Bài học

Số nguyên âm, trục số, số đối và giá trị tuyệt đối

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em đọc và viết được số nguyên âm, biểu diễn được số nguyên trên trục số, và tìm được số đối cùng giá trị tuyệt đối của một số nguyên bất kỳ.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã quen với tập hợp số tự nhiên $\mathbb{N} = \{0;1;2;3;\dots\}$ và tia số gốc 0 từ Chương trước — tia số chỉ có một chiều, chiều các số tăng dần về bên phải. Bài này giữ nguyên cách vẽ đó, chỉ kéo dài thêm về phía bên trái.

Khởi động

Bạn Minh nói với mẹ: "Con nợ bạn Lan năm nghìn đồng." Có cách nào viết con số "nợ năm nghìn" bằng một số duy nhất, để phân biệt với việc con đang CÓ năm nghìn trong túi? Số tự nhiên em học từ tiểu học chưa đủ để làm việc này.

Kiến thức trọng tâm

Một số đại lượng trong đời sống có hai chiều ngược nhau: nhiệt độ trên và dưới 0°C, độ cao trên và độ sâu dưới mực nước biển, tiền đang có và tiền đang nợ. Để phân biệt hai chiều này bằng một con số, ta thêm dấu "−" trước một số tự nhiên khác 0, gọi là số nguyên âm: $-1, -2, -3, \dots$ Số tự nhiên khác 0 lúc này được gọi là số nguyên dương, có thể viết $+1, +2, \dots$ hoặc bỏ dấu "+" như trước giờ. Số nguyên dương, số 0 và số nguyên âm gộp lại thành tập hợp số nguyên, kí hiệu $\mathbb{Z}$ : $\mathbb{Z} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}$ .

Một số đại lượng trong đời sống có hai chiều ngược nhau: nhiệt độ trên và dưới 0°C, độ cao trên và độ sâu dưới mực nước biển, tiền đang có và tiền đang nợ. Để phân biệt hai chiều này bằng một con số, ta thêm dấu "−" trước một số tự nhiên khác 0, gọi là số nguyên âm: $-1, -2, -3, \dots$ Số tự nhiên khác 0 lúc này được gọi là số nguyên dương, có thể viết $+1, +2, \dots$ hoặc bỏ dấu "+" như trước giờ. Số nguyên dương, số 0 và số nguyên âm gộp lại thành tập hợp số nguyên, kí hiệu $\mathbb{Z}$: $\mathbb{Z} = \{\dots; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; \dots\}$.

Trục số là tia số cũ được kéo dài thêm về bên trái: bên phải 0 đánh dấu $1, 2, 3, \dots$ như cũ, bên trái 0 đánh dấu $-1, -2, -3, \dots$ cách đều nhau đúng bằng một đơn vị độ dài, giống hệt khoảng cách bên phải. Điểm 0 gọi là gốc của trục số. Quy tắc "số bên trái nhỏ hơn số bên phải" vẫn giữ nguyên từ tia số — chỉ mở rộng phạm vi áp dụng sang cả phần âm.

Hai số nguyên nằm đối xứng nhau qua điểm 0 trên trục số gọi là số đối của nhau. Số đối của 3 là $-3$ ; số đối của $-5$ là 5; số đối của 0 là chính 0. Kí hiệu số đối của $a$ là $-a$ . Cần phân biệt rõ: số đối của một số DƯƠNG là số ÂM, nhưng số đối của một số ÂM lại là số DƯƠNG — số đối không phải lúc nào cũng mang dấu trừ.

Hai số nguyên nằm đối xứng nhau qua điểm 0 trên trục số gọi là số đối của nhau. Số đối của 3 là $-3$; số đối của $-5$ là 5; số đối của 0 là chính 0. Kí hiệu số đối của $a$ là $-a$. Cần phân biệt rõ: số đối của một số DƯƠNG là số ÂM, nhưng số đối của một số ÂM lại là số DƯƠNG — số đối không phải lúc nào cũng mang dấu trừ.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên $a$ , kí hiệu $|a|$ , là khoảng cách từ điểm biểu diễn $a$ đến điểm 0 trên trục số. Khoảng cách luôn không âm, nên $|5| = 5$ và $|-5| = 5$ — hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối, vì chúng cách đều 0 nhưng ở hai phía.

Giá trị tuyệt đối của một số nguyên $a$, kí hiệu $|a|$, là khoảng cách từ điểm biểu diễn $a$ đến điểm 0 trên trục số. Khoảng cách luôn không âm, nên $|5| = 5$ và $|-5| = 5$ — hai số đối nhau luôn có cùng giá trị tuyệt đối, vì chúng cách đều 0 nhưng ở hai phía.

Một điểm cần lưu ý: số 0 không phải số nguyên dương và cũng không phải số nguyên âm — nó là ranh giới giữa hai phía. Vì vậy khi liệt kê số nguyên dương, ta chỉ tính từ 1 trở lên; khi liệt kê số nguyên âm, ta chỉ tính từ $-1$ trở xuống. Giá trị tuyệt đối của 0 là chính 0, vì khoảng cách từ 0 đến 0 bằng 0 — đây cũng là số nguyên duy nhất có số đối bằng chính nó.

Điểm -3 và điểm 3 (không đánh dấu) sẽ cách đều 0 — đó là hai số đối của nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của một số nguyên

1
Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của $-3$ và của $5$ .
Tìm số đối và giá trị tuyệt đối của $-3$ và của $5$.
2
Theo định nghĩa số đối, số đối của $-3$ là $3$ . Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, khoảng cách từ $-3$ đến 0 trên trục số là 3 đơn vị, nên $|-3| = 3$ .
Theo định nghĩa số đối, số đối của $-3$ là $3$. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối, khoảng cách từ $-3$ đến 0 trên trục số là 3 đơn vị, nên $|-3| = 3$.
3
Số đối của $5$ là $-5$ . Khoảng cách từ $5$ đến 0 là 5 đơn vị, nên $|5| = 5$ .
Số đối của $5$ là $-5$. Khoảng cách từ $5$ đến 0 là 5 đơn vị, nên $|5| = 5$.
4
Vậy số đối của $-3$ là $3$ và $|-3| = 3$ ; số đối của $5$ là $-5$ và $|5| = 5$ .
Vậy số đối của $-3$ là $3$ và $|-3| = 3$; số đối của $5$ là $-5$ và $|5| = 5$.

Ví dụ

Viết số nguyên biểu diễn tình huống thực tế (dạng thi)

1
Nhiệt độ tại Sa Pa lúc 6 giờ sáng là 2°C dưới 0°C. Bạn Hà đang nợ bạn Chi 15 nghìn đồng. Viết số nguyên biểu diễn từng tình huống.
2
Theo quy ước, nhiệt độ dưới 0°C viết bằng số nguyên âm, nên nhiệt độ tại Sa Pa là $-2$ (°C).
Theo quy ước, nhiệt độ dưới 0°C viết bằng số nguyên âm, nên nhiệt độ tại Sa Pa là $-2$ (°C).
3
Theo quy ước, khoản nợ viết bằng số nguyên âm (ngược với tiền đang có), nên khoản nợ của Hà là $-15$ (nghìn đồng).
Theo quy ước, khoản nợ viết bằng số nguyên âm (ngược với tiền đang có), nên khoản nợ của Hà là $-15$ (nghìn đồng).
4
Vậy nhiệt độ là $-2$ °C và khoản nợ của Hà là $-15$ nghìn đồng.
Vậy nhiệt độ là $-2$°C và khoản nợ của Hà là $-15$ nghìn đồng.

Ví dụ

Dùng giá trị tuyệt đối để so sánh hai khoản nợ (dạng thi)

1
Bạn An nợ 20 nghìn đồng, bạn Bình nợ 12 nghìn đồng. Ai nợ nhiều hơn? Dùng giá trị tuyệt đối để giải thích.
2
Khoản nợ của An là $-20$ (nghìn đồng), khoản nợ của Bình là $-12$ (nghìn đồng).
Khoản nợ của An là $-20$ (nghìn đồng), khoản nợ của Bình là $-12$ (nghìn đồng).
3
Ta có $|-20| = 20$ và $|-12| = 12$ . Vì $20 > 12$ nên An nợ nhiều hơn Bình — dù trên trục số $-20$ nằm bên trái $-12$ , tức $-20 < -12$ . "Nhỏ hơn" trên trục số không đồng nghĩa với "nợ ít hơn".
Ta có $|-20| = 20$ và $|-12| = 12$. Vì $20 > 12$ nên An nợ nhiều hơn Bình — dù trên trục số $-20$ nằm bên trái $-12$, tức $-20 < -12$. "Nhỏ hơn" trên trục số không đồng nghĩa với "nợ ít hơn".
4
Vậy An nợ nhiều hơn Bình, vì $|-20| > |-12|$ .
Vậy An nợ nhiều hơn Bình, vì $|-20| > |-12|$.

Ví dụ

Áp dụng giá trị tuyệt đối cho độ cao thực tế (dạng thi)

1
Một ngọn núi cao hơn mực nước biển 1200m, một hang động sâu dưới mực nước biển 45m. Viết số nguyên biểu diễn độ cao mỗi nơi, rồi tìm giá trị tuyệt đối của chúng.
2
Độ cao trên mực nước biển viết dương, độ sâu dưới mực nước biển viết âm: ngọn núi là $+1200$ (m), hang động là $-45$ (m).
Độ cao trên mực nước biển viết dương, độ sâu dưới mực nước biển viết âm: ngọn núi là $+1200$ (m), hang động là $-45$ (m).
3
$|1200| = 1200$ và $|-45| = 45$ — đây chính là độ cao và độ sâu THỰC TẾ mà em đo được bằng thước, không quan tâm hướng lên hay xuống.
$|1200| = 1200$ và $|-45| = 45$ — đây chính là độ cao và độ sâu THỰC TẾ mà em đo được bằng thước, không quan tâm hướng lên hay xuống.
4
Vậy ngọn núi ứng với $+1200$ , hang động ứng với $-45$ ; độ cao thực của chúng lần lượt là 1200m và 45m.
Vậy ngọn núi ứng với $+1200$, hang động ứng với $-45$; độ cao thực của chúng lần lượt là 1200m và 45m.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nghĩ "số đối" nghĩa là "số âm" — sai, vì số đối của một số ÂM lại là một số DƯƠNG (số đối của $-4$ là $4$ , không phải $-4$ lần nữa). Một lỗi khác là viết giá trị tuyệt đối mang dấu âm, ví dụ viết $|-5| = -5$ — giá trị tuyệt đối là một khoảng cách, luôn không âm.

Nhiều bạn nghĩ "số đối" nghĩa là "số âm" — sai, vì số đối của một số ÂM lại là một số DƯƠNG (số đối của $-4$ là $4$, không phải $-4$ lần nữa). Một lỗi khác là viết giá trị tuyệt đối mang dấu âm, ví dụ viết $|-5| = -5$ — giá trị tuyệt đối là một khoảng cách, luôn không âm.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Số nguyên gồm số nguyên dương, số 0 và số nguyên âm: $\mathbb{Z} = \{\dots;-2;-1;0;1;2;\dots\}$ . Trục số kéo dài tia số về bên trái. Số đối của $a$ là $-a$ — đối xứng qua 0. Giá trị tuyệt đối $|a|$ là khoảng cách từ $a$ đến 0, luôn không âm, và hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối.

Số nguyên gồm số nguyên dương, số 0 và số nguyên âm: $\mathbb{Z} = \{\dots;-2;-1;0;1;2;\dots\}$. Trục số kéo dài tia số về bên trái. Số đối của $a$ là $-a$ — đối xứng qua 0. Giá trị tuyệt đối $|a|$ là khoảng cách từ $a$ đến 0, luôn không âm, và hai số đối nhau có cùng giá trị tuyệt đối.

Bài tiếp theo dùng đúng trục số này để so sánh hai số nguyên bất kỳ — kể cả khi cả hai đều âm. Việc so ai nợ nhiều hơn ở ví dụ trên sẽ được viết lại thành một quy tắc so sánh chính thức, dùng được cho mọi cặp số nguyên.