Bài học

Định nghĩa và hệ số tỉ lệ thuận

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận biết được khi nào hai đại lượng $x$ và $y$ liên hệ với nhau theo công thức tỉ lệ thuận $y = kx$ , tìm đúng hệ số tỉ lệ $k$ từ một cặp giá trị tương ứng đã biết, và kiểm tra được một bảng giá trị có thể hiện quan hệ tỉ lệ thuận hay không.

Sau bài này, em nhận biết được khi nào hai đại lượng $x$ và $y$ liên hệ với nhau theo công thức tỉ lệ thuận $y = kx$, tìm đúng hệ số tỉ lệ $k$ từ một cặp giá trị tương ứng đã biết, và kiểm tra được một bảng giá trị có thể hiện quan hệ tỉ lệ thuận hay không.

Kiến thức nền cần nhớ

Course 3 đã cho em tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d}$ . Bài này dùng lại đúng công cụ đó, chỉ khác ở chỗ $x$ và $y$ bây giờ không còn là hai số cố định nữa mà là hai đại lượng lấy nhiều giá trị khác nhau, và ta quan tâm đến quy luật chung nối chúng lại với nhau.

Course 3 đã cho em tỉ lệ thức $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}$ và tính chất dãy tỉ số bằng nhau $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = \dfrac{a+c}{b+d}$. Bài này dùng lại đúng công cụ đó, chỉ khác ở chỗ $x$ và $y$ bây giờ không còn là hai số cố định nữa mà là hai đại lượng lấy nhiều giá trị khác nhau, và ta quan tâm đến quy luật chung nối chúng lại với nhau.

Khởi động

Một bạn đạp xe với vận tốc không đổi 20 km/h. Sau 1 giờ bạn đi được 20 km, sau 2 giờ đi được 40 km, sau 3 giờ đi được 60 km. Thời gian tăng gấp đôi thì quãng đường cũng tăng gấp đôi. Có một con số cố định nào giải thích vì sao điều đó luôn đúng, dù em thay thời gian bằng giá trị gì?

Kiến thức trọng tâm

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = kx$ , trong đó $k$ là một hằng số khác 0, ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ . Với bạn đạp xe ở trên, quãng đường $s$ và thời gian $t$ liên hệ bởi $s = 20t$ , nên $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số $k = 20$ — đúng bằng vận tốc, tính theo km/h.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y = kx$, trong đó $k$ là một hằng số khác 0, ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$. Với bạn đạp xe ở trên, quãng đường $s$ và thời gian $t$ liên hệ bởi $s = 20t$, nên $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số $k = 20$ — đúng bằng vận tốc, tính theo km/h.

Từ công thức $y = kx$ suy ra $k = \dfrac{y}{x}$ với mọi $x \ne 0$ . Vậy muốn tìm hệ số tỉ lệ, em chỉ cần lấy một cặp giá trị tương ứng $(x, y)$ đã biết rồi chia $y$ cho $x$ . Ngược lại, muốn kiểm tra một bảng giá trị có phải tỉ lệ thuận hay không, em tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột: nếu tất cả các tỉ số đó bằng nhau thì bảng thể hiện tỉ lệ thuận, hệ số $k$ chính là tỉ số chung ấy; chỉ cần một cột cho tỉ số khác đi là đủ để kết luận bảng đó không tỉ lệ thuận.

Từ công thức $y = kx$ suy ra $k = \dfrac{y}{x}$ với mọi $x \ne 0$. Vậy muốn tìm hệ số tỉ lệ, em chỉ cần lấy một cặp giá trị tương ứng $(x, y)$ đã biết rồi chia $y$ cho $x$. Ngược lại, muốn kiểm tra một bảng giá trị có phải tỉ lệ thuận hay không, em tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột: nếu tất cả các tỉ số đó bằng nhau thì bảng thể hiện tỉ lệ thuận, hệ số $k$ chính là tỉ số chung ấy; chỉ cần một cột cho tỉ số khác đi là đủ để kết luận bảng đó không tỉ lệ thuận.

Đồ thị hàm số

s = 20t

— một đường thẳng đi qua gốc tọa độ

O

, đặc trưng của mọi quan hệ tỉ lệ thuận.Đồ thị hàm số $s = 20t$ — một đường thẳng đi qua gốc tọa độ $O$, đặc trưng của mọi quan hệ tỉ lệ thuận.

Bảng giá trị quãng đường theo thời gian: mọi cột đều cho tỉ số quãng đường trên thời gian bằng 20.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định hệ số tỉ lệ từ một công thức thực tế

1
Bạn Nam đạp xe với vận tốc không đổi, quãng đường $s$ (km) và thời gian $t$ (giờ) liên hệ bởi $s = 20t$ . Cho biết $s$ có tỉ lệ thuận với $t$ hay không, và nếu có, hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu, mang ý nghĩa gì?
Bạn Nam đạp xe với vận tốc không đổi, quãng đường $s$ (km) và thời gian $t$ (giờ) liên hệ bởi $s = 20t$. Cho biết $s$ có tỉ lệ thuận với $t$ hay không, và nếu có, hệ số tỉ lệ bằng bao nhiêu, mang ý nghĩa gì?
2
Công thức $s = 20t$ đúng dạng $y = kx$ với $k = 20 \ne 0$ , nên theo định nghĩa, $s$ tỉ lệ thuận với $t$ .
Công thức $s = 20t$ đúng dạng $y = kx$ với $k = 20 \ne 0$, nên theo định nghĩa, $s$ tỉ lệ thuận với $t$.
3
Vậy $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ $k = 20$ ; con số này chính là vận tốc không đổi của bạn Nam, tính bằng km/h.
Vậy $s$ tỉ lệ thuận với $t$ theo hệ số tỉ lệ $k = 20$; con số này chính là vận tốc không đổi của bạn Nam, tính bằng km/h.

Ví dụ

Kiểm tra một bảng giá trị có phải tỉ lệ thuận hay không

1
Xét bảng giá trị $x: 2, 4, 6, 8$ tương ứng $y: 10, 20, 30, 40$ . Bảng này có thể hiện $y$ tỉ lệ thuận với $x$ không?
Xét bảng giá trị $x: 2, 4, 6, 8$ tương ứng $y: 10, 20, 30, 40$. Bảng này có thể hiện $y$ tỉ lệ thuận với $x$ không?
2
Ta có $\dfrac{10}{2} = 5$ , $\dfrac{20}{4} = 5$ , $\dfrac{30}{6} = 5$ , $\dfrac{40}{8} = 5$ .
Ta có $\dfrac{10}{2} = 5$, $\dfrac{20}{4} = 5$, $\dfrac{30}{6} = 5$, $\dfrac{40}{8} = 5$.
3
Vậy bốn tỉ số đều bằng 5 nên bảng thể hiện $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = 5$ , tức $y = 5x$ .
Vậy bốn tỉ số đều bằng 5 nên bảng thể hiện $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số $k = 5$, tức $y = 5x$.

Ví dụ

Tính số tiền phải trả khi mua hàng theo khối lượng (dạng thi)

1
Giá 1kg táo là 35.000đ. Gọi $T$ (đồng) là số tiền phải trả khi mua $m$ (kg) táo. Viết công thức liên hệ giữa $T$ và $m$ , rồi tính số tiền phải trả khi mua 2,5kg táo.
Giá 1kg táo là 35.000đ. Gọi $T$ (đồng) là số tiền phải trả khi mua $m$ (kg) táo. Viết công thức liên hệ giữa $T$ và $m$, rồi tính số tiền phải trả khi mua 2,5kg táo.
2
Mỗi kg táo giá 35.000đ nên $T = 35000m$ ; đây đúng dạng $y = kx$ với $k = 35000 \ne 0$ , tức $T$ tỉ lệ thuận với $m$ .
Mỗi kg táo giá 35.000đ nên $T = 35000m$; đây đúng dạng $y = kx$ với $k = 35000 \ne 0$, tức $T$ tỉ lệ thuận với $m$.
3
Với $m = 2,5$ , ta có $T = 35000 \times 2,5 = 87500$ .
Với $m = 2,5$, ta có $T = 35000 \times 2,5 = 87500$.
4
Vậy mua 2,5kg táo phải trả 87.500đ.

Ví dụ

Tìm khối lượng của một cuộn dây thép đồng chất (dạng thi)

1
Chiều dài $x$ (m) và khối lượng $y$ (kg) của một loại dây thép đồng chất luôn tỉ lệ thuận. Biết 3m dây nặng 1,2kg. Tính khối lượng của 15m dây cùng loại.
Chiều dài $x$ (m) và khối lượng $y$ (kg) của một loại dây thép đồng chất luôn tỉ lệ thuận. Biết 3m dây nặng 1,2kg. Tính khối lượng của 15m dây cùng loại.
2
Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ nên $k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1,2}{3} = 0,4$ (kg/m).
Vì $y$ tỉ lệ thuận với $x$ nên $k = \dfrac{y}{x} = \dfrac{1,2}{3} = 0,4$ (kg/m).
3
Với $x = 15$ , ta có $y = 0,4 \times 15 = 6$ .
Với $x = 15$, ta có $y = 0,4 \times 15 = 6$.
4
Vậy 15m dây thép cùng loại nặng 6kg.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm mọi công thức có $x$ và $y$ đều là tỉ lệ thuận, kể cả dạng $y = x + k$ hay $y = x^2$ . Chỉ đúng dạng $y = kx$ với $k \ne 0$ mới là tỉ lệ thuận — cứ có thêm một số hạng cộng, trừ độc lập với $x$ , hoặc $x$ bị nâng lũy thừa, là công thức đó không còn tỉ lệ thuận nữa. Một lỗi khác là quên điều kiện $k \ne 0$ : nếu $k = 0$ thì $y$ luôn bằng 0, không phải một quan hệ tỉ lệ thuận có ý nghĩa.

Nhiều bạn nhầm mọi công thức có $x$ và $y$ đều là tỉ lệ thuận, kể cả dạng $y = x + k$ hay $y = x^2$. Chỉ đúng dạng $y = kx$ với $k \ne 0$ mới là tỉ lệ thuận — cứ có thêm một số hạng cộng, trừ độc lập với $x$, hoặc $x$ bị nâng lũy thừa, là công thức đó không còn tỉ lệ thuận nữa. Một lỗi khác là quên điều kiện $k \ne 0$: nếu $k = 0$ thì $y$ luôn bằng 0, không phải một quan hệ tỉ lệ thuận có ý nghĩa.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

$y$ tỉ lệ thuận với $x$ khi và chỉ khi $y = kx$ với $k \ne 0$ ; hệ số tỉ lệ $k = \dfrac{y}{x}$ tại mọi cặp giá trị tương ứng. Kiểm tra một bảng bằng cách tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột — bằng nhau hết thì tỉ lệ thuận, chỉ một cột lệch cũng đủ để bác bỏ.

$y$ tỉ lệ thuận với $x$ khi và chỉ khi $y = kx$ với $k \ne 0$; hệ số tỉ lệ $k = \dfrac{y}{x}$ tại mọi cặp giá trị tương ứng. Kiểm tra một bảng bằng cách tính tỉ số $\dfrac{y}{x}$ ở từng cột — bằng nhau hết thì tỉ lệ thuận, chỉ một cột lệch cũng đủ để bác bỏ.

Bài tiếp theo dùng chính công thức $y = kx$ này để giải các bài toán tỉ lệ thuận trọn vẹn hơn: tìm một giá trị còn thiếu, chia một tổng theo tỉ lệ thuận, và đọc đồ thị của hàm số $y = kx$ .