Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Tập hợp và phần tử
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em viết được một tập hợp bằng hai cách — liệt kê phần tử và chỉ ra tính chất đặc trưng — và xác định đúng một đối tượng có thuộc một tập hợp cho trước hay không, bằng kí hiệu $\in$, $\notin$.
Kiến thức nền cần nhớ
Ở tiểu học em đã quen nhóm các đồ vật cùng loại lại với nhau, chẳng hạn "các quyển vở trong cặp" hay "các bạn ngồi bàn đầu". Lớp 6 đặt tên chính thức cho thao tác nhóm này là tập hợp. Em cũng cần nhớ dãy số tự nhiên $0, 1, 2, 3, \dots$ để dùng ngay trong những ví dụ đầu tiên của bài. Kỹ năng nhóm đối tượng lại với nhau sẽ quay lại ngay trong bài kế tiếp, khi em đặt hai tập hợp cạnh nhau để so sánh và kết hợp chúng.
Khởi động
Lớp 6A có ba bạn Lan, Hùng, Mai được chọn đi thi học sinh giỏi Toán của trường. Mỗi lần nhắc đến nhóm này, cô giáo không muốn viết lại tên cả ba bạn mỗi lần. Có cách nào gom cả ba cái tên vào một kí hiệu toán học duy nhất, để chỉ cần nhìn kí hiệu là biết ngay đang nói về ai không?
Kiến thức trọng tâm
Tập hợp là một nhóm gồm các đối tượng xác định; mỗi đối tượng trong nhóm đó gọi là một phần tử của tập hợp. Nhóm ba bạn ở trên viết thành tập hợp $A = \{\text{Lan}; \text{Hùng}; \text{Mai}\}$: dùng dấu ngoặc nhọn bao quanh, các phần tử cách nhau bởi dấu chấm phẩy, và mỗi phần tử chỉ liệt kê đúng một lần dù trong thực tế nó có được nhắc tới nhiều lần.
Muốn khẳng định một đối tượng có mặt trong tập hợp, ta dùng kí hiệu $\in$: $\text{Lan} \in A$, đọc là "Lan thuộc A". Khi đối tượng không có mặt, ta dùng kí hiệu $\notin$: bạn Hoa không được chọn đi thi nên $\text{Hoa} \notin A$. Hai kí hiệu này chỉ trả lời câu hỏi "có mặt hay không", chúng không mang nghĩa lớn hơn — nhỏ hơn như dấu $<, >$ em từng dùng với số.
Có hai cách viết một tập hợp. Cách một là liệt kê phần tử, như tập $A$ ở trên. Cách hai là chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử, dùng khi tập hợp có nhiều phần tử hoặc liệt kê hết sẽ quá dài dòng. Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7, viết bằng liệt kê là $A = \{0;1;2;3;4;5;6\}$, còn viết bằng tính chất đặc trưng là $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 7\}$ — đọc là "tập hợp các số tự nhiên $x$ sao cho $x$ nhỏ hơn 7". Hai cách viết cho ra đúng một tập hợp, chỉ khác nhau ở hình thức trình bày.
Số lượng phần tử trong một tập hợp gọi là số phần tử của tập hợp đó. Tập $A = \{0;1;2;3;4;5;6\}$ có 7 phần tử. Khi tập hợp được cho bằng tính chất đặc trưng, muốn biết chính xác số phần tử, em thường phải liệt kê ra trước rồi mới đếm được — trừ trường hợp tập hợp có vô số phần tử, như tập hợp mọi số tự nhiên chẵn, thì không thể liệt kê hết và bắt buộc phải dùng tính chất đặc trưng.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Viết một tập hợp bằng hai cách
1
Viết tập hợp A các số tự nhiên nhỏ hơn 7 bằng hai cách.
2
Các số tự nhiên nhỏ hơn 7 là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Liệt kê: $A = \{0;1;2;3;4;5;6\}$.
3
Mọi phần tử của $A$ đều là số tự nhiên và nhỏ hơn 7, nên ta viết $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 7\}$.
4
Vậy $A = \{0;1;2;3;4;5;6\} = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 7\}$, và $A$ có 7 phần tử.
Ví dụ
Xác định một phần tử có thuộc tập hợp hay không
1
Với $A = \{0;1;2;3;4;5;6\}$ ở ví dụ trên, xét xem 5 và 9 có là phần tử của $A$ hay không.
2
Liệt kê của $A$ có mặt số 5 (vì $5 < 7$), nên theo định nghĩa kí hiệu $\in$, ta có $5 \in A$.
3
Liệt kê của $A$ không có số 9, vì $9 \ge 7$ không thỏa điều kiện $x < 7$ của tập $A$, nên $9 \notin A$.
4
Vậy $5 \in A$ và $9 \notin A$ — số 9 không thỏa điều kiện xác định tập $A$ nên không phải phần tử của $A$.
Ví dụ
Viết tập hợp từ tình huống thực tế và đếm số phần tử (dạng thi)
1
Lớp 6B chọn các bạn Bình, Châu, Dũng, Hà vào đội tuyển Toán của trường. Viết tập hợp $B$ gồm các bạn được chọn bằng cách liệt kê, rồi cho biết $B$ có bao nhiêu phần tử.
2
Bốn bạn được chọn là Bình, Châu, Dũng, Hà, mỗi bạn liệt kê đúng một lần: $B = \{\text{Bình}; \text{Châu}; \text{Dũng}; \text{Hà}\}$.
3
Danh sách liệt kê ở trên có đúng 4 tên khác nhau, nên $B$ có 4 phần tử.
4
Vậy $B = \{\text{Bình}; \text{Châu}; \text{Dũng}; \text{Hà}\}$, có 4 phần tử.
Ví dụ
Viết tập hợp theo tính chất đặc trưng và đếm số phần tử (dạng thi)
1
Cho tập hợp $C$ gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 12. Viết $C$ bằng hai cách và tính số phần tử của $C$.
2
Các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 12 là 0, 2, 4, 6, 8, 10. Liệt kê: $C = \{0;2;4;6;8;10\}$.
3
Mọi phần tử của $C$ đều là số tự nhiên, chẵn, và nhỏ hơn 12, nên $C = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chẵn}, x < 12\}$.
4
Liệt kê ở bước trên cho thấy $C$ có đúng 6 phần tử khác nhau.
5
Vậy $C = \{0;2;4;6;8;10\} = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ chẵn}, x < 12\}$, có 6 phần tử.
Bốn ví dụ trên đi từ một tập hợp cụ thể (ví dụ 1, 2) đến một tình huống có tên người thật (ví dụ 3), rồi đến một tập hợp phải tự liệt kê từ một điều kiện chẵn/lẻ (ví dụ 4) — đúng dạng một câu hỏi tập hợp thường gặp trong đề kiểm tra lớp 6 sẽ hỏi.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Sai lầm thường gặp
Nhiều bạn liệt kê lặp một phần tử, chẳng hạn viết $\{1;1;2;3\}$ thay vì $\{1;2;3\}$ — một tập hợp chỉ ghi mỗi phần tử đúng một lần, dù trong thực tế đối tượng đó có xuất hiện nhiều lần. Một lỗi khác là coi $\{1;2;3\}$ và $\{3;1;2\}$ là hai tập hợp khác nhau: thứ tự liệt kê phần tử không quan trọng, hai cách viết này biểu diễn cùng một tập hợp.
Kiểm tra nhanh
Ghi nhớ
Tập hợp là một nhóm đối tượng xác định, mỗi đối tượng gọi là một phần tử. Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử (mỗi phần tử một lần, cách nhau bởi dấu ;) hoặc bằng tính chất đặc trưng. Dùng $\in$ khi đối tượng có mặt trong tập hợp, $\notin$ khi không có mặt.
Bài học tiếp theo đặt hai tập hợp cạnh nhau: khi nào một tập hợp "nằm gọn" bên trong tập hợp khác — đó là tập con — và làm sao gộp hai tập hợp lại hoặc lấy đúng phần chung của chúng.
Sau bài này, em viết được một tập hợp bằng hai cách — liệt kê phần tử và chỉ ra tính chất đặc trưng — và xác định đúng một đối tượng có thuộc một tập hợp cho trước hay không, bằng kí hiệu ∈, ∈/.
Ở tiểu học em đã quen nhóm các đồ vật cùng loại lại với nhau, chẳng hạn "các quyển vở trong cặp" hay "các bạn ngồi bàn đầu". Lớp 6 đặt tên chính thức cho thao tác nhóm này là tập hợp. Em cũng cần nhớ dãy số tự nhiên 0,1,2,3,… để dùng ngay trong những ví dụ đầu tiên của bài. Kỹ năng nhóm đối tượng lại với nhau sẽ quay lại ngay trong bài kế tiếp, khi em đặt hai tập hợp cạnh nhau để so sánh và kết hợp chúng.
Tập hợp là một nhóm gồm các đối tượng xác định; mỗi đối tượng trong nhóm đó gọi là một phần tử của tập hợp. Nhóm ba bạn ở trên viết thành tập hợp A={Lan;Huˋng;Mai}: dùng dấu ngoặc nhọn bao quanh, các phần tử cách nhau bởi dấu chấm phẩy, và mỗi phần tử chỉ liệt kê đúng một lần dù trong thực tế nó có được nhắc tới nhiều lần.
Muốn khẳng định một đối tượng có mặt trong tập hợp, ta dùng kí hiệu ∈: Lan∈A, đọc là "Lan thuộc A". Khi đối tượng không có mặt, ta dùng kí hiệu ∈/: bạn Hoa không được chọn đi thi nên Hoa∈/A. Hai kí hiệu này chỉ trả lời câu hỏi "có mặt hay không", chúng không mang nghĩa lớn hơn — nhỏ hơn như dấu <,> em từng dùng với số.
Có hai cách viết một tập hợp. Cách một là liệt kê phần tử, như tập A ở trên. Cách hai là chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử, dùng khi tập hợp có nhiều phần tử hoặc liệt kê hết sẽ quá dài dòng. Tập hợp các số tự nhiên nhỏ hơn 7, viết bằng liệt kê là A={0;1;2;3;4;5;6}, còn viết bằng tính chất đặc trưng là A={x∈N∣x<7} — đọc là "tập hợp các số tự nhiên x sao cho x nhỏ hơn 7". Hai cách viết cho ra đúng một tập hợp, chỉ khác nhau ở hình thức trình bày.
Số lượng phần tử trong một tập hợp gọi là số phần tử của tập hợp đó. Tập A={0;1;2;3;4;5;6} có 7 phần tử. Khi tập hợp được cho bằng tính chất đặc trưng, muốn biết chính xác số phần tử, em thường phải liệt kê ra trước rồi mới đếm được — trừ trường hợp tập hợp có vô số phần tử, như tập hợp mọi số tự nhiên chẵn, thì không thể liệt kê hết và bắt buộc phải dùng tính chất đặc trưng.
Các số tự nhiên nhỏ hơn 7 là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Liệt kê: A={0;1;2;3;4;5;6}.
Mọi phần tử của A đều là số tự nhiên và nhỏ hơn 7, nên ta viết A={x∈N∣x<7}.
Vậy A={0;1;2;3;4;5;6}={x∈N∣x<7}, và A có 7 phần tử.
Với A={0;1;2;3;4;5;6} ở ví dụ trên, xét xem 5 và 9 có là phần tử của A hay không.
Liệt kê của A có mặt số 5 (vì 5<7), nên theo định nghĩa kí hiệu ∈, ta có 5∈A.
Liệt kê của A không có số 9, vì 9≥7 không thỏa điều kiện x<7 của tập A, nên 9∈/A.
Vậy 5∈A và 9∈/A — số 9 không thỏa điều kiện xác định tập A nên không phải phần tử của A.
Lớp 6B chọn các bạn Bình, Châu, Dũng, Hà vào đội tuyển Toán của trường. Viết tập hợp B gồm các bạn được chọn bằng cách liệt kê, rồi cho biết B có bao nhiêu phần tử.
Bốn bạn được chọn là Bình, Châu, Dũng, Hà, mỗi bạn liệt kê đúng một lần: B={Bıˋnh;Chaˆu;Du˜ng;Haˋ}.
Danh sách liệt kê ở trên có đúng 4 tên khác nhau, nên B có 4 phần tử.
Vậy B={Bıˋnh;Chaˆu;Du˜ng;Haˋ}, có 4 phần tử.
Cho tập hợp C gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 12. Viết C bằng hai cách và tính số phần tử của C.
Các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 12 là 0, 2, 4, 6, 8, 10. Liệt kê: C={0;2;4;6;8;10}.
Mọi phần tử của C đều là số tự nhiên, chẵn, và nhỏ hơn 12, nên C={x∈N∣x cha˘˜n,x<12}.
Liệt kê ở bước trên cho thấy C có đúng 6 phần tử khác nhau.
Vậy C={0;2;4;6;8;10}={x∈N∣x cha˘˜n,x<12}, có 6 phần tử.
Nhiều bạn liệt kê lặp một phần tử, chẳng hạn viết {1;1;2;3} thay vì {1;2;3} — một tập hợp chỉ ghi mỗi phần tử đúng một lần, dù trong thực tế đối tượng đó có xuất hiện nhiều lần. Một lỗi khác là coi {1;2;3} và {3;1;2} là hai tập hợp khác nhau: thứ tự liệt kê phần tử không quan trọng, hai cách viết này biểu diễn cùng một tập hợp.
Tập hợp là một nhóm đối tượng xác định, mỗi đối tượng gọi là một phần tử. Viết tập hợp bằng cách liệt kê phần tử (mỗi phần tử một lần, cách nhau bởi dấu ;) hoặc bằng tính chất đặc trưng. Dùng ∈ khi đối tượng có mặt trong tập hợp, ∈/ khi không có mặt.