Phần

Hiệu hai bình phương và mẹo tính nhanh

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em tự chứng minh được $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ bằng cách nhân đa thức, và dùng công thức này để tính nhanh, để rút gọn biểu thức đại số.

Kiến thức cần có

Kỹ năng nhân đa thức với đa thức đã ôn ở bài trước, cùng công thức $(a+b)^2$ , $(a-b)^2$ vừa chứng minh.

Kỹ năng nhân đa thức với đa thức đã ôn ở bài trước, cùng công thức $(a+b)^2$, $(a-b)^2$ vừa chứng minh.

Khởi động

Tính $99\times101$ mà không nhân trực tiếp hai số có ba chữ số gần nhau. Gợi ý: $99=100-1$ và $101=100+1$ — hai số này có gì đặc biệt so với $100$ ?

Tính $99\times101$ mà không nhân trực tiếp hai số có ba chữ số gần nhau. Gợi ý: $99=100-1$ và $101=100+1$ — hai số này có gì đặc biệt so với $100$?

So với chương trình chuẩn lớp 7

Giống bài trước, phép nhân $(a+b)(a-b)$ tự nó vẫn là kỹ năng nhân đa thức lớp 7, chỉ khác ở chỗ hai đa thức đối nhau một dấu. Việc đặt tên kết quả thành hằng đẳng thức, ghi nhớ và tái sử dụng cho hàng loạt bài tính nhanh, rút gọn, là nội dung chính thức của lớp 8.

Mở rộng dành cho HSG

Hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ là nội dung chính thức của Lớp 8, không nằm trong yêu cầu cần đạt chuẩn của Lớp 7. Tiền đề: kỹ năng nhân đa thức (Lớp 7) và công thức bình phương một tổng, một hiệu (bài trước trong khoá này).

Ý tưởng chính

Nhân trực tiếp $(a+b)(a-b)$ theo đúng quy tắc nhân đa thức: $(a+b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-ab+ab-b^2$ . Khác với trường hợp $(a+b)^2$ , ở đây hai số hạng $-ab$ và $+ab$ không cộng dồn mà triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn $a^2-b^2$ . Đây chính là điểm khác biệt cốt lõi giữa bình phương một tổng và tích của một tổng với một hiệu: một bên nhân đôi số hạng giữa, một bên xoá sạch nó.

Nhân trực tiếp $(a+b)(a-b)$ theo đúng quy tắc nhân đa thức: $(a+b)(a-b)=a\cdot a-a\cdot b+b\cdot a-b\cdot b=a^2-ab+ab-b^2$. Khác với trường hợp $(a+b)^2$, ở đây hai số hạng $-ab$ và $+ab$ không cộng dồn mà triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn $a^2-b^2$. Đây chính là điểm khác biệt cốt lõi giữa bình phương một tổng và tích của một tổng với một hiệu: một bên nhân đôi số hạng giữa, một bên xoá sạch nó.

Với

a=5, b=2

: hình vuông cạnh

5

(diện tích

25

) bớt đi hình vuông cạnh

2

(diện tích

4

) còn lại một hình chữ L. Cắt và ghép hình chữ L đó thành đúng một hình chữ nhật

7\times3=21

ô — tức

(5+2)(5-2)=21=5^2-2^2

.Với $a=5, b=2$: hình vuông cạnh $5$ (diện tích $25$) bớt đi hình vuông cạnh $2$ (diện tích $4$) còn lại một hình chữ L. Cắt và ghép hình chữ L đó thành đúng một hình chữ nhật $7\times3=21$ ô — tức $(5+2)(5-2)=21=5^2-2^2$.

Ví dụ mẫu

Ví dụ

Ví dụ 1 — chứng minh công thức bằng cách nhân đa thức

1
Chứng minh $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ với $a, b$ là hai số bất kỳ, bằng cách nhân đa thức.
Chứng minh $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ với $a, b$ là hai số bất kỳ, bằng cách nhân đa thức.
2
$(a+b)(a-b)$ trông giống $(a+b)^2$ ở chỗ đều là tích của hai đa thức hai hạng tử chứa $a, b$ , nhưng dấu của hạng tử thứ hai khác nhau giữa hai đa thức — nếu áp dụng máy móc công thức bình phương một tổng, em sẽ ra kết quả sai.
$(a+b)(a-b)$ trông giống $(a+b)^2$ ở chỗ đều là tích của hai đa thức hai hạng tử chứa $a, b$, nhưng dấu của hạng tử thứ hai khác nhau giữa hai đa thức — nếu áp dụng máy móc công thức bình phương một tổng, em sẽ ra kết quả sai.
3
Nhân đa thức như bình thường: nhân $a$ với từng hạng tử của $(a-b)$ , nhân $b$ với từng hạng tử của $(a-b)$ , cộng gộp, rồi quan sát hai số hạng chứa $ab$ .
Nhân đa thức như bình thường: nhân $a$ với từng hạng tử của $(a-b)$, nhân $b$ với từng hạng tử của $(a-b)$, cộng gộp, rồi quan sát hai số hạng chứa $ab$.
4
Ta có $(a+b)(a-b)=a\cdot a+a\cdot(-b)+b\cdot a+b\cdot(-b)=a^2-ab+ab-b^2$ . Vì $-ab$ và $ab$ là hai đơn thức đồng dạng nhưng trái dấu, chúng triệt tiêu lẫn nhau: $-ab+ab=0$ . Suy ra $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ . Vậy $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ .
Ta có $(a+b)(a-b)=a\cdot a+a\cdot(-b)+b\cdot a+b\cdot(-b)=a^2-ab+ab-b^2$. Vì $-ab$ và $ab$ là hai đơn thức đồng dạng nhưng trái dấu, chúng triệt tiêu lẫn nhau: $-ab+ab=0$. Suy ra $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. Vậy $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$.
5
Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu hai số đó — khác hẳn bình phương một tổng/hiệu, ở đây KHÔNG có hạng tử $2ab$ trong kết quả.
Hiệu hai bình phương bằng tích của tổng và hiệu hai số đó — khác hẳn bình phương một tổng/hiệu, ở đây KHÔNG có hạng tử $2ab$ trong kết quả.
6
Đổi thứ tự thành $(a-b)(a+b)$ cho đúng kết quả $a^2-b^2$ vì phép nhân có tính giao hoán — thứ tự viết hai nhân tử không ảnh hưởng.
Đổi thứ tự thành $(a-b)(a+b)$ cho đúng kết quả $a^2-b^2$ vì phép nhân có tính giao hoán — thứ tự viết hai nhân tử không ảnh hưởng.

Ví dụ

Ví dụ 2 — mẹo tính nhanh phép nhân hai số gần nhau

1
Tính $99\times101$ mà không nhân trực tiếp hai số có ba chữ số.
Tính $99\times101$ mà không nhân trực tiếp hai số có ba chữ số.
2
Phải tự nhận ra $99$ và $101$ đều cách $100$ đúng một đơn vị, tức là dạng $(100-1)(100+1)$ , để đưa về hiệu hai bình phương thay vì nhân tay.
Phải tự nhận ra $99$ và $101$ đều cách $100$ đúng một đơn vị, tức là dạng $(100-1)(100+1)$, để đưa về hiệu hai bình phương thay vì nhân tay.
3
Viết $99=100-1$ , $101=100+1$ , áp dụng $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ theo chiều ngược với $a=100, b=1$ .
Viết $99=100-1$, $101=100+1$, áp dụng $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ theo chiều ngược với $a=100, b=1$.
4
Ta có $99=100-1$ và $101=100+1$ . Theo hằng đẳng thức $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ đã chứng minh ở Ví dụ 1, với $a=100, b=1$ : $99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$ . Vậy $99\times101=9999$ .
Ta có $99=100-1$ và $101=100+1$. Theo hằng đẳng thức $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ đã chứng minh ở Ví dụ 1, với $a=100, b=1$: $99\times101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$. Vậy $99\times101=9999$.
5
Khi hai thừa số cách đều một số tròn chục hay tròn trăm, đưa về dạng $(a+b)(a-b)$ để tính bằng một phép trừ hai bình phương thay vì nhân trực tiếp.
Khi hai thừa số cách đều một số tròn chục hay tròn trăm, đưa về dạng $(a+b)(a-b)$ để tính bằng một phép trừ hai bình phương thay vì nhân trực tiếp.
6
Tính $998\times1002$ bằng cùng mẹo với $998=1000-2, 1002=1000+2$ : $1000^2-2^2=1000000-4=999996$ .
Tính $998\times1002$ bằng cùng mẹo với $998=1000-2, 1002=1000+2$: $1000^2-2^2=1000000-4=999996$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — hiệu của hai hiệu bình phương triệt tiêu biến

1
Rút gọn $N=(x+3)(x-3)-(x-5)(x+5)$ và nhận xét về kết quả.
Rút gọn $N=(x+3)(x-3)-(x-5)(x+5)$ và nhận xét về kết quả.
2
Nhìn qua, $N$ có vẻ phụ thuộc $x$ vì cả hai tích đều chứa $x$ . Nhưng sau khi áp dụng đúng công thức và rút gọn, phần chứa $x$ biến mất hoàn toàn — điều này học sinh phải tự phát hiện bằng cách rút gọn cẩn thận, không phải đoán.
Nhìn qua, $N$ có vẻ phụ thuộc $x$ vì cả hai tích đều chứa $x$. Nhưng sau khi áp dụng đúng công thức và rút gọn, phần chứa $x$ biến mất hoàn toàn — điều này học sinh phải tự phát hiện bằng cách rút gọn cẩn thận, không phải đoán.
3
Áp dụng $a^2-b^2$ cho từng tích riêng biệt, rồi trừ hai kết quả và gộp các hạng tử đồng dạng.
Áp dụng $a^2-b^2$ cho từng tích riêng biệt, rồi trừ hai kết quả và gộp các hạng tử đồng dạng.
4
Theo hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ : $(x+3)(x-3)=x^2-9$ . (1) Tương tự, $(x-5)(x+5)=(x+5)(x-5)=x^2-25$ . (2) Từ (1) và (2): $N=(x^2-9)-(x^2-25)=x^2-9-x^2+25=16$ . Vậy $N=16$ với mọi giá trị của $x$ — kết quả là một hằng số, không phụ thuộc $x$ .
Theo hằng đẳng thức $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$: $(x+3)(x-3)=x^2-9$. (1) Tương tự, $(x-5)(x+5)=(x+5)(x-5)=x^2-25$. (2) Từ (1) và (2): $N=(x^2-9)-(x^2-25)=x^2-9-x^2+25=16$. Vậy $N=16$ với mọi giá trị của $x$ — kết quả là một hằng số, không phụ thuộc $x$.
5
Khi hai tích cùng dạng $(x+m)(x-m)$ xuất hiện trong một hiệu, phần $x^2$ luôn triệt tiêu, kết quả chỉ còn hiệu của hai hằng số — cẩn thận lấy đúng thứ tự $(-9)-(-25)=16$ , không phải $(-9)-25$ .
Khi hai tích cùng dạng $(x+m)(x-m)$ xuất hiện trong một hiệu, phần $x^2$ luôn triệt tiêu, kết quả chỉ còn hiệu của hai hằng số — cẩn thận lấy đúng thứ tự $(-9)-(-25)=16$, không phải $(-9)-25$.
6
Nếu đổi phép trừ thành cộng, $N'=(x+3)(x-3)+(x-5)(x+5)$ , thì $N'=(x^2-9)+(x^2-25)=2x^2-34$ — lúc này phần $x^2$ không triệt tiêu, kết quả vẫn phụ thuộc $x$ . Chỉ khi TRỪ hai hiệu bình phương dạng đối xứng mới có hiện tượng triệt tiêu biến.
Nếu đổi phép trừ thành cộng, $N'=(x+3)(x-3)+(x-5)(x+5)$, thì $N'=(x^2-9)+(x^2-25)=2x^2-34$ — lúc này phần $x^2$ không triệt tiêu, kết quả vẫn phụ thuộc $x$. Chỉ khi TRỪ hai hiệu bình phương dạng đối xứng mới có hiện tượng triệt tiêu biến.

Sai lầm thường gặp

Nhầm $(a+b)(a-b)$ với $(a+b)^2$ , tưởng kết quả có thêm hạng tử $2ab$ . Quên đổi dấu hằng số khi tính hiệu của hai hiệu bình phương, ví dụ viết $(-9)-25$ thay vì $(-9)-(-25)$ . Áp dụng công thức khi hai đa thức không thực sự đối nhau, chẳng hạn $(x+3)(x-4)$ không phải hiệu hai bình phương.

Nhầm $(a+b)(a-b)$ với $(a+b)^2$, tưởng kết quả có thêm hạng tử $2ab$. Quên đổi dấu hằng số khi tính hiệu của hai hiệu bình phương, ví dụ viết $(-9)-25$ thay vì $(-9)-(-25)$. Áp dụng công thức khi hai đa thức không thực sự đối nhau, chẳng hạn $(x+3)(x-4)$ không phải hiệu hai bình phương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tóm lại: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ là công cụ tính nhẩm mạnh cho những phép nhân trông rắc rối nhưng thực chất là hai số cách đều một mốc tròn. Khi thấy một hiệu chứa hai tích dạng $(x+m)(x-m)$ , luôn thử rút gọn trước khi kết luận biểu thức phụ thuộc biến.

Tóm lại: $a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ là công cụ tính nhẩm mạnh cho những phép nhân trông rắc rối nhưng thực chất là hai số cách đều một mốc tròn. Khi thấy một hiệu chứa hai tích dạng $(x+m)(x-m)$, luôn thử rút gọn trước khi kết luận biểu thức phụ thuộc biến.

Bài tiếp theo mở rộng đúng lối suy luận này — không dừng ở hai biến $a, b$ mà nhân đa thức với ba biến $x, y, z$ , để tìm ra hằng đẳng thức bình phương của một tổng ba số hạng.

Bài tiếp theo mở rộng đúng lối suy luận này — không dừng ở hai biến $a, b$ mà nhân đa thức với ba biến $x, y, z$, để tìm ra hằng đẳng thức bình phương của một tổng ba số hạng.