Bài học

Lũy thừa với số mũ tự nhiên

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nêu đúng định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên (cơ số, số mũ), tính được giá trị một lũy thừa đơn giản, và áp dụng đúng công thức nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần vững phép nhân số tự nhiên đã ôn ở bài trước, đặc biệt là cách nhân nhiều số liên tiếp. Lũy thừa chính là cách viết GỌN của một phép nhân nhiều thừa số BẰNG NHAU — ý tưởng viết gọn này tương tự cách phép nhân từng là cách viết gọn của phép cộng nhiều số hạng bằng nhau mà em đã biết từ tiểu học.

Khởi động

Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp đôi liên tiếp nhiều lần. Muốn biết tờ giấy bị chia thành bao nhiêu phần bằng nhau sau một số lần gấp, em phải nhân 2 với chính nó nhiều lần: $2 \times 2 \times 2 \times \dots$ . Nếu gấp đến 10 lần, viết ra đủ mười chữ số 2 nhân với nhau có tiện không, và có cách viết nào gọn hơn không?

Một tờ giấy hình chữ nhật được gấp đôi liên tiếp nhiều lần. Muốn biết tờ giấy bị chia thành bao nhiêu phần bằng nhau sau một số lần gấp, em phải nhân 2 với chính nó nhiều lần: $2 \times 2 \times 2 \times \dots$. Nếu gấp đến 10 lần, viết ra đủ mười chữ số 2 nhân với nhau có tiện không, và có cách viết nào gọn hơn không?

Kiến thức trọng tâm

Với $a \in \mathbb{N}$ và $n \in \mathbb{N}^*$ , lũy thừa bậc $n$ của $a$ , kí hiệu $a^n$ , là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$ : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ thừa số $a$ ). Số $a$ gọi là cơ số, số $n$ gọi là số mũ. Đọc $a^n$ là " $a$ mũ $n$ ". Quy ước riêng: $a^1 = a$ , và với $a \ne 0$ thì $a^0 = 1$ .

Với $a \in \mathbb{N}$ và $n \in \mathbb{N}^*$, lũy thừa bậc $n$ của $a$, kí hiệu $a^n$, là tích của $n$ thừa số bằng nhau, mỗi thừa số bằng $a$: $a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ thừa số $a$). Số $a$ gọi là cơ số, số $n$ gọi là số mũ. Đọc $a^n$ là "$a$ mũ $n$". Quy ước riêng: $a^1 = a$, và với $a \ne 0$ thì $a^0 = 1$.

Hai lũy thừa có tên gọi riêng vì xuất hiện rất thường xuyên: $a^2$ gọi là " $a$ bình phương" (hay bình phương của $a$ ), thường gắn với diện tích hình vuông cạnh $a$ ; $a^3$ gọi là " $a$ lập phương" (hay lập phương của $a$ ), thường gắn với thể tích hình lập phương cạnh $a$ .

Hai lũy thừa có tên gọi riêng vì xuất hiện rất thường xuyên: $a^2$ gọi là "$a$ bình phương" (hay bình phương của $a$), thường gắn với diện tích hình vuông cạnh $a$; $a^3$ gọi là "$a$ lập phương" (hay lập phương của $a$), thường gắn với thể tích hình lập phương cạnh $a$.

3 \times 3 = 9

: nền tảng của lũy thừa

3^2

, khi hai thừa số bằng nhau.$3 \times 3 = 9$: nền tảng của lũy thừa $3^2$, khi hai thừa số bằng nhau.

Khi CÁC thừa số trong một phép nhân đều bằng nhau — như $3 \times 3$ ở trên — ta viết gọn lại thành lũy thừa: $3 \times 3 = 3^2$ . Cách viết gọn này chỉ áp dụng khi mọi thừa số giống hệt nhau; một phép nhân các số khác nhau như $3 \times 4$ không viết được thành lũy thừa.

Khi CÁC thừa số trong một phép nhân đều bằng nhau — như $3 \times 3$ ở trên — ta viết gọn lại thành lũy thừa: $3 \times 3 = 3^2$. Cách viết gọn này chỉ áp dụng khi mọi thừa số giống hệt nhau; một phép nhân các số khác nhau như $3 \times 4$ không viết được thành lũy thừa.

3^2 = 9

— bình phương của 3 chính là số chấm trong một hình vuông cạnh 3 chấm.$3^2 = 9$ — bình phương của 3 chính là số chấm trong một hình vuông cạnh 3 chấm.

Nhân hai lũy thừa cùng cơ số: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ — giữ nguyên cơ số, cộng hai số mũ. Sở dĩ đúng như vậy vì $a^m$ là $m$ thừa số $a$ nhân lại, $a^n$ là $n$ thừa số $a$ nhân lại; nhân $a^m$ với $a^n$ nghĩa là gộp tất cả thừa số đó lại, được đúng $m+n$ thừa số $a$ .

Chia hai lũy thừa cùng cơ số (với $a \ne 0$ , $m \ge n$ ): $a^m : a^n = a^{m-n}$ — giữ nguyên cơ số, trừ số mũ. Đây là phép toán ngược của phép nhân lũy thừa cùng cơ số ở trên: nếu $a^m = a^n \times a^{m-n}$ thì chia cả hai vế cho $a^n$ sẽ ra đúng công thức này.

Chia hai lũy thừa cùng cơ số (với $a \ne 0$, $m \ge n$): $a^m : a^n = a^{m-n}$ — giữ nguyên cơ số, trừ số mũ. Đây là phép toán ngược của phép nhân lũy thừa cùng cơ số ở trên: nếu $a^m = a^n \times a^{m-n}$ thì chia cả hai vế cho $a^n$ sẽ ra đúng công thức này.

Một điều cần khắc sâu: cơ số và số mũ không đổi chỗ cho nhau được. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ , còn $3^2 = 3 \times 3 = 9$ — cùng dùng hai chữ số 2 và 3 nhưng cho ra hai giá trị khác hẳn nhau, vì vai trò cơ số (số nhân lặp lại) và số mũ (số lần lặp lại) là hai vai trò hoàn toàn khác nhau.

Một điều cần khắc sâu: cơ số và số mũ không đổi chỗ cho nhau được. $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$, còn $3^2 = 3 \times 3 = 9$ — cùng dùng hai chữ số 2 và 3 nhưng cho ra hai giá trị khác hẳn nhau, vì vai trò cơ số (số nhân lặp lại) và số mũ (số lần lặp lại) là hai vai trò hoàn toàn khác nhau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tính giá trị một lũy thừa

1
Tính giá trị của lũy thừa $2^5$ (2 mũ 5).
Tính giá trị của lũy thừa $2^5$ (2 mũ 5).
2
Theo định nghĩa lũy thừa, $2^5$ là tích của 5 thừa số bằng 2: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$ .
Theo định nghĩa lũy thừa, $2^5$ là tích của 5 thừa số bằng 2: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2$.
3
$2 \times 2 = 4$ ; $4 \times 2 = 8$ ; $8 \times 2 = 16$ ; $16 \times 2 = 32$ .
$2 \times 2 = 4$; $4 \times 2 = 8$; $8 \times 2 = 16$; $16 \times 2 = 32$.
4
Vậy giá trị của lũy thừa $2^5$ đúng bằng 32.
Vậy giá trị của lũy thừa $2^5$ đúng bằng 32.

Ví dụ

Viết một tích thành lũy thừa

1
Viết $3 \times 3 \times 3 \times 3$ dưới dạng lũy thừa, rồi tính giá trị.
Viết $3 \times 3 \times 3 \times 3$ dưới dạng lũy thừa, rồi tính giá trị.
2
Có đúng 4 thừa số bằng nhau, đều bằng 3, nên cơ số là 3 và số mũ là 4: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$ .
Có đúng 4 thừa số bằng nhau, đều bằng 3, nên cơ số là 3 và số mũ là 4: $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4$.
3
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$ (nhân hai cặp thừa số trước cho gọn).
$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 9 \times 9 = 81$ (nhân hai cặp thừa số trước cho gọn).
4
Vậy $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$ .
Vậy $3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^4 = 81$.

Ví dụ

Ứng dụng lũy thừa vào bài toán gấp giấy (dạng thi)

1
Một tờ giấy được gấp đôi liên tiếp 4 lần. Hỏi tờ giấy được chia thành bao nhiêu phần bằng nhau?
2
Mỗi lần gấp đôi, số phần tăng gấp 2 lần so với trước đó, nên sau 4 lần gấp, số phần bằng $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$ — 4 thừa số 2 vì gấp 4 lần.
Mỗi lần gấp đôi, số phần tăng gấp 2 lần so với trước đó, nên sau 4 lần gấp, số phần bằng $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4$ — 4 thừa số 2 vì gấp 4 lần.
3
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ .
$2^4 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$.
4
Vậy sau 4 lần gấp đôi liên tiếp, tờ giấy được chia thành 16 phần bằng nhau.

Ví dụ

Rút gọn bằng công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số (dạng thi)

1
Rút gọn $5^7 : 5^3$ và tính $2^3 \times 2^4$ .
Rút gọn $5^7 : 5^3$ và tính $2^3 \times 2^4$.
2
Vì cùng cơ số 5 và $7 \ge 3$ , theo công thức $a^m : a^n = a^{m-n}$ : $5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$ .
Vì cùng cơ số 5 và $7 \ge 3$, theo công thức $a^m : a^n = a^{m-n}$: $5^7 : 5^3 = 5^{7-3} = 5^4$.
3
Cùng cơ số 2, theo công thức $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ : $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$ .
Cùng cơ số 2, theo công thức $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $2^3 \times 2^4 = 2^{3+4} = 2^7$.
4
$5^4 = 625$ và $2^7 = 128$ — hai kết quả này em có thể để nguyên dạng lũy thừa hoặc tính ra số cụ thể tùy đề bài yêu cầu.
$5^4 = 625$ và $2^7 = 128$ — hai kết quả này em có thể để nguyên dạng lũy thừa hoặc tính ra số cụ thể tùy đề bài yêu cầu.
5
Vậy $5^7 : 5^3 = 5^4 = 625$ và $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$ .
Vậy $5^7 : 5^3 = 5^4 = 625$ và $2^3 \times 2^4 = 2^7 = 128$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp nhất là nhầm $a^n$ với $a \times n$ : tính $2^3$ thành $2 \times 3 = 6$ , trong khi giá trị đúng là $2 \times 2 \times 2 = 8$ . Lỗi thứ hai là nhân số mũ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, viết $a^m \cdot a^n = a^{m \times n}$ — SAI; công thức đúng là CỘNG số mũ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ , vì bản chất là gộp thêm thừa số chứ không nhân số lượng thừa số lên.

Lỗi hay gặp nhất là nhầm $a^n$ với $a \times n$: tính $2^3$ thành $2 \times 3 = 6$, trong khi giá trị đúng là $2 \times 2 \times 2 = 8$. Lỗi thứ hai là nhân số mũ khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, viết $a^m \cdot a^n = a^{m \times n}$ — SAI; công thức đúng là CỘNG số mũ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, vì bản chất là gộp thêm thừa số chứ không nhân số lượng thừa số lên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$a^n = a \times a \times \dots \times a$ ( $n$ thừa số $a$ ); $a^1=a$ , $a^0=1$ (với $a \ne 0$ ). Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ . Chia hai lũy thừa cùng cơ số thì TRỪ số mũ: $a^m : a^n = a^{m-n}$ .

$a^n = a \times a \times \dots \times a$ ($n$ thừa số $a$); $a^1=a$, $a^0=1$ (với $a \ne 0$). Nhân hai lũy thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Chia hai lũy thừa cùng cơ số thì TRỪ số mũ: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

Năm bài học vừa qua đã trang bị đủ năm công cụ mở đầu của Toán 6: viết tập hợp, so sánh tập hợp bằng tập con/giao/hợp, làm việc với số tự nhiên trên tia số, tính đúng thứ tự các phép tính, và rút gọn bằng lũy thừa. Bài ôn tập cuối khóa sẽ ghép cả năm công cụ này lại trong một vài bài toán tổng hợp, đúng như cách một đề kiểm tra thật sẽ hỏi.