Bài học

Giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em giải được một bài toán tỉ lệ thuận trọn vẹn: tìm một giá trị còn thiếu khi biết một cặp giá trị tương ứng, chia một tổng cho nhiều phần theo tỉ lệ thuận, và đọc được hệ số tỉ lệ từ đồ thị của hàm số $y = kx$ .

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em công thức $y = kx$ và cách tìm $k = \dfrac{y}{x}$ . Bài này còn cần đến tính chất dãy tỉ số bằng nhau của Course 3: nếu $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$ thì tỉ số đó cũng bằng $\dfrac{a+b+c}{m+n+p}$ — công cụ chính để chia một tổng theo tỉ lệ thuận.

Bài trước đã cho em công thức $y = kx$ và cách tìm $k = \dfrac{y}{x}$. Bài này còn cần đến tính chất dãy tỉ số bằng nhau của Course 3: nếu $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p}$ thì tỉ số đó cũng bằng $\dfrac{a+b+c}{m+n+p}$ — công cụ chính để chia một tổng theo tỉ lệ thuận.

Khởi động

Một xưởng may nhận đơn hàng gấp, cần chia đều công việc cho ba tổ theo năng lực khác nhau chứ không chia bằng số áo như nhau mỗi tổ. Nếu năng lực ba tổ theo tỉ lệ 3:4:5 và tổng đơn hàng là 720 áo, làm sao xác định đúng phần việc của từng tổ mà không cần đoán?

Kiến thức trọng tâm

Có hai kiểu bài toán tỉ lệ thuận hay gặp. Kiểu thứ nhất cho một cặp giá trị tương ứng $(x_1, y_1)$ và hỏi giá trị $y_2$ ứng với $x_2$ : em tìm hệ số $k = \dfrac{y_1}{x_1}$ rồi tính $y_2 = k x_2$ , hoặc dùng ngay tỉ lệ thức $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$ mà không cần viết riêng $k$ .

Có hai kiểu bài toán tỉ lệ thuận hay gặp. Kiểu thứ nhất cho một cặp giá trị tương ứng $(x_1, y_1)$ và hỏi giá trị $y_2$ ứng với $x_2$: em tìm hệ số $k = \dfrac{y_1}{x_1}$ rồi tính $y_2 = k x_2$, hoặc dùng ngay tỉ lệ thức $\dfrac{y_1}{x_1} = \dfrac{y_2}{x_2}$ mà không cần viết riêng $k$.

Kiểu thứ hai là chia một tổng $S$ cho nhiều phần tỉ lệ thuận với các số đã cho. Nếu ba phần $a, b, c$ tỉ lệ thuận với $m, n, p$ và $a+b+c = S$ , ta viết $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p} = \dfrac{a+b+c}{m+n+p} = \dfrac{S}{m+n+p}$ , tìm được tỉ số chung rồi nhân ngược lại để ra từng phần.

Kiểu thứ hai là chia một tổng $S$ cho nhiều phần tỉ lệ thuận với các số đã cho. Nếu ba phần $a, b, c$ tỉ lệ thuận với $m, n, p$ và $a+b+c = S$, ta viết $\dfrac{a}{m} = \dfrac{b}{n} = \dfrac{c}{p} = \dfrac{a+b+c}{m+n+p} = \dfrac{S}{m+n+p}$, tìm được tỉ số chung rồi nhân ngược lại để ra từng phần.

Hai kiểu bài toán trên thực chất chỉ là một ý tưởng nhìn theo hai cách: kiểu thứ nhất có đúng một hệ số $k$ ẩn sau công thức, còn kiểu thứ hai có $m+n+p$ phần bằng nhau ẩn sau tổng $S$ . Vì vậy sau khi tính ra từng phần, em nên cộng lại để kiểm tra có đúng bằng $S$ hay không — cách tự kiểm tra này áp dụng cho mọi bài chia theo tỉ lệ, dù chia hai phần hay ba phần trở lên. Đề kiểm tra lớp 7 thường lồng kiểu chia tổng này vào bối cảnh chia thưởng, chia lợi nhuận, hay phân bổ công việc theo năng lực — luôn có một cụm từ như "theo tỉ lệ" hoặc "tỉ lệ với" đi kèm các số làm dấu hiệu nhận biết. Gặp cụm từ đó, em gọi ngay các phần cần tìm là những ẩn số, viết dãy tỉ số bằng nhau theo đúng thứ tự các số đã cho, rồi mới thay tổng đã biết vào để tìm tỉ số chung.

Hai kiểu bài toán trên thực chất chỉ là một ý tưởng nhìn theo hai cách: kiểu thứ nhất có đúng một hệ số $k$ ẩn sau công thức, còn kiểu thứ hai có $m+n+p$ phần bằng nhau ẩn sau tổng $S$. Vì vậy sau khi tính ra từng phần, em nên cộng lại để kiểm tra có đúng bằng $S$ hay không — cách tự kiểm tra này áp dụng cho mọi bài chia theo tỉ lệ, dù chia hai phần hay ba phần trở lên. Đề kiểm tra lớp 7 thường lồng kiểu chia tổng này vào bối cảnh chia thưởng, chia lợi nhuận, hay phân bổ công việc theo năng lực — luôn có một cụm từ như "theo tỉ lệ" hoặc "tỉ lệ với" đi kèm các số làm dấu hiệu nhận biết. Gặp cụm từ đó, em gọi ngay các phần cần tìm là những ẩn số, viết dãy tỉ số bằng nhau theo đúng thứ tự các số đã cho, rồi mới thay tổng đã biết vào để tìm tỉ số chung.

Đồ thị đi qua (2; 30) nên

k = 30 : 2 = 15

.Đồ thị đi qua (2; 30) nên $k = 30 : 2 = 15$.

180 : 240 : 300 rút gọn đúng bằng 3 : 4 : 5, và tổng ba cột bằng 720.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm giá trị còn thiếu từ một cặp giá trị đã biết

1
5kg gạo giá 90.000đ. Hỏi 8kg gạo cùng loại giá bao nhiêu?
2
Giá tiền $T$ tỉ lệ thuận với khối lượng $m$ , nên $k = \dfrac{90000}{5} = 18000$ (đồng/kg).
Giá tiền $T$ tỉ lệ thuận với khối lượng $m$, nên $k = \dfrac{90000}{5} = 18000$ (đồng/kg).
3
Với $m = 8$ : $T = 18000 \times 8 = 144000$ .
Với $m = 8$: $T = 18000 \times 8 = 144000$.
4
Vậy 8kg gạo cùng loại giá 144.000đ.

Ví dụ

Chia một tổng theo tỉ lệ thuận (dạng thi)

1
Một xưởng may chia 720 áo cho ba tổ theo năng suất tỉ lệ 3 : 4 : 5. Tính số áo mỗi tổ phải may.
2
Gọi số áo của ba tổ lần lượt là $a, b, c$ . Theo đề bài, $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}$ và $a + b + c = 720$ .
Gọi số áo của ba tổ lần lượt là $a, b, c$. Theo đề bài, $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5}$ và $a + b + c = 720$.
3
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5} = \dfrac{a+b+c}{3+4+5} = \dfrac{720}{12} = 60$ .
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, $\dfrac{a}{3} = \dfrac{b}{4} = \dfrac{c}{5} = \dfrac{a+b+c}{3+4+5} = \dfrac{720}{12} = 60$.
4
$a = 3 \times 60 = 180$ ; $b = 4 \times 60 = 240$ ; $c = 5 \times 60 = 300$ .
$a = 3 \times 60 = 180$; $b = 4 \times 60 = 240$; $c = 5 \times 60 = 300$.
5
Vậy tổ 1 may 180 áo, tổ 2 may 240 áo, tổ 3 may 300 áo (tổng đúng $180+240+300=720$ ).
Vậy tổ 1 may 180 áo, tổ 2 may 240 áo, tổ 3 may 300 áo (tổng đúng $180+240+300=720$).

Ví dụ

Đọc hệ số tỉ lệ từ đồ thị hàm số y = kx

1
Đồ thị của hàm số $y = kx$ đi qua điểm $(2; 30)$ . Tìm $k$ , rồi tính $y$ khi $x = 5$ .
Đồ thị của hàm số $y = kx$ đi qua điểm $(2; 30)$. Tìm $k$, rồi tính $y$ khi $x = 5$.
2
Vì đồ thị đi qua $(2; 30)$ nên $30 = k \times 2$ , suy ra $k = \dfrac{30}{2} = 15$ .
Vì đồ thị đi qua $(2; 30)$ nên $30 = k \times 2$, suy ra $k = \dfrac{30}{2} = 15$.
3
Với $k = 15$ : $y = 15 \times 5 = 75$ .
Với $k = 15$: $y = 15 \times 5 = 75$.
4
Vậy $k = 15$ và khi $x = 5$ thì $y = 75$ .
Vậy $k = 15$ và khi $x = 5$ thì $y = 75$.

Ví dụ

Bài toán năng suất — thời gian (dạng thi)

1
Một xưởng may, số áo may được tỉ lệ thuận với số giờ làm việc. Trong 3 giờ xưởng may được 45 áo. Hỏi trong 7 giờ xưởng may được bao nhiêu áo (giữ nguyên năng suất)?
2
Số áo mỗi giờ, tức hệ số tỉ lệ, là $k = \dfrac{45}{3} = 15$ (áo/giờ).
Số áo mỗi giờ, tức hệ số tỉ lệ, là $k = \dfrac{45}{3} = 15$ (áo/giờ).
3
Với 7 giờ: số áo $= 15 \times 7 = 105$ .
Với 7 giờ: số áo $= 15 \times 7 = 105$.
4
Vậy trong 7 giờ xưởng may được 105 áo.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Khi chia một tổng theo tỉ lệ thuận, nhiều bạn vội chia đều cho số phần thay vì chia theo đúng tỉ lệ đề cho — ví dụ chia 720 áo đều cho ba tổ mỗi tổ 240 áo, thay vì 180:240:300 theo đúng tỉ lệ 3:4:5. Một lỗi khác là quên đối chiếu tổng các phần vừa tìm có đúng bằng tổng ban đầu hay không; luôn cộng lại các phần để tự kiểm tra trước khi kết luận.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Bài toán tỉ lệ thuận cho một cặp giá trị: tìm $k$ rồi thay số, hoặc dùng tỉ lệ thức trực tiếp. Bài toán chia một tổng theo tỉ lệ thuận: đặt ẩn theo đúng tỉ lệ, dùng dãy tỉ số bằng nhau với tổng đã biết, rồi nhân ngược lại để ra từng phần — luôn cộng lại để kiểm tra.

Chương tiếp theo học một mẫu hình ngược lại: khi một đại lượng tăng thì đại lượng kia lại giảm theo đúng một quy luật, gọi là đại lượng tỉ lệ nghịch.