Bài học

Ôn tập tổng hợp: tập hợp, số tự nhiên và lũy thừa

Mục tiêu bài học

Sau bài ôn tập này, em phối hợp được cả năm công cụ đã học trong khóa — viết tập hợp, tập con/giao/hợp, tia số/so sánh, bốn phép tính và thứ tự thực hiện, lũy thừa — để giải một bài toán tổng hợp đúng cấu trúc một đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không dạy kiến thức mới, mà hệ thống lại năm bài trước: cách viết một tập hợp (Bài 1), tập con — giao — hợp (Bài 2), tập $\mathbb{N}$ , tia số và so sánh số tự nhiên (Bài 3), bốn phép tính và thứ tự thực hiện (Bài 4), và lũy thừa với số mũ tự nhiên (Bài 5). Mỗi công cụ đó vẫn hoạt động đúng như em đã học — bài ôn tập chỉ đặt chúng cạnh nhau trong cùng một bài toán.

Bài này không dạy kiến thức mới, mà hệ thống lại năm bài trước: cách viết một tập hợp (Bài 1), tập con — giao — hợp (Bài 2), tập $\mathbb{N}$, tia số và so sánh số tự nhiên (Bài 3), bốn phép tính và thứ tự thực hiện (Bài 4), và lũy thừa với số mũ tự nhiên (Bài 5). Mỗi công cụ đó vẫn hoạt động đúng như em đã học — bài ôn tập chỉ đặt chúng cạnh nhau trong cùng một bài toán.

Khởi động

Một đề kiểm tra 15 phút hiếm khi hỏi riêng từng bài một cách tách biệt — nó thường trộn nhiều kiến thức vào cùng một câu, chẳng hạn vừa yêu cầu viết một tập hợp, vừa yêu cầu tính giá trị một biểu thức để tìm điều kiện của tập hợp đó. Em đã sẵn sàng giải một bài toán trộn nhiều kiến thức như vậy chưa?

Kiến thức trọng tâm

Khi một bài toán trộn nhiều kiến thức, cách xử lý không đổi: tách bài toán thành từng phần nhỏ, nhận diện phần nào cần ngôn ngữ tập hợp (liệt kê, $\in$ , $\subset$ , $\cap$ , $\cup$ ) và phần nào cần tính toán số (thứ tự phép tính, lũy thừa), rồi giải quyết TỪNG PHẦN một theo đúng quy tắc riêng của phần đó trước khi ghép kết quả lại.

Khi một bài toán trộn nhiều kiến thức, cách xử lý không đổi: tách bài toán thành từng phần nhỏ, nhận diện phần nào cần ngôn ngữ tập hợp (liệt kê, $\in$, $\subset$, $\cap$, $\cup$) và phần nào cần tính toán số (thứ tự phép tính, lũy thừa), rồi giải quyết TỪNG PHẦN một theo đúng quy tắc riêng của phần đó trước khi ghép kết quả lại.

Một kỹ thuật hay dùng khi đếm số phần tử của hợp hai tập hợp: thay vì luôn phải liệt kê hết $A \cup B$ rồi đếm, em có thể dùng công thức đếm nhanh $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ (số phần tử của hợp bằng tổng số phần tử hai tập, trừ đi số phần tử chung — vì phần chung đã bị đếm hai lần khi cộng $|A|$ với $|B|$ ). Đây chỉ là một cách viết gọn của điều em đã biết ở Bài 2, không phải kiến thức hoàn toàn mới.

Một kỹ thuật hay dùng khi đếm số phần tử của hợp hai tập hợp: thay vì luôn phải liệt kê hết $A \cup B$ rồi đếm, em có thể dùng công thức đếm nhanh $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$ (số phần tử của hợp bằng tổng số phần tử hai tập, trừ đi số phần tử chung — vì phần chung đã bị đếm hai lần khi cộng $|A|$ với $|B|$). Đây chỉ là một cách viết gọn của điều em đã biết ở Bài 2, không phải kiến thức hoàn toàn mới.

Một cách kiểm tra nhanh xem bài tổng hợp đã làm đúng hay chưa: nhìn lại đáp số cuối cùng và tự hỏi nó có hợp lý với ngữ cảnh đề bài không — số phần tử của một tập hợp không thể âm, số tiền không thể âm, số bạn học sinh phải là số tự nhiên chứ không thể là số thập phân. Đáp số vô lý so với ngữ cảnh gần như luôn báo hiệu có một bước tính sai ở phía trên.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tổng hợp: viết tập hợp, đếm phần tử và biểu diễn trên tia số

1
Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 \le x \le 9\}$ . Viết $A$ bằng liệt kê, tìm số phần tử của $A$ , và mô tả vị trí các phần tử trên tia số.
Cho tập hợp $A = \{x \in \mathbb{N} \mid 3 \le x \le 9\}$. Viết $A$ bằng liệt kê, tìm số phần tử của $A$, và mô tả vị trí các phần tử trên tia số.
2
$x$ là số tự nhiên, không nhỏ hơn 3 và không lớn hơn 9, nên $A = \{3;4;5;6;7;8;9\}$ .
$x$ là số tự nhiên, không nhỏ hơn 3 và không lớn hơn 9, nên $A = \{3;4;5;6;7;8;9\}$.
3
Liệt kê ở trên có 7 số khác nhau, nên $A$ có 7 phần tử.
4
Bảy điểm 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 nằm liên tiếp nhau trên tia số, tạo thành một đoạn liền từ điểm 3 đến điểm 9.
5
Vậy $A = \{3;4;5;6;7;8;9\}$ , có 7 phần tử, biểu diễn bằng một đoạn liền các điểm từ 3 đến 9 trên tia số.
Vậy $A = \{3;4;5;6;7;8;9\}$, có 7 phần tử, biểu diễn bằng một đoạn liền các điểm từ 3 đến 9 trên tia số.

Ví dụ

Tổng hợp: thứ tự thực hiện phép tính và lũy thừa

1
Tính giá trị biểu thức $B = 4^2 + 3 \times (18-12) : 2$ .
Tính giá trị biểu thức $B = 4^2 + 3 \times (18-12) : 2$.
2
$4^2 = 16$ (theo định nghĩa lũy thừa); $18-12=6$ (theo thứ tự thực hiện phép tính, trong ngoặc làm trước).
$4^2 = 16$ (theo định nghĩa lũy thừa); $18-12=6$ (theo thứ tự thực hiện phép tính, trong ngoặc làm trước).
3
Thay vào: $B = 16 + 3 \times 6 : 2$ . Nhân, chia cùng mức ưu tiên: $3 \times 6 = 18$ , rồi $18 : 2 = 9$ .
Thay vào: $B = 16 + 3 \times 6 : 2$. Nhân, chia cùng mức ưu tiên: $3 \times 6 = 18$, rồi $18 : 2 = 9$.
4
Chỉ còn lại phép cộng: $B = 16 + 9 = 25$ .
Chỉ còn lại phép cộng: $B = 16 + 9 = 25$.
5
Vậy giá trị của biểu thức $B = 4^2 + 3\times(18-12):2$ là 25.
Vậy giá trị của biểu thức $B = 4^2 + 3\times(18-12):2$ là 25.

Ví dụ

Tổng hợp: giao, hợp và đếm số bạn không thuộc nhóm nào (dạng thi)

1
Lớp 6D có 40 bạn. Tập hợp $M = \{\text{An}; \text{Bảo}; \text{Chi}; \text{Duy}; \text{Em}\}$ là các bạn đạt điểm giỏi môn Toán; tập hợp $N = \{\text{Bảo}; \text{Duy}; \text{Em}; \text{Phú}; \text{Quý}\}$ là các bạn đạt điểm giỏi môn Văn. Tính số bạn giỏi cả hai môn, số bạn giỏi ít nhất một trong hai môn, và số bạn KHÔNG giỏi môn nào trong hai môn này.
Lớp 6D có 40 bạn. Tập hợp $M = \{\text{An}; \text{Bảo}; \text{Chi}; \text{Duy}; \text{Em}\}$ là các bạn đạt điểm giỏi môn Toán; tập hợp $N = \{\text{Bảo}; \text{Duy}; \text{Em}; \text{Phú}; \text{Quý}\}$ là các bạn đạt điểm giỏi môn Văn. Tính số bạn giỏi cả hai môn, số bạn giỏi ít nhất một trong hai môn, và số bạn KHÔNG giỏi môn nào trong hai môn này.
2
$M \cap N = \{\text{Bảo}; \text{Duy}; \text{Em}\}$ , có 3 phần tử, nên có 3 bạn giỏi cả Toán và Văn.
$M \cap N = \{\text{Bảo}; \text{Duy}; \text{Em}\}$, có 3 phần tử, nên có 3 bạn giỏi cả Toán và Văn.
3
$M \cup N = \{\text{An}; \text{Bảo}; \text{Chi}; \text{Duy}; \text{Em}; \text{Phú}; \text{Quý}\}$ , có 7 phần tử. Kiểm tra lại bằng công thức đếm nhanh: $|M \cup N| = |M|+|N|-|M \cap N| = 5+5-3=7$ — khớp với liệt kê trực tiếp. (1)
$M \cup N = \{\text{An}; \text{Bảo}; \text{Chi}; \text{Duy}; \text{Em}; \text{Phú}; \text{Quý}\}$, có 7 phần tử. Kiểm tra lại bằng công thức đếm nhanh: $|M \cup N| = |M|+|N|-|M \cap N| = 5+5-3=7$ — khớp với liệt kê trực tiếp. (1)
4
Lớp có 40 bạn, trong đó 7 bạn (theo (1)) giỏi ít nhất một trong hai môn, nên số bạn không giỏi môn nào trong hai môn này là $40 - 7 = 33$ .
Lớp có 40 bạn, trong đó 7 bạn (theo (1)) giỏi ít nhất một trong hai môn, nên số bạn không giỏi môn nào trong hai môn này là $40 - 7 = 33$.
5
Vậy có 3 bạn giỏi cả hai môn, 7 bạn giỏi ít nhất một môn, và 33 bạn không giỏi môn nào trong hai môn Toán, Văn.

Ví dụ

Tổng hợp: so sánh hai biểu thức có lũy thừa (dạng thi)

1
Tính rồi so sánh hai biểu thức $P = 3^2 \times 4 - 6$ và $Q = 2^3 \times (15-10)$ .
Tính rồi so sánh hai biểu thức $P = 3^2 \times 4 - 6$ và $Q = 2^3 \times (15-10)$.
2
$3^2 = 9$ (lũy thừa trước); $9 \times 4 = 36$ (nhân trước trừ); $P = 36 - 6 = 30$ .
$3^2 = 9$ (lũy thừa trước); $9 \times 4 = 36$ (nhân trước trừ); $P = 36 - 6 = 30$.
3
$15-10=5$ (trong ngoặc trước); $2^3=8$ (lũy thừa); $Q = 8 \times 5 = 40$ .
$15-10=5$ (trong ngoặc trước); $2^3=8$ (lũy thừa); $Q = 8 \times 5 = 40$.
4
$P = 30$ và $Q = 40$ . Vì $30 < 40$ , theo tính chất so sánh số tự nhiên đã học ở Bài 3, ta có $P < Q$ .
$P = 30$ và $Q = 40$. Vì $30 < 40$, theo tính chất so sánh số tự nhiên đã học ở Bài 3, ta có $P < Q$.
5
Vậy $P = 30$ , $Q = 40$ , nên $P < Q$ — dù $P$ có vẻ "phức tạp" hơn về hình thức, giá trị của nó lại nhỏ hơn.
Vậy $P = 30$, $Q = 40$, nên $P < Q$ — dù $P$ có vẻ "phức tạp" hơn về hình thức, giá trị của nó lại nhỏ hơn.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi một bài toán trộn nhiều bước, lỗi phổ biến nhất là làm tắt — bỏ qua một bước trung gian rồi tính nhầm ở bước sau, hoặc quên đối chiếu lại điều kiện đề cho (như quên $x \in \mathbb{N}$ nghĩa là $x$ không được âm hay không được là phân số). Luôn tách bài toán thành từng bước nhỏ như bốn ví dụ trên, và đọc lại đề một lần nữa trước khi kết luận.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Một bài toán tổng hợp không đòi hỏi kiến thức mới — nó chỉ ghép lại đúng những quy tắc em đã học: viết/so sánh tập hợp, tập con/giao/hợp, thứ tự thực hiện phép tính, và lũy thừa. Giải từng phần theo đúng quy tắc riêng của nó, rồi ghép kết quả lại là đủ.

Đến đây em đã hoàn thành khóa Tập hợp và số tự nhiên — nền tảng đầu tiên của Toán 6. Khóa tiếp theo dùng chính lũy thừa vừa học ở đây để phân tích một số ra thừa số nguyên tố, mở đầu cho chủ đề tính chia hết.