Bài học

Đơn thức, đơn thức thu gọn và bậc của đơn thức

Mục tiêu bài học

Sau bài học này, em nhận biết được một đơn thức, thu gọn một đơn thức về dạng chuẩn, và xác định đúng bậc của đơn thức đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này cần đến quy tắc nhân hai luỹ thừa cùng cơ số đã học ở lớp 6: $a^m \times a^n = a^{m+n}$ — cộng số mũ, không nhân số mũ. Em cũng cần nhớ cách nhân hai số hữu tỉ, kể cả khi có dấu âm. Hai kiến thức nền này sẽ dùng liên tục trong suốt bài.

Khởi động

Khi tính diện tích một mảnh đất hình vuông cạnh $x$ , em viết $x \times x = x^2$ . Vậy nếu nhân $3x^2y$ với $-2xy^3$ thì kết quả sẽ trông như thế nào? Đây chính là phép nhân hai đơn thức, và kết quả cũng cần được viết về một dạng gọn, chuẩn — gọi là đơn thức thu gọn.

Khi tính diện tích một mảnh đất hình vuông cạnh $x$, em viết $x \times x = x^2$. Vậy nếu nhân $3x^2y$ với $-2xy^3$ thì kết quả sẽ trông như thế nào? Đây chính là phép nhân hai đơn thức, và kết quả cũng cần được viết về một dạng gọn, chuẩn — gọi là đơn thức thu gọn.

Kiến thức trọng tâm

Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến — không có phép cộng hay phép trừ bên trong. $5$ , $x$ , $3x^2y$ , $-\dfrac{1}{2}xyz$ đều là đơn thức, nhưng $3x+2y$ không phải vì có dấu cộng.

Đơn thức là một biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến — không có phép cộng hay phép trừ bên trong. $5$, $x$, $3x^2y$, $-\dfrac{1}{2}xyz$ đều là đơn thức, nhưng $3x+2y$ không phải vì có dấu cộng.

Đơn thức thu gọn (dạng chuẩn) là đơn thức chỉ có một hệ số duy nhất đứng trước, và mỗi biến chỉ xuất hiện đúng một lần dưới dạng luỹ thừa. Muốn thu gọn một tích các đơn thức, em nhân các hệ số với nhau, rồi với mỗi biến, cộng các số mũ của biến đó lại theo đúng quy tắc $a^m \times a^n = a^{m+n}$ .

Bậc của một đơn thức thu gọn khác 0 là tổng các số mũ của tất cả các biến có trong đơn thức đó. Một biến viết không kèm số mũ được hiểu là có số mũ bằng 1. Chẳng hạn đơn thức $5x^3y^2z$ có bậc $3+2+1=6$ .

Phần hệ số trong phép nhân hai đơn thức cũng chỉ là một phép nhân hai số bình thường — em có thể hình dung độ lớn của tích đó qua một mô hình diện tích hình chữ nhật: số hàng nhân số cột cho ra tổng số ô. Phần biến thì tính riêng theo quy tắc cộng số mũ ở trên, rồi ghép hai phần lại, không trộn lẫn hai bước này với nhau.

Đơn thức thu gọn xuất hiện rất nhiều trong các công thức em sẽ gặp ở lớp trên, chẳng hạn công thức tính diện tích hay thể tích những hình phức tạp hơn hình chữ nhật đơn giản. Luyện thành thạo hai bước nhân hệ số và cộng số mũ ngay từ bây giờ sẽ giúp em thao tác nhanh và chính xác với những biểu thức phức tạp hơn về sau.

Một số khác 0 (không kèm biến) cũng là một đơn thức, có bậc bằng 0 — chẳng hạn đơn thức $7$ có bậc 0. Riêng số 0 không có bậc xác định, vì có thể viết $0 \cdot x^n$ với bất kỳ số mũ $n$ nào.

Mô hình diện tích: 3 hàng

\times

2 cột = 6 ô, minh hoạ độ lớn của tích hai hệ số

3

và

2

trong

3x^2y \cdot (-2xy^3)

. Dấu âm và phần số mũ được xử lý riêng, không nằm trong mô hình này.Mô hình diện tích: 3 hàng $\times$ 2 cột = 6 ô, minh hoạ độ lớn của tích hai hệ số $3$ và $2$ trong $3x^2y \cdot (-2xy^3)$. Dấu âm và phần số mũ được xử lý riêng, không nằm trong mô hình này.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Thu gọn đơn thức là tích của hai đơn thức khác

1
Thu gọn đơn thức $3x^2y \cdot (-2xy^3)$ .
Thu gọn đơn thức $3x^2y \cdot (-2xy^3)$.
2
Nhân hai hệ số: $3 \times (-2) = -6$ .
Nhân hai hệ số: $3 \times (-2) = -6$.
3
Với biến $x$ : $x^2 \times x = x^{2+1}=x^3$ . Với biến $y$ : $y \times y^3 = y^{1+3}=y^4$ .
Với biến $x$: $x^2 \times x = x^{2+1}=x^3$. Với biến $y$: $y \times y^3 = y^{1+3}=y^4$.
4
Vậy $3x^2y \cdot (-2xy^3) = -6x^3y^4$ , đây là đơn thức thu gọn.
Vậy $3x^2y \cdot (-2xy^3) = -6x^3y^4$, đây là đơn thức thu gọn.

Ví dụ

Xác định bậc của một đơn thức

1
Tìm bậc của đơn thức $5x^3y^2z$ .
Tìm bậc của đơn thức $5x^3y^2z$.
2
Số mũ của $x$ là 3, của $y$ là 2, của $z$ là 1 (vì $z$ viết không kèm số mũ).
Số mũ của $x$ là 3, của $y$ là 2, của $z$ là 1 (vì $z$ viết không kèm số mũ).
3
Bậc của đơn thức bằng tổng các số mũ này: $3+2+1=6$ .
Bậc của đơn thức bằng tổng các số mũ này: $3+2+1=6$.
4
Vậy đơn thức $5x^3y^2z$ có bậc bằng 6.
Vậy đơn thức $5x^3y^2z$ có bậc bằng 6.

Ví dụ

Thu gọn, tìm bậc rồi tính giá trị của đơn thức (dạng thi)

1
Thu gọn đơn thức $\left(-\dfrac{1}{2}x^2y\right) \cdot (4xy^2z)$ , tìm bậc của kết quả, rồi tính giá trị tại $x=1$ , $y=-1$ , $z=2$ .
Thu gọn đơn thức $\left(-\dfrac{1}{2}x^2y\right) \cdot (4xy^2z)$, tìm bậc của kết quả, rồi tính giá trị tại $x=1$, $y=-1$, $z=2$.
2
Nhân hệ số: $-\dfrac{1}{2} \times 4 = -2$ . Với $x$ : $x^2 \times x = x^3$ . Với $y$ : $y \times y^2 = y^3$ . Với $z$ : giữ nguyên $z$ . Đơn thức thu gọn là $-2x^3y^3z$ .
Nhân hệ số: $-\dfrac{1}{2} \times 4 = -2$. Với $x$: $x^2 \times x = x^3$. Với $y$: $y \times y^2 = y^3$. Với $z$: giữ nguyên $z$. Đơn thức thu gọn là $-2x^3y^3z$.
3
Bậc của đơn thức bằng $3+3+1=7$ .
Bậc của đơn thức bằng $3+3+1=7$.
4
Thay $x=1$ , $y=-1$ , $z=2$ : $(1)^3=1$ , $(-1)^3=-1$ , nên $-2 \times 1 \times (-1) \times 2 = -2 \times (-2) = 4$ .
Thay $x=1$, $y=-1$, $z=2$: $(1)^3=1$, $(-1)^3=-1$, nên $-2 \times 1 \times (-1) \times 2 = -2 \times (-2) = 4$.
5
Vậy đơn thức thu gọn là $-2x^3y^3z$ , có bậc 7, và nhận giá trị bằng 4 tại $x=1$ , $y=-1$ , $z=2$ .
Vậy đơn thức thu gọn là $-2x^3y^3z$, có bậc 7, và nhận giá trị bằng 4 tại $x=1$, $y=-1$, $z=2$.

Bài toán trên phối hợp cả ba kỹ năng: thu gọn, tìm bậc, và tính giá trị — đúng dạng bài kiểm tra thường gặp ở lớp 7, khi một câu hỏi không dừng lại ở một thao tác duy nhất.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm hay gặp nhất là cộng nhầm số mũ thành nhân số mũ, hoặc quên cộng số mũ mà chỉ giữ nguyên như một trong hai đơn thức ban đầu. Với $x^2 \times x^3$ , viết nhầm thành $x^6$ (nhân số mũ) trong khi kết quả đúng là $x^{2+3}=x^5$ (cộng số mũ). Luôn nhớ: nhân hai luỹ thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ, không nhân. Một cách tự kiểm tra: số mũ của kết quả luôn lớn hơn hoặc bằng số mũ lớn nhất trong hai đơn thức ban đầu, ứng với từng biến — nếu kết quả có số mũ nhỏ hơn, chắc chắn đã tính sai.

Sai lầm hay gặp nhất là cộng nhầm số mũ thành nhân số mũ, hoặc quên cộng số mũ mà chỉ giữ nguyên như một trong hai đơn thức ban đầu. Với $x^2 \times x^3$, viết nhầm thành $x^6$ (nhân số mũ) trong khi kết quả đúng là $x^{2+3}=x^5$ (cộng số mũ). Luôn nhớ: nhân hai luỹ thừa cùng cơ số thì CỘNG số mũ, không nhân. Một cách tự kiểm tra: số mũ của kết quả luôn lớn hơn hoặc bằng số mũ lớn nhất trong hai đơn thức ban đầu, ứng với từng biến — nếu kết quả có số mũ nhỏ hơn, chắc chắn đã tính sai.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đơn thức thu gọn gồm một hệ số duy nhất nhân với tích các biến, mỗi biến chỉ xuất hiện một lần dưới dạng luỹ thừa. Bậc của đơn thức bằng tổng các số mũ của các biến. Nhân hai đơn thức: nhân hệ số, cộng số mũ của từng biến giống nhau. Khi nhân từ ba đơn thức trở lên, thực hiện lần lượt từng cặp một, theo đúng hai bước này.

Bài này em mới làm việc với một đơn thức thu gọn. Bài tiếp theo sẽ hỏi: nếu có nhiều đơn thức cùng phần biến, ta cộng hay trừ chúng như thế nào?