Phần

Bất đẳng thức tam giác cho trung tuyến: AM nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em chứng minh được rằng trung tuyến của một tam giác luôn nhỏ hơn nửa tổng hai cạnh kề với đỉnh xuất phát, bằng kỹ thuật "nhân đôi trung tuyến" kết hợp bất đẳng thức tam giác — một kỹ thuật dựng đường phụ kinh điển trong bồi dưỡng HSG.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững bất đẳng thức tam giác (bài trước), định nghĩa trung điểm, và dấu hiệu nhận biết tứ giác là hình bình hành qua hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường — nội dung đã gặp ở khoá hình học chứng minh trước đó của lớp 7.

Bài toán mở đầu. Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm $BC$ , $AM$ là trung tuyến xuất phát từ $A$ . Có bạn đoán rằng $AM$ luôn bằng nửa tổng $AB+AC$ . Đúng hay sai?

**Bài toán mở đầu.** Cho tam giác $ABC$ với $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ là trung tuyến xuất phát từ $A$. Có bạn đoán rằng $AM$ luôn bằng nửa tổng $AB+AC$. Đúng hay sai?

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn chỉ hỏi tính độ dài trung tuyến khi tam giác đã cho đủ số liệu, dùng công thức cho sẵn. Đề hôm nay không cho công thức nào cả — nó hỏi một bất đẳng thức giữa $AM$ và hai cạnh $AB$ , $AC$ , và bắt em tự chứng minh, không được tra công thức.

Đề chuẩn chỉ hỏi tính độ dài trung tuyến khi tam giác đã cho đủ số liệu, dùng công thức cho sẵn. Đề hôm nay không cho công thức nào cả — nó hỏi một bất đẳng thức giữa $AM$ và hai cạnh $AB$, $AC$, và bắt em tự chứng minh, không được tra công thức.

Ý tưởng mấu chốt

Đoạn $AM$ đang "cô đơn" — nó không nằm trong bất kỳ tam giác nào có đủ ba cạnh liên quan tới cả $AB$ , $AC$ . Ý tưởng mấu chốt: kéo dài $AM$ thêm một đoạn $MD=MA$ ra phía sau $M$ , khi đó $M$ là trung điểm của cả $AD$ lẫn $BC$ — tức $ABDC$ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Từ đó $BD=AC$ , và tam giác $ABD$ chứa đúng ba đoạn ta cần: $AB$ , $BD\,(=AC)$ , và $AD\,(=2AM)$ — giờ bất đẳng thức tam giác áp dụng được ngay.

Đoạn $AM$ đang "cô đơn" — nó không nằm trong bất kỳ tam giác nào có đủ ba cạnh liên quan tới cả $AB$, $AC$. Ý tưởng mấu chốt: kéo dài $AM$ thêm một đoạn $MD=MA$ ra phía sau $M$, khi đó $M$ là trung điểm của cả $AD$ lẫn $BC$ — tức $ABDC$ là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường). Từ đó $BD=AC$, và tam giác $ABD$ chứa đúng ba đoạn ta cần: $AB$, $BD\,(=AC)$, và $AD\,(=2AM)$ — giờ bất đẳng thức tam giác áp dụng được ngay.

Vì sao nghĩ ra được cách này? Vì trung tuyến vốn dĩ chia đôi cạnh đối diện — tín hiệu đó gợi ý ngay việc "nhân đôi" nó để tạo ra một trung điểm thứ hai, biến hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm chung thành một hình bình hành. Đây là kỹ thuật dựng đường phụ đứng đầu danh sách khi thấy đề bài có từ "trung tuyến" mà không đủ dữ kiện tính trực tiếp.

Lời giải có hình

Nhân đôi trung tuyến: kéo dài AM ra D sao cho MD = MA

Bước 1

Cho $\triangle ABC$ , $M$ là trung điểm $BC$ , $AM$ là trung tuyến.Cho $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $AM$ là trung tuyến.

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng:

BD\approx AC

(tính trực tiếp từ toạ độ cho cùng độ dài, đúng tính chất hình bình hành), và

AM\approx7{,}52

trong khi

\dfrac{AB+AC}{2}\approx9{,}33

— đúng như bất đẳng thức

AM<\dfrac{AB+AC}{2}

.Toạ độ thật dùng để kiểm chứng: $BD\approx AC$ (tính trực tiếp từ toạ độ cho cùng độ dài, đúng tính chất hình bình hành), và $AM\approx7{,}52$ trong khi $\dfrac{AB+AC}{2}\approx9{,}33$ — đúng như bất đẳng thức $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chứng minh AM < (AB + AC) / 2

1
Cho $\triangle ABC$ , $M$ là trung điểm $BC$ . Chứng minh $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$ .
Cho $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $AM < \dfrac{AB+AC}{2}$.
2
Kéo dài $AM$ ra $D$ sao cho $MD=MA$ (nhân đôi trung tuyến).
Kéo dài $AM$ ra $D$ sao cho $MD=MA$ (nhân đôi trung tuyến).
3
$M$ là trung điểm chung của $AD$ và $BC$ $\Rightarrow$ $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow BD=AC$ .
$M$ là trung điểm chung của $AD$ và $BC$ $\Rightarrow$ $ABDC$ là hình bình hành $\Rightarrow BD=AC$.
4
Trên tia đối của tia $MA$ , lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$ . (1)

Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$ , $BC$ cắt nhau tại $M$ là trung điểm mỗi đường [theo (1) và giả thiết $M$ là trung điểm $BC$ ], nên $ABDC$ là hình bình hành. (2)

Từ (2) suy ra $BD=AC$ . (3)

Xét $\triangle ABD$ : theo bất đẳng thức tam giác, $AB+BD>AD$ . (4)

Thay (3) vào (4): $AB+AC>AD=2AM$ [theo (1)]. Do đó $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ .

Vậy $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ , đpcm.
Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $D$ sao cho $MD=MA$. (1) Tứ giác $ABDC$ có hai đường chéo $AD$, $BC$ cắt nhau tại $M$ là trung điểm mỗi đường [theo (1) và giả thiết $M$ là trung điểm $BC$], nên $ABDC$ là hình bình hành. (2) Từ (2) suy ra $BD=AC$. (3) Xét $\triangle ABD$: theo bất đẳng thức tam giác, $AB+BD>AD$. (4) Thay (3) vào (4): $AB+AC>AD=2AM$ [theo (1)]. Do đó $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$. Vậy $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$, đpcm.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Chặn dưới: AM cũng lớn hơn nửa hiệu hai cạnh

1
Với cùng $\triangle ABC$ , $M$ là trung điểm $BC$ , chứng minh thêm $AM>\dfrac{|AB-AC|}{2}$ (giả sử $AB\ne AC$ ).
Với cùng $\triangle ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, chứng minh thêm $AM>\dfrac{|AB-AC|}{2}$ (giả sử $AB\ne AC$).
2
Vẫn xét $\triangle ABD$ với $BD=AC$ , $AD=2AM$ như Ví dụ 1, nhưng lần này dùng chiều bất đẳng thức tam giác ngược lại: hiệu hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại.
Vẫn xét $\triangle ABD$ với $BD=AC$, $AD=2AM$ như Ví dụ 1, nhưng lần này dùng chiều bất đẳng thức tam giác ngược lại: hiệu hai cạnh nhỏ hơn cạnh còn lại.
3
Từ Ví dụ 1 đã có $BD=AC$ , $AD=2AM$ . (1)

Trong $\triangle ABD$ , theo bất đẳng thức tam giác (chiều hiệu hai cạnh): $AD>|AB-BD|$ . (2)

Thay (1) vào (2): $2AM>|AB-AC|$ , tức $AM>\dfrac{|AB-AC|}{2}$ .

Vậy kết hợp Ví dụ 1 và Ví dụ 2: $\dfrac{|AB-AC|}{2}<AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ — trung tuyến luôn bị kẹp chặt giữa hai chặn này.
Từ Ví dụ 1 đã có $BD=AC$, $AD=2AM$. (1) Trong $\triangle ABD$, theo bất đẳng thức tam giác (chiều hiệu hai cạnh): $AD>|AB-BD|$. (2) Thay (1) vào (2): $2AM>|AB-AC|$, tức $AM>\dfrac{|AB-AC|}{2}$. Vậy kết hợp Ví dụ 1 và Ví dụ 2: $\dfrac{|AB-AC|}{2}<AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ — trung tuyến luôn bị kẹp chặt giữa hai chặn này.
4
Một khi đã dựng xong "khuôn" $\triangle ABD$ với $BD=AC$ , $AD=2AM$ , mọi bất đẳng thức liên quan tới $AM$ , $AB$ , $AC$ đều quy về đúng một bất đẳng thức tam giác quen thuộc trong $\triangle ABD$ — chỉ cần chọn đúng chiều (tổng hay hiệu).
Một khi đã dựng xong "khuôn" $\triangle ABD$ với $BD=AC$, $AD=2AM$, mọi bất đẳng thức liên quan tới $AM$, $AB$, $AC$ đều quy về đúng một bất đẳng thức tam giác quen thuộc trong $\triangle ABD$ — chỉ cần chọn đúng chiều (tổng hay hiệu).

Ví dụ

Ví dụ 3 — Biến thể: áp dụng cho một cevian không phải trung tuyến

1
Cho $\triangle ABC$ với $D$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $BC$ (không nhất thiết là trung điểm). Hỏi kỹ thuật nhân đôi ở Ví dụ 1 có còn áp dụng trực tiếp được không?
Cho $\triangle ABC$ với $D$ là một điểm bất kỳ trên cạnh $BC$ (không nhất thiết là trung điểm). Hỏi kỹ thuật nhân đôi ở Ví dụ 1 có còn áp dụng trực tiếp được không?
2
Kỹ thuật nhân đôi cần $M$ là trung điểm $BC$ để đảm bảo tứ giác dựng thêm là hình bình hành. Nếu điểm chia cạnh $BC$ không phải trung điểm, hai đường chéo không còn cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên tứ giác dựng thêm không còn là hình bình hành — cạnh đối không còn bằng $AC$ nữa.
Kỹ thuật nhân đôi cần $M$ là trung điểm $BC$ để đảm bảo tứ giác dựng thêm là hình bình hành. Nếu điểm chia cạnh $BC$ không phải trung điểm, hai đường chéo không còn cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, nên tứ giác dựng thêm không còn là hình bình hành — cạnh đối không còn bằng $AC$ nữa.
3
Với cevian $AD$ tuỳ ý ( $D$ trên $BC$ , không phải trung điểm), bất đẳng thức đúng chỉ còn là $AD<AB+AC$ (bất đẳng thức tam giác thông thường trong $\triangle ABD$ hoặc $\triangle ACD$ kết hợp), không còn công thức gọn như $\dfrac{AB+AC}{2}$ . Đây chính là lý do bất đẳng thức $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ chỉ đúng cho trung tuyến, không đúng cho cevian bất kỳ.
Với cevian $AD$ tuỳ ý ($D$ trên $BC$, không phải trung điểm), bất đẳng thức đúng chỉ còn là $AD<AB+AC$ (bất đẳng thức tam giác thông thường trong $\triangle ABD$ hoặc $\triangle ACD$ kết hợp), không còn công thức gọn như $\dfrac{AB+AC}{2}$. Đây chính là lý do bất đẳng thức $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ chỉ đúng cho trung tuyến, không đúng cho cevian bất kỳ.

Bẫy thường gặp

Bẫy thường gặp: nhiều bạn viết thẳng $AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ mà không chứng minh, coi đó là công thức có sẵn — đề HSG sẽ không chấp nhận, vì đây là một bất đẳng thức cần chứng minh bằng đường phụ, không phải định lý được học thuộc lòng.

Tóm tắt

Kỹ thuật nhân đôi trung tuyến — kéo dài $AM$ ra $D$ sao cho $MD=MA$ — biến một đoạn thẳng "cô đơn" thành một cạnh của tam giác mới $ABD$ , nơi bất đẳng thức tam giác áp dụng được ngay. Từ đó trung tuyến $AM$ luôn bị kẹp chặt: $\dfrac{|AB-AC|}{2}<AM<\dfrac{AB+AC}{2}$ . Đây là lần đầu bất đẳng thức tam giác được dùng để chứng minh một bất đẳng thức về độ dài, chứ không chỉ để tìm điểm cực trị như bài trước.

Kỹ thuật nhân đôi trung tuyến — kéo dài $AM$ ra $D$ sao cho $MD=MA$ — biến một đoạn thẳng "cô đơn" thành một cạnh của tam giác mới $ABD$, nơi bất đẳng thức tam giác áp dụng được ngay. Từ đó trung tuyến $AM$ luôn bị kẹp chặt: $\dfrac{|AB-AC|}{2}<AM<\dfrac{AB+AC}{2}$. Đây là lần đầu bất đẳng thức tam giác được dùng để chứng minh một bất đẳng thức về độ dài, chứ không chỉ để tìm điểm cực trị như bài trước.

Cả hai bài trong chương này đều xử lý trường hợp đã sẵn có một đường thẳng nối trực tiếp cắt được ràng buộc cho trước. Chương sau chuyển sang một công cụ khác hẳn: quan hệ giữa đường vuông góc và các đường xiên — nền tảng để sau này giải quyết cả trường hợp hai điểm cùng phía một đường thẳng.