồi tính xem nếu có 90 viên bi cùng tỉ lệ xanh như vậy thì có bao nhiêu viên bi xanh.
2
Tỉ lệ bi xanh là $\frac{24}{60}$ . $\text{ƯCLN}(24, 60) = 12$ , nên $\frac{24}{60} = \frac{24:12}{60:12} = \frac{2}{5}$ . (1)
Tỉ lệ bi xanh là $\frac{24}{60}$. $\text{ƯCLN}(24, 60) = 12$, nên $\frac{24}{60} = \frac{24:12}{60:12} = \frac{2}{5}$. (1)
3
Với 90 viên bi cùng tỉ lệ $\frac{2}{5}$ như (1), số bi xanh là $90 \times \frac{2}{5} = 36$ viên.
Với 90 viên bi cùng tỉ lệ $\frac{2}{5}$ như (1), số bi xanh là $90 \times \frac{2}{5} = 36$ viên.
4
Vậy tỉ lệ bi xanh là $\frac{2}{5}$ , và trong 90 viên bi sẽ có 36 viên bi xanh.
Vậy tỉ lệ bi xanh là $\frac{2}{5}$, và trong 90 viên bi sẽ có 36 viên bi xanh.

Sai lầm thường gặp

Rút gọn chưa hết

Với $\frac{16}{40}$ , nhiều bạn chỉ chia cả tử và mẫu cho 2 rồi dừng lại ở $\frac{8}{20}$ và cho đó là kết quả cuối. Nhưng $8$ và $20$ vẫn còn ước chung là $4$ , nên $\frac{8}{20}$ chưa tối giản — phải rút gọn tiếp thành $\frac{2}{5}$ . Cách chắc chắn nhất là tìm đúng ƯCLN của cả tử và mẫu ngay từ đầu, thay vì chia lẻ tẻ theo cảm tính.

Với $\frac{16}{40}$, nhiều bạn chỉ chia cả tử và mẫu cho 2 rồi dừng lại ở $\frac{8}{20}$ và cho đó là kết quả cuối. Nhưng $8$ và $20$ vẫn còn ước chung là $4$, nên $\frac{8}{20}$ chưa tối giản — phải rút gọn tiếp thành $\frac{2}{5}$. Cách chắc chắn nhất là tìm đúng ƯCLN của cả tử và mẫu ngay từ đầu, thay vì chia lẻ tẻ theo cảm tính.

Luyện tập

Có một cách khác cũng cho phân số tối giản mà không cần tính ƯCLN ngay từ đầu: rút gọn dần qua nhiều bước, mỗi bước chia cho một ước chung nhỏ (2, 3, 5...) cho tới khi không còn chia được nữa. Cách này chậm hơn nhưng an toàn với những phân số có mẫu lớn mà em chưa quen tính ƯCLN trực tiếp — miễn là luôn kiểm tra lại ở bước cuối, kết quả hai cách vẫn giống nhau.

Ghi nhớ

Rút gọn phân số nghĩa là chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng, tính trên giá trị tuyệt đối nếu có dấu âm. Kết quả tối giản khi ƯCLN của tử và mẫu mới bằng 1 — luôn kiểm tra lại bước cuối này để chắc chắn không còn rút gọn được nữa. Dù rút gọn một lần bằng đúng ƯCLN hay rút gọn nhiều lần bằng các ước nhỏ hơn, kết quả cuối cùng luôn là cùng một phân số tối giản.

Khi cần so sánh hay cộng nhiều phân số có mẫu khác nhau, bước đầu tiên lại là làm ngược lại rút gọn — đưa các mẫu về cùng một mẫu chung. Bài tiếp theo dạy em cách quy đồng mẫu số bằng bội chung nhỏ nhất, công cụ sẽ dùng suốt phần còn lại của chương phân số này.