Bài học

Định nghĩa và hằng số tỉ lệ nghịch

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được khi nào hai đại lượng $x$ và $y$ liên hệ với nhau theo công thức tỉ lệ nghịch $y = \dfrac{a}{x}$ (tương đương $xy = a$ ), tìm đúng hằng số tỉ lệ $a$ từ một cặp giá trị tương ứng, và kiểm tra được một bảng giá trị có thể hiện quan hệ tỉ lệ nghịch hay không.

Sau bài này, em nhận biết được khi nào hai đại lượng $x$ và $y$ liên hệ với nhau theo công thức tỉ lệ nghịch $y = \dfrac{a}{x}$ (tương đương $xy = a$), tìm đúng hằng số tỉ lệ $a$ từ một cặp giá trị tương ứng, và kiểm tra được một bảng giá trị có thể hiện quan hệ tỉ lệ nghịch hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Em vừa học xong tỉ lệ thuận, ở đó tỉ số $\dfrac{y}{x}$ luôn không đổi. Bài này xét một quy luật khác, cũng rất hay gặp: có những cặp đại lượng mà khi cái này tăng thì cái kia giảm, và điều giữ nguyên không đổi không phải là tỉ số mà là tích của chúng. Em vẫn cần đến phép nhân, chia số hữu tỉ của Course 1 để tính các tích này.

Khởi động

Một ô tô đi quãng đường AB cố định 120km. Nếu đi với vận tốc 60 km/h thì hết 2 giờ; nếu đi nhanh hơn, với vận tốc 120 km/h, thì chỉ hết 1 giờ. Vận tốc tăng gấp đôi mà thời gian lại giảm đúng một nửa — có phải ngẫu nhiên không, hay có một con số cố định đứng sau quy luật này?

Kiến thức trọng tâm

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$ , trong đó $a$ là một hằng số khác 0 và $x \ne 0$ , ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số tỉ lệ $a$ . Công thức này tương đương với $xy = a$ : tích của $x$ và $y$ luôn không đổi. Với ô tô ở trên, vận tốc $v$ và thời gian $t$ liên hệ bởi $v = \dfrac{120}{t}$ , vì quãng đường không đổi $s = v \times t = 120$ .

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = \dfrac{a}{x}$, trong đó $a$ là một hằng số khác 0 và $x \ne 0$, ta nói $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số tỉ lệ $a$. Công thức này tương đương với $xy = a$: tích của $x$ và $y$ luôn không đổi. Với ô tô ở trên, vận tốc $v$ và thời gian $t$ liên hệ bởi $v = \dfrac{120}{t}$, vì quãng đường không đổi $s = v \times t = 120$.

Từ $xy = a$ suy ra $a = x \times y$ tại mọi cặp giá trị tương ứng. Muốn tìm hằng số tỉ lệ, em lấy một cặp $(x, y)$ đã biết rồi nhân lại. Muốn kiểm tra một bảng giá trị có phải tỉ lệ nghịch hay không, em tính tích $x \times y$ ở từng cột: tất cả bằng nhau thì tỉ lệ nghịch, hằng số $a$ chính là tích chung đó; chỉ một cột cho tích khác đã đủ để bác bỏ.

Đường cong này gọi là hyperbol; hai trục là hai đường mà đồ thị tiến gần tới nhưng không bao giờ chạm.

Tích thời gian × vận tốc ở mọi cột đều bằng 120:

2\times60=4\times30=6\times20=8\times15=120

.Tích thời gian × vận tốc ở mọi cột đều bằng 120: $2\times60=4\times30=6\times20=8\times15=120$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định hằng số tỉ lệ từ một công thức thực tế

1
Một ô tô đi quãng đường AB cố định 120km, với vận tốc $v$ (km/h) và thời gian $t$ (giờ) liên hệ bởi $v = \dfrac{120}{t}$ . Cho biết $v$ có tỉ lệ nghịch với $t$ hay không, và nếu có, hằng số tỉ lệ bằng bao nhiêu, mang ý nghĩa gì?
Một ô tô đi quãng đường AB cố định 120km, với vận tốc $v$ (km/h) và thời gian $t$ (giờ) liên hệ bởi $v = \dfrac{120}{t}$. Cho biết $v$ có tỉ lệ nghịch với $t$ hay không, và nếu có, hằng số tỉ lệ bằng bao nhiêu, mang ý nghĩa gì?
2
Công thức $v = \dfrac{120}{t}$ đúng dạng $y = \dfrac{a}{x}$ với $a = 120 \ne 0$ , nên $v$ tỉ lệ nghịch với $t$ .
Công thức $v = \dfrac{120}{t}$ đúng dạng $y = \dfrac{a}{x}$ với $a = 120 \ne 0$, nên $v$ tỉ lệ nghịch với $t$.
3
Vậy $v$ tỉ lệ nghịch với $t$ theo hằng số $a = 120$ ; con số này chính là độ dài quãng đường AB, tính bằng km.
Vậy $v$ tỉ lệ nghịch với $t$ theo hằng số $a = 120$; con số này chính là độ dài quãng đường AB, tính bằng km.

Ví dụ

Kiểm tra một bảng giá trị có phải tỉ lệ nghịch hay không

1
Xét bảng giá trị $x: 3, 5, 6$ tương ứng $y: 40, 24, 20$ . Bảng này có thể hiện $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ không?
Xét bảng giá trị $x: 3, 5, 6$ tương ứng $y: 40, 24, 20$. Bảng này có thể hiện $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ không?
2
Ta có $3 \times 40 = 120$ , $5 \times 24 = 120$ , $6 \times 20 = 120$ .
Ta có $3 \times 40 = 120$, $5 \times 24 = 120$, $6 \times 20 = 120$.
3
Vậy ba tích đều bằng 120 nên bảng thể hiện $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số $a = 120$ , tức $y = \dfrac{120}{x}$ .
Vậy ba tích đều bằng 120 nên bảng thể hiện $y$ tỉ lệ nghịch với $x$ theo hằng số $a = 120$, tức $y = \dfrac{120}{x}$.

Ví dụ

Bài toán bơm nước bằng nhiều vòi (dạng thi)

1
Một bể nước, nếu dùng 1 vòi bơm (các vòi cùng công suất) thì bơm đầy bể trong 12 giờ. Số vòi bơm sử dụng và thời gian bơm đầy bể là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. Nếu dùng 3 vòi, bơm đầy bể trong bao lâu?
2
Với 1 vòi, thời gian là 12 giờ, nên $a = 1 \times 12 = 12$ (vòi·giờ).
Với 1 vòi, thời gian là 12 giờ, nên $a = 1 \times 12 = 12$ (vòi·giờ).
3
Thời gian $= \dfrac{a}{\text{số vòi}} = \dfrac{12}{3} = 4$ .
Thời gian $= \dfrac{a}{\text{số vòi}} = \dfrac{12}{3} = 4$.
4
Vậy dùng 3 vòi thì bơm đầy bể trong 4 giờ.

Ví dụ

Bài toán số công nhân — số ngày hoàn thành (dạng thi)

1
Một đội 6 công nhân hoàn thành một công trình trong 10 ngày. Nếu tăng lên 15 công nhân (cùng năng suất mỗi người), hoàn thành công trình đó trong bao nhiêu ngày?
2
Số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (cùng một khối lượng công việc), nên $a = 6 \times 10 = 60$ (công nhân·ngày).
Số công nhân và số ngày là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (cùng một khối lượng công việc), nên $a = 6 \times 10 = 60$ (công nhân·ngày).
3
Số ngày $= \dfrac{60}{15} = 4$ .
Số ngày $= \dfrac{60}{15} = 4$.
4
Vậy với 15 công nhân, công trình hoàn thành trong 4 ngày.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn thấy " $x$ tăng thì $y$ giảm" đã vội kết luận là tỉ lệ nghịch, kể cả với công thức $y = 10 - x$ hay $y = -3x$ . Chỉ đúng dạng $y = \dfrac{a}{x}$ (tương đương $xy = a$ không đổi) mới là tỉ lệ nghịch — hai công thức trên tuy $y$ cũng giảm khi $x$ tăng, nhưng tích $xy$ của chúng không phải hằng số. Một lỗi khác là quên điều kiện $x \ne 0$ , vì $y = \dfrac{a}{x}$ không xác định khi $x = 0$ .

Nhiều bạn thấy "$x$ tăng thì $y$ giảm" đã vội kết luận là tỉ lệ nghịch, kể cả với công thức $y = 10 - x$ hay $y = -3x$. Chỉ đúng dạng $y = \dfrac{a}{x}$ (tương đương $xy = a$ không đổi) mới là tỉ lệ nghịch — hai công thức trên tuy $y$ cũng giảm khi $x$ tăng, nhưng tích $xy$ của chúng không phải hằng số. Một lỗi khác là quên điều kiện $x \ne 0$, vì $y = \dfrac{a}{x}$ không xác định khi $x = 0$.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$y$ tỉ lệ nghịch với $x$ khi và chỉ khi $y = \dfrac{a}{x}$ (hay $xy = a$ ) với $a \ne 0$ , $x \ne 0$ ; hằng số tỉ lệ $a = x \times y$ tại mọi cặp giá trị tương ứng. Kiểm tra một bảng bằng cách tính tích $x \times y$ ở từng cột — bằng nhau hết thì tỉ lệ nghịch, một cột lệch cũng đủ để bác bỏ.

$y$ tỉ lệ nghịch với $x$ khi và chỉ khi $y = \dfrac{a}{x}$ (hay $xy = a$) với $a \ne 0$, $x \ne 0$; hằng số tỉ lệ $a = x \times y$ tại mọi cặp giá trị tương ứng. Kiểm tra một bảng bằng cách tính tích $x \times y$ ở từng cột — bằng nhau hết thì tỉ lệ nghịch, một cột lệch cũng đủ để bác bỏ.

Bài tiếp theo dùng công thức $xy = a$ này để giải trọn vẹn các bài toán tỉ lệ nghịch: tìm một giá trị còn thiếu, và chia một tổng theo tỉ lệ nghịch.