Bài học

Nhân đa thức một biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân được một đơn thức với một đa thức và nhân được hai đa thức một biến với nhau, bằng cách phân phối từng hạng tử rồi thu gọn kết quả.

Kiến thức nền cần nhớ

Em đã biết tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng từ tiểu học: $a(b+c) = ab+ac$ . Bài này mở rộng đúng tính chất đó cho đa thức có nhiều hạng tử hơn, và em cũng cần thu gọn hạng tử đồng dạng (hai bài trước) ngay sau khi nhân xong.

Em đã biết tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng từ tiểu học: $a(b+c) = ab+ac$. Bài này mở rộng đúng tính chất đó cho đa thức có nhiều hạng tử hơn, và em cũng cần thu gọn hạng tử đồng dạng (hai bài trước) ngay sau khi nhân xong.

Khởi động

Một mảnh đất hình chữ nhật được chia bởi một hàng rào thành các phần: chiều dài gồm hai đoạn $x$ và $3$ , chiều rộng gồm hai đoạn $x$ và $2$ . Nếu ghép cả bốn mảnh nhỏ lại, diện tích tổng có bằng $(x+3)(x+2)$ không? Làm sao tính ra biểu thức rút gọn của diện tích này?

Một mảnh đất hình chữ nhật được chia bởi một hàng rào thành các phần: chiều dài gồm hai đoạn $x$ và $3$, chiều rộng gồm hai đoạn $x$ và $2$. Nếu ghép cả bốn mảnh nhỏ lại, diện tích tổng có bằng $(x+3)(x+2)$ không? Làm sao tính ra biểu thức rút gọn của diện tích này?

Kiến thức trọng tâm

Nhân một đơn thức với một đa thức dùng đúng tính chất phân phối: nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại. Với đơn thức $3x$ và đa thức $2x^2-x+4$ : $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$ , $3x \cdot (-x) = -3x^2$ , $3x \cdot 4 = 12x$ , cộng lại được $6x^3-3x^2+12x$ .

Nhân một đơn thức với một đa thức dùng đúng tính chất phân phối: nhân đơn thức đó với từng hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại. Với đơn thức $3x$ và đa thức $2x^2-x+4$: $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$, $3x \cdot (-x) = -3x^2$, $3x \cdot 4 = 12x$, cộng lại được $6x^3-3x^2+12x$.

Nhân hai đa thức với nhau là nhân từng hạng tử của đa thức thứ nhất với từng hạng tử của đa thức thứ hai, rồi cộng thu gọn tất cả các tích. Với hai đa thức có 2 hạng tử (nhị thức), em có thể hình dung phép nhân này bằng một hình chữ nhật được chia thành 4 ô nhỏ hơn — mỗi ô là diện tích của một tích riêng.

Xét hình chữ nhật có chiều dài $x+3$ và chiều rộng $x+2$ : chia chiều dài thành hai đoạn $x$ và $3$ , chia chiều rộng thành hai đoạn $x$ và $2$ , ta được 4 ô. Ô trên-trái có kích thước $x \times x$ , diện tích $x^2$ . Ô trên-phải có kích thước $x \times 2$ , diện tích $2x$ . Ô dưới-trái có kích thước $3 \times x$ , diện tích $3x$ . Ô dưới-phải có kích thước $3 \times 2$ , diện tích $6$ . Cộng cả 4 ô: $x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6$ — đúng bằng $(x+3)(x+2)$ khai triển theo phân phối.

Xét hình chữ nhật có chiều dài $x+3$ và chiều rộng $x+2$: chia chiều dài thành hai đoạn $x$ và $3$, chia chiều rộng thành hai đoạn $x$ và $2$, ta được 4 ô. Ô trên-trái có kích thước $x \times x$, diện tích $x^2$. Ô trên-phải có kích thước $x \times 2$, diện tích $2x$. Ô dưới-trái có kích thước $3 \times x$, diện tích $3x$. Ô dưới-phải có kích thước $3 \times 2$, diện tích $6$. Cộng cả 4 ô: $x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6$ — đúng bằng $(x+3)(x+2)$ khai triển theo phân phối.

Khi nhân xong, luôn thu gọn hạng tử đồng dạng như hai bài trước đã làm. Một điều đáng nhớ: bậc của tích luôn bằng tổng bậc của hai đa thức nhân — nhân đa thức bậc 1 với đa thức bậc 2 luôn cho kết quả bậc 3, vì hạng tử bậc cao nhất của tích chỉ có thể đến từ tích của hai hạng tử bậc cao nhất của từng đa thức.

Cách nhân đa thức với đa thức không chỉ dùng cho nhị thức. Với đa thức có nhiều hạng tử hơn, nguyên tắc vẫn y hệt: nhân mọi hạng tử của đa thức này với mọi hạng tử của đa thức kia. Số tích cần tính bằng tích số hạng tử của hai đa thức — nhân đa thức 2 hạng tử với đa thức 3 hạng tử luôn cho ra đúng 6 tích trước khi thu gọn, nhân đa thức 3 hạng tử với đa thức 3 hạng tử cho ra 9 tích. Đếm trước số tích cần có là cách chắc chắn nhất để không bỏ sót.

Phép nhân đa thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp như phép nhân số: $A(x) \cdot B(x) = B(x) \cdot A(x)$ , và $A(x) \cdot [B(x) \cdot C(x)] = [A(x) \cdot B(x)] \cdot C(x)$ . Điều này có nghĩa là thứ tự viết hai đa thức trong một phép nhân không ảnh hưởng đến kết quả — khác hẳn phép trừ ở bài trước, nơi thứ tự lại quyết định dấu của kết quả.

Phép nhân đa thức cũng có tính chất giao hoán và kết hợp như phép nhân số: $A(x) \cdot B(x) = B(x) \cdot A(x)$, và $A(x) \cdot [B(x) \cdot C(x)] = [A(x) \cdot B(x)] \cdot C(x)$. Điều này có nghĩa là thứ tự viết hai đa thức trong một phép nhân không ảnh hưởng đến kết quả — khác hẳn phép trừ ở bài trước, nơi thứ tự lại quyết định dấu của kết quả.

Cộng diện tích 4 ô:

x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6

.Cộng diện tích 4 ô: $x^2+2x+3x+6 = x^2+5x+6$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân đơn thức với đa thức

1
Tính $3x(2x^2-x+4)$ .
Tính $3x(2x^2-x+4)$.
2
Nhân $3x$ với từng hạng tử: $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$ ; $3x \cdot (-x) = -3x^2$ ; $3x \cdot 4 = 12x$ .
Nhân $3x$ với từng hạng tử: $3x \cdot 2x^2 = 6x^3$; $3x \cdot (-x) = -3x^2$; $3x \cdot 4 = 12x$.
3
Không có hạng tử đồng dạng nào cần gộp thêm, vì ba tích có ba bậc khác nhau (3, 2, 1).
4
Vậy $3x(2x^2-x+4) = 6x^3-3x^2+12x$ .
Vậy $3x(2x^2-x+4) = 6x^3-3x^2+12x$.

Ví dụ

Nhân hai đa thức — mỗi hạng tử nhân với mỗi hạng tử

1
Tính $(x+2)(x^2-3x+1)$ .
Tính $(x+2)(x^2-3x+1)$.
2
$x \cdot x^2 = x^3$ ; $x \cdot (-3x) = -3x^2$ ; $x \cdot 1 = x$ .
$x \cdot x^2 = x^3$; $x \cdot (-3x) = -3x^2$; $x \cdot 1 = x$.
3
$2 \cdot x^2 = 2x^2$ ; $2 \cdot (-3x) = -6x$ ; $2 \cdot 1 = 2$ .
$2 \cdot x^2 = 2x^2$; $2 \cdot (-3x) = -6x$; $2 \cdot 1 = 2$.
4
Cộng sáu tích lại: $x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2$ . Gộp hạng tử đồng dạng bậc 2: $-3x^2+2x^2=-x^2$ ; bậc 1: $x-6x=-5x$ . Kết quả $x^3-x^2-5x+2$ .
Cộng sáu tích lại: $x^3-3x^2+x+2x^2-6x+2$. Gộp hạng tử đồng dạng bậc 2: $-3x^2+2x^2=-x^2$; bậc 1: $x-6x=-5x$. Kết quả $x^3-x^2-5x+2$.
5
Vậy $(x+2)(x^2-3x+1) = x^3-x^2-5x+2$ — đúng bậc 3, bằng tổng bậc 1 của $(x+2)$ và bậc 2 của $(x^2-3x+1)$ .
Vậy $(x+2)(x^2-3x+1) = x^3-x^2-5x+2$ — đúng bậc 3, bằng tổng bậc 1 của $(x+2)$ và bậc 2 của $(x^2-3x+1)$.

Ví dụ

Diện tích hình chữ nhật theo x rồi tính giá trị cụ thể (dạng thi)

1
Một hình chữ nhật có chiều rộng $x$ mét ( $x>0$ ) và chiều dài hơn chiều rộng 3 mét. a) Viết biểu thức diện tích $S(x)$ theo $x$ , rút gọn. b) Tính diện tích khi $x=5$ mét.
Một hình chữ nhật có chiều rộng $x$ mét ($x>0$) và chiều dài hơn chiều rộng 3 mét. a) Viết biểu thức diện tích $S(x)$ theo $x$, rút gọn. b) Tính diện tích khi $x=5$ mét.
2
Chiều dài bằng $x+3$ , chiều rộng bằng $x$ , nên diện tích $S(x) = x(x+3)$ .
Chiều dài bằng $x+3$, chiều rộng bằng $x$, nên diện tích $S(x) = x(x+3)$.
3
Phân phối: $S(x) = x \cdot x + x \cdot 3 = x^2+3x$ .
Phân phối: $S(x) = x \cdot x + x \cdot 3 = x^2+3x$.
4
Với $x=5$ (thỏa điều kiện $x>0$ ): $S(5) = 5^2+3 \cdot 5 = 25+15 = 40$ .
Với $x=5$ (thỏa điều kiện $x>0$): $S(5) = 5^2+3 \cdot 5 = 25+15 = 40$.
5
Vậy $S(x) = x^2+3x$ (mét vuông), và khi $x=5$ mét thì diện tích mảnh vườn bằng $40$ mét vuông.
Vậy $S(x) = x^2+3x$ (mét vuông), và khi $x=5$ mét thì diện tích mảnh vườn bằng $40$ mét vuông.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Lỗi thường gặp nhất là quên nhân một trong các cặp hạng tử — chẳng hạn với $(x+2)(x^2-3x+1)$ , có bạn chỉ nhân $x$ với $x^2$ rồi nhân $2$ với $1$ mà bỏ sót hai tích chéo. Cách chắc chắn nhất là liệt kê đủ số tích cần có: nhân đa thức 2 hạng tử với đa thức 3 hạng tử phải ra đúng 6 tích trước khi thu gọn. Lỗi khác là quên đổi dấu khi một hạng tử âm, ví dụ $(x-2)\cdot5$ phải ra $5x-10$ chứ không phải $5x+10$ .

Lỗi thường gặp nhất là quên nhân một trong các cặp hạng tử — chẳng hạn với $(x+2)(x^2-3x+1)$, có bạn chỉ nhân $x$ với $x^2$ rồi nhân $2$ với $1$ mà bỏ sót hai tích chéo. Cách chắc chắn nhất là liệt kê đủ số tích cần có: nhân đa thức 2 hạng tử với đa thức 3 hạng tử phải ra đúng 6 tích trước khi thu gọn. Lỗi khác là quên đổi dấu khi một hạng tử âm, ví dụ $(x-2)\cdot5$ phải ra $5x-10$ chứ không phải $5x+10$.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhân đơn thức với đa thức: phân phối đơn thức đó vào từng hạng tử. Nhân đa thức với đa thức: nhân từng hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia, rồi thu gọn. Mô hình diện tích hình chữ nhật giúp em không bỏ sót tích nào khi nhân hai nhị thức.

Bài tiếp theo làm ngược lại phép nhân với đơn thức — chia một đa thức cho một đơn thức, khi phép chia đó chia hết.