Bài học

Vận dụng góc đối đỉnh và kề bù trong hình vẽ phức hợp

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em đọc được một hình có từ ba đường thẳng trở lên cùng cắt tại một điểm, xâu chuỗi tính chất đối đỉnh và kề bù qua nhiều bước để tính hết các góc, kể cả khi phải lập phương trình từ một tỉ lệ cho trước.

Kiến thức cần nhớ trước

Bài này không thêm tính chất mới — em chỉ dùng lại hai điều đã học: hai góc đối đỉnh bằng nhau, và tổng các góc kề nhau tạo thành góc bẹt bằng $180°$ . Cái mới là hình vẽ phức tạp hơn, đòi hỏi chọn đúng thứ tự áp dụng.

Bài này không thêm tính chất mới — em chỉ dùng lại hai điều đã học: hai góc đối đỉnh bằng nhau, và tổng các góc kề nhau tạo thành góc bẹt bằng $180°$. Cái mới là hình vẽ phức tạp hơn, đòi hỏi chọn đúng thứ tự áp dụng.

Nhắc lại nhanh: hai góc ĐỐI ĐỈNH có mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia, và luôn bằng nhau. Hai góc KỀ BÙ có chung một cạnh, hai cạnh còn lại đối nhau, và luôn có tổng $180°$ . Hai tính chất này là toàn bộ "vốn liếng" em cần cho bài học hôm nay — không có gì mới, chỉ có hình vẽ phức tạp hơn.

Nhắc lại nhanh: hai góc ĐỐI ĐỈNH có mỗi cạnh của góc này là tia đối của một cạnh góc kia, và luôn bằng nhau. Hai góc KỀ BÙ có chung một cạnh, hai cạnh còn lại đối nhau, và luôn có tổng $180°$. Hai tính chất này là toàn bộ "vốn liếng" em cần cho bài học hôm nay — không có gì mới, chỉ có hình vẽ phức tạp hơn.

Ở một sân trường có ba lối đi thẳng cùng gặp nhau tại đúng một cột cờ. Nhìn từ trên xuống, sáu lối rẽ tỏa ra từ cột cờ chia sân thành sáu hình quạt. Chỉ cần biết số đo hai góc quạt liền kề, em có tính được cả sáu góc quạt còn lại không — mà không cần đo thêm góc nào nữa?

Đọc hình nhiều đường thẳng đồng quy

Khi ba đường thẳng cùng đi qua một điểm $O$ , chúng tạo ra sáu tia và sáu góc liên tiếp quanh $O$ . Vì mỗi đường thẳng là một cặp tia đối nhau, ba góc liên tiếp nằm về một phía của một đường thẳng luôn cộng lại thành một góc bẹt $180°$ — đây chính là tính chất kề bù mở rộng cho ba góc thay vì hai. Ba góc còn lại (phía bên kia) là ba góc đối đỉnh tương ứng với ba góc đầu, nên bằng nhau từng đôi một.

Khi ba đường thẳng cùng đi qua một điểm $O$, chúng tạo ra sáu tia và sáu góc liên tiếp quanh $O$. Vì mỗi đường thẳng là một cặp tia đối nhau, ba góc liên tiếp nằm về một phía của một đường thẳng luôn cộng lại thành một góc bẹt $180°$ — đây chính là tính chất kề bù mở rộng cho ba góc thay vì hai. Ba góc còn lại (phía bên kia) là ba góc đối đỉnh tương ứng với ba góc đầu, nên bằng nhau từng đôi một.

Sự khác biệt duy nhất so với hai bài trước là SỐ LƯỢNG đường thẳng, không phải bản chất bài toán. Với hai đường thẳng (Chương 1, 2), bốn góc quanh điểm giao chia thành hai cặp đối đỉnh, và mỗi góc kề bù với đúng một góc khác. Với ba đường thẳng, sáu góc chia thành ba cặp đối đỉnh, và mỗi góc kề với hai góc lân cận thay vì một. Nắm được quy luật này, em có thể áp dụng cho bốn, năm đường thẳng bất kỳ mà không cần học thêm công thức nào mới — chỉ cần đếm đúng số góc kề liên tiếp về một phía trước khi cộng.

Chiến lược đọc hình phức hợp

Đừng cố nhìn ra đáp số ngay. Hãy làm theo thứ tự: (1) liệt kê các cặp tia đối nhau (tức các đường thẳng có trong hình); (2) dùng tổng các góc kề bằng $180°$ để tìm góc còn thiếu trên một phía; (3) dùng đối đỉnh để "sao chép" các góc đã có sang phía bên kia.

Vì sao ba góc kề liên tiếp về một phía lại cộng đúng $180°$ , chứ không phải tổng của TỪNG CẶP hai góc kề bù riêng lẻ? Vì cả ba góc cùng "trải" trên đúng một góc bẹt, giống hệt trường hợp hai góc kề bù ở Chương 2 — chỉ khác là góc bẹt đó bị chia làm ba phần thay vì hai. Nếu có bốn, năm, hay bất kỳ số lượng đường thẳng nào cùng đi qua một điểm, quy luật vẫn giữ nguyên: mọi góc liên tiếp nằm về một phía của MỘT đường thẳng bất kỳ trong số đó luôn cộng lại đúng $180°$ , vì chúng luôn "trải" trên đúng một góc bẹt do đường thẳng ấy tạo ra.

Vì sao ba góc kề liên tiếp về một phía lại cộng đúng $180°$, chứ không phải tổng của TỪNG CẶP hai góc kề bù riêng lẻ? Vì cả ba góc cùng "trải" trên đúng một góc bẹt, giống hệt trường hợp hai góc kề bù ở Chương 2 — chỉ khác là góc bẹt đó bị chia làm ba phần thay vì hai. Nếu có bốn, năm, hay bất kỳ số lượng đường thẳng nào cùng đi qua một điểm, quy luật vẫn giữ nguyên: mọi góc liên tiếp nằm về một phía của MỘT đường thẳng bất kỳ trong số đó luôn cộng lại đúng $180°$, vì chúng luôn "trải" trên đúng một góc bẹt do đường thẳng ấy tạo ra.

Lời giải có hình

Ba đường thẳng AA', BB', CC' cùng đi qua O

Bước 1

Ba đường thẳng $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ cùng đi qua $O$ . Biết $\widehat{AOB} = 42°$ , $\widehat{BOC} = 118°$ .Ba đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ cùng đi qua $O$. Biết $\widehat{AOB} = 42°$, $\widehat{BOC} = 118°$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính đủ sáu góc quanh điểm đồng quy

1
Ba đường thẳng $AA'$ , $BB'$ , $CC'$ cùng đi qua $O$ , các tia sắp xếp theo đúng thứ tự $A, B, C, A', B', C'$ quanh $O$ . Biết $\widehat{AOB} = 42°$ , $\widehat{BOC} = 118°$ . Tính bốn góc còn lại.
Ba đường thẳng $AA'$, $BB'$, $CC'$ cùng đi qua $O$, các tia sắp xếp theo đúng thứ tự $A, B, C, A', B', C'$ quanh $O$. Biết $\widehat{AOB} = 42°$, $\widehat{BOC} = 118°$. Tính bốn góc còn lại.
2
$A$ , $O$ , $A'$ thẳng hàng nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COA'} = 180°$ .
$A$, $O$, $A'$ thẳng hàng nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COA'} = 180°$.
3
Vì $A$ , $O$ , $A'$ thẳng hàng nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COA'} = 180°$ (góc bẹt). (1)

Từ (1): $42° + 118° + \widehat{COA'} = 180° \Rightarrow \widehat{COA'} = 20°$ . (2)

Dùng đối đỉnh: $\widehat{A'OB'}$ đối đỉnh $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{A'OB'} = 42°$ ; $\widehat{B'OC'}$ đối đỉnh $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{B'OC'} = 118°$ ; $\widehat{C'OA}$ đối đỉnh $\widehat{COA'}$ [theo (2)] nên $\widehat{C'OA} = 20°$ .

Vậy sáu góc quanh $O$ theo thứ tự là $42°, 118°, 20°, 42°, 118°, 20°$ .
Vì $A$, $O$, $A'$ thẳng hàng nên $\widehat{AOB} + \widehat{BOC} + \widehat{COA'} = 180°$ (góc bẹt). (1) Từ (1): $42° + 118° + \widehat{COA'} = 180° \Rightarrow \widehat{COA'} = 20°$. (2) Dùng đối đỉnh: $\widehat{A'OB'}$ đối đỉnh $\widehat{AOB}$ nên $\widehat{A'OB'} = 42°$; $\widehat{B'OC'}$ đối đỉnh $\widehat{BOC}$ nên $\widehat{B'OC'} = 118°$; $\widehat{C'OA}$ đối đỉnh $\widehat{COA'}$ [theo (2)] nên $\widehat{C'OA} = 20°$. Vậy sáu góc quanh $O$ theo thứ tự là $42°, 118°, 20°, 42°, 118°, 20°$.
4
Cộng cả sáu góc: $42+118+20+42+118+20=360°$ — đúng bằng tổng số đo quanh một điểm, xác nhận không bỏ sót hay tính trùng góc nào.
Cộng cả sáu góc: $42+118+20+42+118+20=360°$ — đúng bằng tổng số đo quanh một điểm, xác nhận không bỏ sót hay tính trùng góc nào.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Ba góc kề chia theo tỉ lệ

1
Ba đường thẳng cùng đi qua $O$ tạo ba góc kề liên tiếp về một phía có số đo tỉ lệ $2:3:4$ . Tính số đo mỗi góc.
Ba đường thẳng cùng đi qua $O$ tạo ba góc kề liên tiếp về một phía có số đo tỉ lệ $2:3:4$. Tính số đo mỗi góc.
2
Gọi ba góc là $2k°$ , $3k°$ , $4k°$ với $k > 0$ .
Gọi ba góc là $2k°$, $3k°$, $4k°$ với $k > 0$.
3
Gọi ba góc kề liên tiếp là $2k°$ , $3k°$ , $4k°$ ( $k > 0$ ), theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau áp dụng cho ba góc tỉ lệ $2:3:4$ . (1)

Ba góc này về một phía của một đường thẳng nên tổng bằng $180°$ : $2k + 3k + 4k = 180 \Rightarrow 9k = 180 \Rightarrow k = 20$ . (2)

Thay (2): ba góc lần lượt là $40°$ , $60°$ , $80°$ . Kiểm tra: $40 + 60 + 80 = 180$ (TMĐK).

Vậy ba góc kề liên tiếp lần lượt bằng $40°$ , $60°$ , $80°$ .
Gọi ba góc kề liên tiếp là $2k°$, $3k°$, $4k°$ ($k > 0$), theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau áp dụng cho ba góc tỉ lệ $2:3:4$. (1) Ba góc này về một phía của một đường thẳng nên tổng bằng $180°$: $2k + 3k + 4k = 180 \Rightarrow 9k = 180 \Rightarrow k = 20$. (2) Thay (2): ba góc lần lượt là $40°$, $60°$, $80°$. Kiểm tra: $40 + 60 + 80 = 180$ (TMĐK). Vậy ba góc kề liên tiếp lần lượt bằng $40°$, $60°$, $80°$.
4
Ví dụ 1 cho trực tiếp hai góc bằng số, Ví dụ 2 cho gián tiếp qua tỉ lệ — nhưng cả hai đều quy về cùng một phương trình nền: tổng ba góc kề liên tiếp bằng $180°$ . Nhận ra được "khung" chung này giúp em không bị rối khi đề đổi cách cho dữ kiện.
Ví dụ 1 cho trực tiếp hai góc bằng số, Ví dụ 2 cho gián tiếp qua tỉ lệ — nhưng cả hai đều quy về cùng một phương trình nền: tổng ba góc kề liên tiếp bằng $180°$. Nhận ra được "khung" chung này giúp em không bị rối khi đề đổi cách cho dữ kiện.

Sai lầm thường gặp

Lỗi phổ biến nhất là chỉ tính được ba góc rồi dừng lại, quên "sao chép" bằng đối đỉnh sang ba góc phía đối diện — hoặc cộng nhầm hai góc không liền kề (bỏ qua góc ở giữa) khi lập tổng $180°$ . Luôn đếm đủ số góc liền kề nằm về đúng một phía trước khi cộng.

Lỗi phổ biến nhất là chỉ tính được ba góc rồi dừng lại, quên "sao chép" bằng đối đỉnh sang ba góc phía đối diện — hoặc cộng nhầm hai góc không liền kề (bỏ qua góc ở giữa) khi lập tổng $180°$. Luôn đếm đủ số góc liền kề nằm về đúng một phía trước khi cộng.

Một cách tự kiểm tra đáng tin cậy cho dạng bài này: sau khi tính xong toàn bộ các góc quanh $O$ , cộng tất cả lại — tổng phải đúng $360°$ (hoặc $180°$ nếu đề chỉ hỏi một phía). Nếu tổng lệch đi, chắc chắn có một góc bị tính sai hoặc bị bỏ sót, và em nên rà lại từng bước thay vì nộp bài với kết quả chưa kiểm chứng.

Một cách tự kiểm tra đáng tin cậy cho dạng bài này: sau khi tính xong toàn bộ các góc quanh $O$, cộng tất cả lại — tổng phải đúng $360°$ (hoặc $180°$ nếu đề chỉ hỏi một phía). Nếu tổng lệch đi, chắc chắn có một góc bị tính sai hoặc bị bỏ sót, và em nên rà lại từng bước thay vì nộp bài với kết quả chưa kiểm chứng.

Dùng được cho bất kỳ số lượng đường thẳng đồng quy nào, không chỉ ba đường.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình nhiều đường thẳng đồng quy không cần công thức mới: chỉ cần đếm đúng góc nào kề với góc nào, rồi lặp lại đối đỉnh và kề bù đã học ở hai bài trước — làm đúng thứ tự là xong.

Đến đây em đã có trọn bộ công cụ cho MỘT điểm giao. Ba bài tiếp theo bước sang tình huống mới: một cát tuyến cắt HAI đường thẳng khác nhau — nơi câu hỏi không còn là "tính góc" một mình, mà là "hai đường thẳng này có song song không". Đối đỉnh và kề bù không biến mất — chúng vẫn xuất hiện tại từng điểm giao, chỉ có thêm một câu hỏi mới đặt lên trên.