Bài học

Chia đa thức cho đơn thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em chia được một đa thức một biến cho một đơn thức khi phép chia đó chia hết, và kiểm tra lại kết quả bằng cách nhân ngược.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số $x^m \div x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$ ) đã học ở bài Lũy thừa của số hữu tỉ, và cách nhân đơn thức với đa thức ở bài trước — vì bước kiểm tra lại của bài này chính là nhân ngược kết quả với đơn thức chia.

Em cần nhớ quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số $x^m \div x^n = x^{m-n}$ (với $m \ge n$) đã học ở bài Lũy thừa của số hữu tỉ, và cách nhân đơn thức với đa thức ở bài trước — vì bước kiểm tra lại của bài này chính là nhân ngược kết quả với đơn thức chia.

Khởi động

Một hình chữ nhật có diện tích $6x^3-9x^2+3x$ (đơn vị vuông, với $x>0$ ) và chiều rộng bằng $3x$ . Muốn tìm chiều dài, em phải lấy diện tích chia cho chiều rộng — nhưng diện tích là một đa thức, chiều rộng là một đơn thức. Phép chia này thực hiện thế nào?

Một hình chữ nhật có diện tích $6x^3-9x^2+3x$ (đơn vị vuông, với $x>0$) và chiều rộng bằng $3x$. Muốn tìm chiều dài, em phải lấy diện tích chia cho chiều rộng — nhưng diện tích là một đa thức, chiều rộng là một đơn thức. Phép chia này thực hiện thế nào?

Kiến thức trọng tâm

Chia một đa thức $A$ cho một đơn thức $B$ nghĩa là tìm đa thức (hoặc đơn thức) $C$ sao cho $A = B \cdot C$ . Cách làm là chia $B$ vào từng hạng tử của $A$ rồi cộng các thương lại — ngược hoàn toàn với phép nhân đơn thức ở bài trước. Với mỗi hạng tử, em chia hệ số cho hệ số, và chia phần biến cho phần biến bằng quy tắc $x^m \div x^n = x^{m-n}$ .

Chia một đa thức $A$ cho một đơn thức $B$ nghĩa là tìm đa thức (hoặc đơn thức) $C$ sao cho $A = B \cdot C$. Cách làm là chia $B$ vào từng hạng tử của $A$ rồi cộng các thương lại — ngược hoàn toàn với phép nhân đơn thức ở bài trước. Với mỗi hạng tử, em chia hệ số cho hệ số, và chia phần biến cho phần biến bằng quy tắc $x^m \div x^n = x^{m-n}$.

Phép chia $A \div B$ là chia hết khi mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$ — tức hệ số chia hết và số mũ của $x$ trong mỗi hạng tử của $A$ không nhỏ hơn số mũ của $x$ trong $B$ . Bài này chỉ xét trường hợp chia hết; nếu có một hạng tử không chia hết, phép chia đa thức cho đơn thức đó không cho ra một đa thức nguyên — trường hợp này em sẽ gặp lại ở lớp trên.

Phép chia $A \div B$ là chia hết khi mọi hạng tử của $A$ đều chia hết cho $B$ — tức hệ số chia hết và số mũ của $x$ trong mỗi hạng tử của $A$ không nhỏ hơn số mũ của $x$ trong $B$. Bài này chỉ xét trường hợp chia hết; nếu có một hạng tử không chia hết, phép chia đa thức cho đơn thức đó không cho ra một đa thức nguyên — trường hợp này em sẽ gặp lại ở lớp trên.

Sau khi chia xong, luôn kiểm tra lại bằng cách nhân thương vừa tìm được với đơn thức chia — nếu nhân ngược đúng ra đa thức ban đầu, kết quả chia đúng. Bước kiểm tra này không tốn nhiều thời gian nhưng bắt được gần hết các lỗi tính nhầm dấu hoặc nhầm số mũ.

Phép chia đa thức cho đơn thức là phép tính ngược của phép nhân đơn thức với đa thức ở bài trước — đúng như phép chia số là phép tính ngược của phép nhân số. Nếu $B \cdot C = A$ thì $A \div B = C$ ; bài trước em đã luyện nhân $B$ với $C$ để ra $A$ , bài này em làm ngược lại: biết $A$ và $B$ , tìm $C$ .

Phép chia đa thức cho đơn thức là phép tính ngược của phép nhân đơn thức với đa thức ở bài trước — đúng như phép chia số là phép tính ngược của phép nhân số. Nếu $B \cdot C = A$ thì $A \div B = C$; bài trước em đã luyện nhân $B$ với $C$ để ra $A$, bài này em làm ngược lại: biết $A$ và $B$, tìm $C$.

Không phải phép chia đa thức nào cho đơn thức cũng chia hết. Chẳng hạn $(5x^2+3) \div x$ không chia hết, vì hạng tử $3$ không có nhân tử $x$ nào để chia — kết quả sẽ chứa một phân thức $\dfrac{3}{x}$ , không còn là một đa thức nguyên. Nhận ra sớm những hạng tử thiếu số mũ hoặc có hệ số không chia hết giúp em biết ngay phép chia có chia hết hay không, trước khi bắt tay vào tính từng hạng tử.

Không phải phép chia đa thức nào cho đơn thức cũng chia hết. Chẳng hạn $(5x^2+3) \div x$ không chia hết, vì hạng tử $3$ không có nhân tử $x$ nào để chia — kết quả sẽ chứa một phân thức $\dfrac{3}{x}$, không còn là một đa thức nguyên. Nhận ra sớm những hạng tử thiếu số mũ hoặc có hệ số không chia hết giúp em biết ngay phép chia có chia hết hay không, trước khi bắt tay vào tính từng hạng tử.

So với phép chia hai số tự nhiên mà em quen từ tiểu học, phép chia đa thức cho đơn thức không có số dư khi chia hết — mọi hạng tử của thương cộng lại phải nhân ngược đúng ra đa thức ban đầu, không thừa không thiếu. Chính vì vậy bước kiểm tra bằng nhân ngược ở cuối luôn đáng làm: nó xác nhận cả phép chia lẫn phép nhân lại đều đúng, chứ không chỉ riêng một bước.

Kỹ năng chia đa thức cho đơn thức còn xuất hiện lại khi em rút gọn một biểu thức có dạng phân số chứa đa thức ở tử và đơn thức ở mẫu — về bản chất, rút gọn khi đó chính là thực hiện phép chia này. Nắm chắc quy tắc ở bài học hôm nay giúp em tự tin hơn khi gặp lại đúng ý tưởng này ở những bài học sau.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Chia đa thức cho đơn thức

1
Tính $(6x^3-9x^2+3x) \div 3x$ .
Tính $(6x^3-9x^2+3x) \div 3x$.
2
$6x^3 \div 3x = 2x^2$ (vì $6 \div 3 = 2$ và $x^3 \div x = x^2$ ); $-9x^2 \div 3x = -3x$ ; $3x \div 3x = 1$ .
$6x^3 \div 3x = 2x^2$ (vì $6 \div 3 = 2$ và $x^3 \div x = x^2$); $-9x^2 \div 3x = -3x$; $3x \div 3x = 1$.
3
Cộng ba thương lại: $2x^2-3x+1$ .
Cộng ba thương lại: $2x^2-3x+1$.
4
Nhân ngược: $3x \cdot (2x^2-3x+1) = 6x^3-9x^2+3x$ , đúng bằng đa thức ban đầu.
Nhân ngược: $3x \cdot (2x^2-3x+1) = 6x^3-9x^2+3x$, đúng bằng đa thức ban đầu.
5
Vậy $(6x^3-9x^2+3x) \div 3x = 2x^2-3x+1$ .
Vậy $(6x^3-9x^2+3x) \div 3x = 2x^2-3x+1$.

Ví dụ

Chia một đa thức bậc cao hơn cho đơn thức

1
Tính $(9x^4-6x^3+3x^2) \div 3x^2$ .
Tính $(9x^4-6x^3+3x^2) \div 3x^2$.
2
$9x^4 \div 3x^2 = 3x^2$ ; $-6x^3 \div 3x^2 = -2x$ ; $3x^2 \div 3x^2 = 1$ .
$9x^4 \div 3x^2 = 3x^2$; $-6x^3 \div 3x^2 = -2x$; $3x^2 \div 3x^2 = 1$.
3
Cộng lại: $3x^2-2x+1$ .
Cộng lại: $3x^2-2x+1$.
4
Nhân ngược: $3x^2 \cdot (3x^2-2x+1) = 9x^4-6x^3+3x^2$ , đúng bằng đa thức ban đầu.
Nhân ngược: $3x^2 \cdot (3x^2-2x+1) = 9x^4-6x^3+3x^2$, đúng bằng đa thức ban đầu.
5
Vậy $(9x^4-6x^3+3x^2) \div 3x^2 = 3x^2-2x+1$ .
Vậy $(9x^4-6x^3+3x^2) \div 3x^2 = 3x^2-2x+1$.

Ví dụ

Tìm chiều dài hình chữ nhật rồi tính giá trị cụ thể (dạng thi)

1
Diện tích một hình chữ nhật bằng $6x^3-9x^2+3x$ (đơn vị vuông, $x>0$ ), chiều rộng bằng $3x$ . a) Tính chiều dài theo $x$ . b) Tính chiều dài khi $x=2$ .
Diện tích một hình chữ nhật bằng $6x^3-9x^2+3x$ (đơn vị vuông, $x>0$), chiều rộng bằng $3x$. a) Tính chiều dài theo $x$. b) Tính chiều dài khi $x=2$.
2
Cả ba hạng tử $6x^3, -9x^2, 3x$ đều chia hết cho $3x$ (hệ số chia hết cho 3, số mũ của $x$ đều không nhỏ hơn 1), nên phép chia này chia hết.
Cả ba hạng tử $6x^3, -9x^2, 3x$ đều chia hết cho $3x$ (hệ số chia hết cho 3, số mũ của $x$ đều không nhỏ hơn 1), nên phép chia này chia hết.
3
Theo kết quả ở ví dụ đầu bài, chiều dài $= (6x^3-9x^2+3x) \div 3x = 2x^2-3x+1$ .
Theo kết quả ở ví dụ đầu bài, chiều dài $= (6x^3-9x^2+3x) \div 3x = 2x^2-3x+1$.
4
Với $x=2$ (thỏa $x>0$ ): chiều dài $= 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2+1 = 8-6+1=3$ .
Với $x=2$ (thỏa $x>0$): chiều dài $= 2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2+1 = 8-6+1=3$.
5
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là $2x^2-3x+1$ (đơn vị dài), và khi $x=2$ thì chiều dài bằng $3$ đơn vị.
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là $2x^2-3x+1$ (đơn vị dài), và khi $x=2$ thì chiều dài bằng $3$ đơn vị.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi hay gặp là chỉ chia đơn thức vào một hoặc hai hạng tử rồi quên hạng tử còn lại — luôn đếm lại số hạng tử của đa thức bị chia để chắc chắn không bỏ sót. Lỗi khác là áp dụng ngược quy tắc số mũ, viết $x^m\div x^n = x^{n-m}$ thay vì $x^{m-n}$ , dẫn đến kết quả sai hẳn. Cũng cần giữ đúng dấu của từng hạng tử khi có số âm.

Lỗi hay gặp là chỉ chia đơn thức vào một hoặc hai hạng tử rồi quên hạng tử còn lại — luôn đếm lại số hạng tử của đa thức bị chia để chắc chắn không bỏ sót. Lỗi khác là áp dụng ngược quy tắc số mũ, viết $x^m\div x^n = x^{n-m}$ thay vì $x^{m-n}$, dẫn đến kết quả sai hẳn. Cũng cần giữ đúng dấu của từng hạng tử khi có số âm.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Chia đa thức cho đơn thức (khi chia hết): chia đơn thức vào từng hạng tử, hệ số chia cho hệ số, phần biến áp dụng $x^m\div x^n=x^{m-n}$ , rồi cộng các thương lại. Luôn kiểm tra bằng cách nhân thương với đơn thức chia.

Chia đa thức cho đơn thức (khi chia hết): chia đơn thức vào từng hạng tử, hệ số chia cho hệ số, phần biến áp dụng $x^m\div x^n=x^{m-n}$, rồi cộng các thương lại. Luôn kiểm tra bằng cách nhân thương với đơn thức chia.

Bài cuối cùng của phần đa thức xét một câu hỏi khác hẳn: giá trị nào của $x$ làm cho một đa thức bằng 0 — đó gọi là nghiệm của đa thức.