Phần

Đối xứng tâm qua một đỉnh — tạo tam giác bằng nhau ẩn

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em dùng được phép đối xứng qua một đỉnh để tạo ra một tam giác bằng tam giác đã cho — từ đó suy ra một cặp cạnh bằng nhau, một cặp cạnh song song, và một quan hệ thẳng hàng — chỉ từ MỘT phép dựng điểm duy nhất.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững trường hợp c-g-c, tính chất hai góc đối đỉnh, và dấu hiệu song song bằng góc so le trong — vừa ôn lại ở bài trước.

Bài chuẩn so với bài HSG

Bài trước, giao điểm $O$ đã có sẵn trong đề. Bài này, không có điểm chung nào cho trước cả — ta phải TỰ DỰNG hai điểm mới ( $D$ , $E$ ) rồi mới có tam giác để so sánh. Đây là bước đầu tiên của kỹ thuật "vẽ đường phụ": khi hình chưa có sẵn cặp tam giác cần thiết, ta tạo ra nó.

Bài trước, giao điểm $O$ đã có sẵn trong đề. Bài này, không có điểm chung nào cho trước cả — ta phải TỰ DỰNG hai điểm mới ($D$, $E$) rồi mới có tam giác để so sánh. Đây là bước đầu tiên của kỹ thuật "vẽ đường phụ": khi hình chưa có sẵn cặp tam giác cần thiết, ta tạo ra nó.

Bài toán mở đầu. Cho tam giác $ABC$ . Trên tia đối của tia $AB$ , lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$ . Trên tia đối của tia $AC$ , lấy điểm $E$ sao cho $AE = AC$ . Chứng minh $DE = BC$ .

$D$ chính là điểm đối xứng của $B$ qua $A$ ; $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$ . Không có tam giác nào sẵn chứa cả $DE$ và $BC$ — ta phải chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau chứa chúng.

**Bài toán mở đầu.** Cho tam giác $ABC$. Trên tia đối của tia $AB$, lấy điểm $D$ sao cho $AD = AB$. Trên tia đối của tia $AC$, lấy điểm $E$ sao cho $AE = AC$. Chứng minh $DE = BC$. $D$ chính là điểm đối xứng của $B$ qua $A$; $E$ là điểm đối xứng của $C$ qua $A$. Không có tam giác nào sẵn chứa cả $DE$ và $BC$ — ta phải chỉ ra một cặp tam giác bằng nhau chứa chúng.

Ý tưởng mấu chốt

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ : $AD = AB$ (theo cách dựng), $AE = AC$ (theo cách dựng), còn góc xen giữa là $\widehat{DAE}$ và $\widehat{BAC}$ — hai góc này đối đỉnh (vì $D$ trên tia đối $AB$ , $E$ trên tia đối $AC$ ) nên bằng nhau. Đủ ba yếu tố c-g-c ngay lập tức, dù $D$ , $E$ là hai điểm hoàn toàn mới do chính ta dựng ra.

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$: $AD = AB$ (theo cách dựng), $AE = AC$ (theo cách dựng), còn góc xen giữa là $\widehat{DAE}$ và $\widehat{BAC}$ — hai góc này đối đỉnh (vì $D$ trên tia đối $AB$, $E$ trên tia đối $AC$) nên bằng nhau. Đủ ba yếu tố c-g-c ngay lập tức, dù $D$, $E$ là hai điểm hoàn toàn mới do chính ta dựng ra.

Vì sao "đối xứng qua một đỉnh" là ý tưởng tự nhiên ở đây? Vì đề bài yêu cầu tạo ra một đoạn MỚI ( $DE$ ) bằng đúng $BC$ — cách chắc chắn nhất để giữ nguyên độ dài và chỉ đổi hướng là quay hình ban đầu $180^\circ$ quanh một điểm cố định, ở đây là $A$ . Phép quay $180^\circ$ quanh $A$ biến $B$ thành $D$ , $C$ thành $E$ , và biến cả tam giác $ABC$ thành tam giác $ADE$ — nên hai tam giác đó luôn bằng nhau, không phải trùng hợp.

Vì sao "đối xứng qua một đỉnh" là ý tưởng tự nhiên ở đây? Vì đề bài yêu cầu tạo ra một đoạn MỚI ($DE$) bằng đúng $BC$ — cách chắc chắn nhất để giữ nguyên độ dài và chỉ đổi hướng là quay hình ban đầu $180^\circ$ quanh một điểm cố định, ở đây là $A$. Phép quay $180^\circ$ quanh $A$ biến $B$ thành $D$, $C$ thành $E$, và biến cả tam giác $ABC$ thành tam giác $ADE$ — nên hai tam giác đó luôn bằng nhau, không phải trùng hợp.

Lời giải có hình

Đối xứng tâm A: D, E là ảnh của B, C

Bước 1

Cho tam giác $ABC$ .Cho tam giác $ABC$.

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học

DE=BC\approx9{,}06

.Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học $DE=BC\approx9{,}06$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chứng minh DE = BC

1
Với hình trên, chứng minh $DE = BC$ .
Với hình trên, chứng minh $DE = BC$.
2
$DE$ nằm trong $\triangle ADE$ (tam giác mới dựng), $BC$ nằm trong $\triangle ABC$ (tam giác gốc).
$DE$ nằm trong $\triangle ADE$ (tam giác mới dựng), $BC$ nằm trong $\triangle ABC$ (tam giác gốc).
3
$AD=AB$ , $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (đối đỉnh), $AE=AC$ $\Rightarrow \triangle ADE=\triangle ABC$ .
$AD=AB$, $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (đối đỉnh), $AE=AC$ $\Rightarrow \triangle ADE=\triangle ABC$.
4
Suy ra $DE=BC$ — hai cạnh tương ứng.
Suy ra $DE=BC$ — hai cạnh tương ứng.
5
Ta có $D$ thuộc tia đối tia $AB$ với $AD=AB$ , và $E$ thuộc tia đối tia $AC$ với $AE=AC$ (giả thiết). (1)

Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$ : $AD=AB$ [theo (1)], $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh, vì $D,A,B$ thẳng hàng và $E,A,C$ thẳng hàng), $AE=AC$ [theo (1)]. Do đó $\triangle ADE=\triangle ABC$ (c-g-c). (2)

Từ (2) suy ra $DE=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Vậy $DE=BC$ .
Ta có $D$ thuộc tia đối tia $AB$ với $AD=AB$, và $E$ thuộc tia đối tia $AC$ với $AE=AC$ (giả thiết). (1) Xét $\triangle ADE$ và $\triangle ABC$: $AD=AB$ [theo (1)], $\widehat{DAE}=\widehat{BAC}$ (hai góc đối đỉnh, vì $D,A,B$ thẳng hàng và $E,A,C$ thẳng hàng), $AE=AC$ [theo (1)]. Do đó $\triangle ADE=\triangle ABC$ (c-g-c). (2) Từ (2) suy ra $DE=BC$ (hai cạnh tương ứng). Vậy $DE=BC$.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chứng minh DE ∥ BC

1
Từ $\triangle ADE=\triangle ABC$ còn suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ .
Từ $\triangle ADE=\triangle ABC$ còn suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$.
2
$\widehat{ADE}$ (tại $D$ ) và $\widehat{ABC}$ (tại $B$ ) là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $BD$ đối với hai đường thẳng $DE$ và $BC$ — vì $D$ , $A$ , $B$ thẳng hàng nên $BD$ chính là đường thẳng $AB$ kéo dài.
$\widehat{ADE}$ (tại $D$) và $\widehat{ABC}$ (tại $B$) là hai góc so le trong tạo bởi cát tuyến $BD$ đối với hai đường thẳng $DE$ và $BC$ — vì $D$, $A$, $B$ thẳng hàng nên $BD$ chính là đường thẳng $AB$ kéo dài.
3
Hai góc so le trong bằng nhau $\Rightarrow DE \parallel BC$ .
Hai góc so le trong bằng nhau $\Rightarrow DE \parallel BC$.
4
Từ $\triangle ADE=\triangle ABC$ (Ví dụ 1) suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$ . (1)

Vì $D,A,B$ thẳng hàng nên đường thẳng $BD$ chính là đường thẳng $AB$ ; $\widehat{ADE}$ và $\widehat{ABC}$ ở (1) là hai góc so le trong của cát tuyến $BD$ đối với hai đường thẳng $DE$ , $BC$ .

Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (so le trong bằng nhau), $DE \parallel BC$ .

Vậy $DE \parallel BC$ .
Từ $\triangle ADE=\triangle ABC$ (Ví dụ 1) suy ra $\widehat{ADE}=\widehat{ABC}$. (1) Vì $D,A,B$ thẳng hàng nên đường thẳng $BD$ chính là đường thẳng $AB$; $\widehat{ADE}$ và $\widehat{ABC}$ ở (1) là hai góc so le trong của cát tuyến $BD$ đối với hai đường thẳng $DE$, $BC$. Theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song (so le trong bằng nhau), $DE \parallel BC$. Vậy $DE \parallel BC$.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Mở rộng: trung điểm của DE, BC và điểm A thẳng hàng

1
Gọi $K$ là trung điểm $BC$ , $I$ là trung điểm $DE$ . Ba điểm $A$ , $K$ , $I$ có thẳng hàng không?
Gọi $K$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $DE$. Ba điểm $A$, $K$, $I$ có thẳng hàng không?
2
$\triangle ADE=\triangle ABC$ nghĩa là cả tam giác $ADE$ là ảnh của cả tam giác $ABC$ qua phép đối xứng tâm $A$ — vậy MỌI điểm tương ứng đều đối xứng nhau qua $A$ , kể cả trung điểm của một cạnh.
$\triangle ADE=\triangle ABC$ nghĩa là cả tam giác $ADE$ là ảnh của cả tam giác $ABC$ qua phép đối xứng tâm $A$ — vậy MỌI điểm tương ứng đều đối xứng nhau qua $A$, kể cả trung điểm của một cạnh.
3
$I$ (trung điểm $DE$ ) chính là ảnh của $K$ (trung điểm $BC$ ) qua phép đối xứng tâm $A$ , tức $A$ là trung điểm của $KI$ — do đó $A$ , $K$ , $I$ thẳng hàng và $AK = AI$ .
$I$ (trung điểm $DE$) chính là ảnh của $K$ (trung điểm $BC$) qua phép đối xứng tâm $A$, tức $A$ là trung điểm của $KI$ — do đó $A$, $K$, $I$ thẳng hàng và $AK = AI$.
4
Vì $\triangle ADE = \triangle ABC$ với $D,E$ tương ứng là ảnh của $B,C$ qua phép đối xứng tâm $A$ (đã dựng), nên $A$ là trung điểm của mỗi cặp điểm tương ứng $BD$ và $CE$ . (1)

Gọi $K$ là trung điểm $BC$ , $I$ là trung điểm $DE$ . Vì $D$ là ảnh của $B$ , $E$ là ảnh của $C$ qua tâm $A$ , và phép đối xứng tâm biến đoạn thẳng $BC$ thành đoạn thẳng $DE$ , nên nó cũng biến trung điểm $K$ của $BC$ thành trung điểm $I$ của $DE$ : $I$ là ảnh của $K$ qua tâm $A$ . (2)

Từ (2) suy ra $A$ là trung điểm $KI$ , tức $A$ , $K$ , $I$ thẳng hàng và $AK=AI$ .

Vậy $A$ , $K$ , $I$ thẳng hàng.
Vì $\triangle ADE = \triangle ABC$ với $D,E$ tương ứng là ảnh của $B,C$ qua phép đối xứng tâm $A$ (đã dựng), nên $A$ là trung điểm của mỗi cặp điểm tương ứng $BD$ và $CE$. (1) Gọi $K$ là trung điểm $BC$, $I$ là trung điểm $DE$. Vì $D$ là ảnh của $B$, $E$ là ảnh của $C$ qua tâm $A$, và phép đối xứng tâm biến đoạn thẳng $BC$ thành đoạn thẳng $DE$, nên nó cũng biến trung điểm $K$ của $BC$ thành trung điểm $I$ của $DE$: $I$ là ảnh của $K$ qua tâm $A$. (2) Từ (2) suy ra $A$ là trung điểm $KI$, tức $A$, $K$, $I$ thẳng hàng và $AK=AI$. Vậy $A$, $K$, $I$ thẳng hàng.

Ví dụ

Ví dụ 4 — Biến thể: chỉ dựng một điểm, có đủ không?

1
Nếu đề chỉ cho dựng $D$ (đối xứng $B$ qua $A$ ) mà không dựng $E$ , ta có so sánh được $BC$ với một đoạn nào chứa $D$ không?
Nếu đề chỉ cho dựng $D$ (đối xứng $B$ qua $A$) mà không dựng $E$, ta có so sánh được $BC$ với một đoạn nào chứa $D$ không?
2
Không có tam giác nào chứa cả $D$ lẫn $C$ mà đồng dạng hay bằng $\triangle ABC$ một cách hiển nhiên — thiếu $E$ , ta không có cặp tam giác đủ ba yếu tố c-g-c để so sánh với $\triangle ABC$ .
Không có tam giác nào chứa cả $D$ lẫn $C$ mà đồng dạng hay bằng $\triangle ABC$ một cách hiển nhiên — thiếu $E$, ta không có cặp tam giác đủ ba yếu tố c-g-c để so sánh với $\triangle ABC$.
3
Muốn tạo một tam giác BẰNG $\triangle ABC$ bằng phép đối xứng tâm $A$ , phải dựng ảnh của CẢ HAI đỉnh còn lại ( $B$ và $C$ ) — dựng một nửa không tạo ra tam giác nào để so sánh.
Muốn tạo một tam giác BẰNG $\triangle ABC$ bằng phép đối xứng tâm $A$, phải dựng ảnh của CẢ HAI đỉnh còn lại ($B$ và $C$) — dựng một nửa không tạo ra tam giác nào để so sánh.

Sai lầm phổ biến

Bẫy thường gặp: (1) Chỉ dựng một trong hai điểm đối xứng rồi cố ghép tam giác — không đủ ba yếu tố c-g-c; (2) quên $D, A, B$ (và $E, A, C$ ) thẳng hàng khi lập luận góc so le trong ở Ví dụ 2 — góc đối đỉnh chỉ đúng khi hai cặp tia đối nhau thật sự nằm trên cùng một đường thẳng.

**Bẫy thường gặp:** (1) Chỉ dựng một trong hai điểm đối xứng rồi cố ghép tam giác — không đủ ba yếu tố c-g-c; (2) quên $D, A, B$ (và $E, A, C$) thẳng hàng khi lập luận góc so le trong ở Ví dụ 2 — góc đối đỉnh chỉ đúng khi hai cặp tia đối nhau thật sự nằm trên cùng một đường thẳng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Khi đề yêu cầu một đoạn thẳng MỚI bằng đúng một đoạn đã có, hãy nghĩ đến phép đối xứng qua một điểm cố định (thường là một đỉnh hoặc trung điểm) — nó luôn tạo ra một tam giác bằng tam giác gốc, kèm góc đối đỉnh có sẵn để dùng c-g-c.

Hai bài vừa qua đều dùng điểm đối xứng qua MỘT ĐỈNH ( $O$ cho sẵn, hoặc $A$ tự chọn). Chương tiếp theo đưa kỹ thuật này lên một tầm khác: đối xứng qua TRUNG ĐIỂM của một cạnh — mở đầu bằng kỹ thuật nổi tiếng nhất trong hình học chứng minh lớp 7, "nhân đôi trung tuyến".

Hai bài vừa qua đều dùng điểm đối xứng qua MỘT ĐỈNH ($O$ cho sẵn, hoặc $A$ tự chọn). Chương tiếp theo đưa kỹ thuật này lên một tầm khác: đối xứng qua TRUNG ĐIỂM của một cạnh — mở đầu bằng kỹ thuật nổi tiếng nhất trong hình học chứng minh lớp 7, "nhân đôi trung tuyến".