Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
|a| + |b| ≥ |a + b|: chứng minh và điều kiện dấu bằng
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em chứng minh được $|a|+|b|\ge|a+b|$ với mọi số hữu tỉ $a,b$, và quan trọng hơn: em nêu đúng **khi nào** dấu \"=\" xảy ra, để dùng bất đẳng thức này tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai giá trị tuyệt đối.
Cần nhớ trước
Em cần nhớ lại: định nghĩa giá trị tuyệt đối $|x|=x$ nếu $x\ge0$ và $|x|=-x$ nếu $x<0$; cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số; và ý nghĩa $|x-a|$ là khoảng cách từ điểm $x$ đến điểm $a$ trên trục số.
**So với mức chuẩn:** đề Lớp 7 bình thường chỉ dừng ở việc tính $|x|$ khi biết $x$, hoặc so sánh hai số hữu tỉ bằng giá trị tuyệt đối của chúng — một phép tính trực tiếp. Bài hôm nay khác hẳn: đề không cho một số cụ thể, mà cho một **biểu thức chứa biến $x$**, và hỏi giá trị nhỏ nhất của cả biểu thức khi $x$ chạy khắp tập số hữu tỉ. Không thể thử từng giá trị $x$ — phải có một bất đẳng thức tổng quát làm công cụ.
Kỹ thuật vượt chương trình
Mở rộng dành cho HSG: bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ không nằm trong yêu cầu chuẩn của Lớp 7. Ta giới thiệu vì nó là chìa khóa cho hầu hết bài toán min–max chứa giá trị tuyệt đối ở cấp THCS. Tiên quyết duy nhất: định nghĩa giá trị tuyệt đối và kỹ năng xét dấu một biểu thức bậc nhất.
Bài toán mở đầu — vì sao không thể thử từng giá trị
Tìm giá trị nhỏ nhất của $A=|x-2|+|x+3|$ với $x$ là số hữu tỉ bất kỳ. Thử $x=0$: $A=2+3=5$. Thử $x=1$: $A=1+4=5$. Thử $x=-1$: $A=3+2=5$. Lạ thật, cả ba lần đều ra $5$. Thử tiếp $x=10$: $A=8+13=21$, lớn hơn hẳn. Vậy có phải $5$ luôn là kết quả, hay chỉ là trùng hợp với vài số? Cần một lý luận chắc chắn, không phải đoán.
Ý tưởng cốt lõi — khoảng cách trên trục số
Viết lại $A=|x-2|+|x-(-3)|$. Theo cách hiểu khoảng cách, $|x-2|$ là khoảng cách từ $x$ đến điểm $2$, còn $|x+3|$ là khoảng cách từ $x$ đến điểm $-3$. Vậy $A$ chính là **tổng khoảng cách** từ điểm $x$ đến hai điểm cố định $-3$ và $2$ trên trục số.
Nếu $x$ nằm giữa $-3$ và $2$ (kể cả hai đầu mút), quãng đường từ $-3$ đến $x$ rồi từ $x$ đến $2$ đúng bằng quãng đường trực tiếp từ $-3$ đến $2$, tức là $5$ đơn vị — không đi vòng, không lãng phí. Nhưng nếu $x$ nằm ngoài đoạn $[-3;2]$, ví dụ $x=10$, em phải đi từ $10$ ngược về $2$ rồi tiếp tục ngược về $-3$, tổng quãng đường dài hơn hẳn $5$. Đó là lý do $x=0,1,-1$ (đều nằm trong $[-3;2]$) cho cùng kết quả $5$, còn $x=10$ (nằm ngoài) cho kết quả lớn hơn.
So sánh với đề chuẩn: một câu hỏi Lớp 7 bình thường sẽ hỏi \"tính $|5-2|+|5+3|$\" — thay số vào rồi tính, xong ngay trong một dòng. Câu hỏi HSG không cho $x$ cụ thể, nên phép \"thay số\" không dùng được nữa; phải suy luận bằng hình ảnh khoảng cách để tìm ra quy luật chung, rồi mới chứng minh quy luật đó đúng cho mọi $x$. Sự khác biệt này — từ \"tính một trường hợp\" sang \"chứng minh mọi trường hợp\" — là ranh giới rõ nhất giữa bài chuẩn và bài HSG trong cả khóa học này.
Với x nằm trong đoạn [-3; 2], tổng khoảng cách từ x đến -3 và từ x đến 2 luôn đúng bằng 5 — quãng đường trực tiếp, không đi vòng.
Chứng minh tổng quát — bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$
Ta chứng minh cho hai số hữu tỉ $a,b$ bất kỳ: $|a|+|b|\ge|a+b|$, dấu \"=\" xảy ra khi và chỉ khi $a,b$ cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng $0$ (tức $ab\ge0$).
Ví dụ
Chứng minh $|a|+|b|\ge|a+b|$ và điều kiện dấu bằng
1
Đề chuẩn Lớp 7 chỉ hỏi tính $|a|$ khi biết giá trị $a$ cụ thể. Ở đây $a,b$ là hai biến tổng quát, và ta phải chứng minh một bất đẳng thức đúng với **mọi** cặp $a,b$, không phải kiểm tra một trường hợp.
2
Bình phương cả hai vế (đều không âm nên bình phương giữ nguyên chiều bất đẳng thức), rồi so sánh $(|a|+|b|)^2$ với $(a+b)^2$ — hiệu của chúng sẽ lộ ra ngay dấu của biểu thức cần so sánh.
3
So sánh trực tiếp $|a|+|b|$ với $|a+b|$ khó vì dấu giá trị tuyệt đối phá vỡ các phép biến đổi đại số quen thuộc. Bình phương hai vế không âm loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, đưa bài toán về so sánh hai biểu thức đại số thường.
4
Ta có $(|a|+|b|)^2=a^2+2|a||b|+b^2=a^2+2|ab|+b^2$, và $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Hiệu hai vế: $(|a|+|b|)^2-(a+b)^2=2|ab|-2ab=2(|ab|-ab)$.
5
Vì $|ab|\ge ab$ luôn đúng với mọi số hữu tỉ (giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn chính số đó), nên $2(|ab|-ab)\ge0$, tức $(|a|+|b|)^2\ge(a+b)^2$. Vì $|a|+|b|\ge0$, lấy căn bậc hai hai vế: $|a|+|b|\ge|a+b|$.
6
Dấu \"=\" xảy ra khi $|ab|=ab$, tức $ab\ge0$ — nghĩa là $a,b$ cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm) hoặc ít nhất một số bằng $0$. Đây chính là điều kiện em phải nêu **trước khi** dùng bất đẳng thức để tìm min.
7
Với mọi số hữu tỉ $a,b$, ta có $(|a|+|b|)^2-(a+b)^2=2|ab|-2ab=2(|ab|-ab)\ge0$ vì $|ab|\ge ab$ với mọi số hữu tỉ. Do đó $(|a|+|b|)^2\ge(a+b)^2$. Kết hợp $|a|+|b|\ge0$, suy ra $|a|+|b|\ge|a+b|$. Dấu \"$=$\" xảy ra khi và chỉ khi $|ab|=ab\iff ab\ge0$, tức $a,b$ cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng $0$. Vậy $|a|+|b|\ge|a+b|$ với mọi $a,b\in\mathbb{Q}$, đẳng thức khi $ab\ge0$.
8
Cách chứng minh này áp dụng y nguyên cho $|a|+|b|\ge|a-b|$ bằng cách thay $b$ bởi $-b$: dấu \"=\" khi $a\cdot(-b)\ge0$, tức $ab\le0$ — hai số **trái dấu** hoặc có số bằng $0$. Em sẽ dùng dạng này ở Chương 3.
Áp dụng ngay vào $A=|x-2|+|x+3|$: đây là dạng $|a|+|b|$ với $a=x-2,\ b=x+3$, và cách làm quen thuộc ở lớp 7 là dùng trực tiếp biến thể $|a|+|b|\ge|a-b|$ vừa nêu.
Ví dụ
Ví dụ áp dụng — GTNN của $A=|x-2|+|x+3|$
1
Đề chuẩn chỉ tính $|x-2|+|x+3|$ tại một $x$ cho trước. Ở đây $x$ chạy khắp $\mathbb{Q}$, phải chứng minh cận dưới đúng cho mọi $x$ rồi chỉ ra cận đó đạt được.
2
Đặt $a=x-2,\ b=x+3$. Khi đó $a-b=(x-2)-(x+3)=-5$ là một **hằng số**, không phụ thuộc $x$ — đây là điều kiện để bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a-b|$ cho ra một cận không đổi.
3
Theo biến thể vừa chứng minh: $|a|+|b|\ge|a-b|=|-5|=5$. Vậy $A=|x-2|+|x+3|\ge5$ với mọi $x$ hữu tỉ.
4
Dấu \"=\" xảy ra khi $ab\le0$, tức $(x-2)(x+3)\le0$. Xét dấu tam thức: nghiệm của $(x-2)(x+3)=0$ là $x=2$ và $x=-3$; vì hệ số bậc hai dương, biểu thức âm hoặc bằng $0$ khi $x$ nằm giữa hai nghiệm. Vậy $(x-2)(x+3)\le0\iff-3\le x\le2$.
Với $A=|x-a|+|x-b|$ ($a<b$), $\min A=b-a$, đạt tại mọi $x\in[a;b]$ — không phải một điểm, mà cả một **đoạn**. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với các bài GTNN thông thường chỉ có một điểm rơi.
7
Với mọi $x\in\mathbb{Q}$, đặt $a=x-2,\ b=x+3$. Ta có $a-b=-5$. Theo bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a-b|$: $$A=|x-2|+|x+3|\ge|(x-2)-(x+3)|=|-5|=5.$$ Dấu \"$=$\" xảy ra khi $ab\le0\iff(x-2)(x+3)\le0\iff-3\le x\le2$. Thử lại tại $x=-3$: $A=5+0=5$; tại $x=2$: $A=0+5=5$ — khớp. Vậy $\min A=5$, đạt tại mọi $x$ thỏa $-3\le x\le2$.
8
Đổi đề thành $|x-2|+|x+3|\ge k$ với $k$ khác: nếu $k\le5$, bất đẳng thức vẫn đúng nhưng không chặt; nếu $k>5$, bất đẳng thức sai vì $A$ không thể vượt cận dưới $5$ theo chiều ngược. Chỉ $k=5$ mới là cận chặt, đạt được thật sự.
Bẫy thường gặp
Sai lầm hay gặp nhất: học sinh tìm được $\min A=5$ rồi kết luận \"dấu bằng khi $x=$ một số cụ thể\", quên rằng đây là cả một đoạn nghiệm. Một sai lầm khác: quên đổi $|x+3|$ thành $|x-(-3)|$ trước khi xác định hai điểm mốc trên trục số, dẫn đến tính nhầm khoảng cách.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt
Bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a+b|$ (và biến thể $|a|+|b|\ge|a-b|$) biến một bài toán \"không biết bắt đầu từ đâu\" thành một phép trừ hai điểm mốc trên trục số. Với $A=|x-a|+|x-b|$ ($a<b$), $\min A=b-a$, đạt trên cả đoạn $[a;b]$, không phải một điểm. Luôn nêu điều kiện dấu bằng bằng dấu của tích hai nhân tử, đừng chỉ đoán.
Bài sau giữ nguyên ý tưởng khoảng cách này nhưng xử lý trường hợp hai hạng tử cùng hệ số trước biến — một biến thể nhỏ nhưng hay bị làm sai nếu vội vàng.
Sau bài này, em chứng minh được ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ với mọi số hữu tỉ a,b, và quan trọng hơn: em nêu đúng khi nào dấu "=" xảy ra, để dùng bất đẳng thức này tìm giá trị nhỏ nhất của một tổng hai giá trị tuyệt đối.
Em cần nhớ lại: định nghĩa giá trị tuyệt đối ∣x∣=x nếu x≥0 và ∣x∣=−x nếu x<0; cách biểu diễn số hữu tỉ trên trục số; và ý nghĩa ∣x−a∣ là khoảng cách từ điểm x đến điểm a trên trục số.
So với mức chuẩn: đề Lớp 7 bình thường chỉ dừng ở việc tính ∣x∣ khi biết x, hoặc so sánh hai số hữu tỉ bằng giá trị tuyệt đối của chúng — một phép tính trực tiếp. Bài hôm nay khác hẳn: đề không cho một số cụ thể, mà cho một biểu thức chứa biến x, và hỏi giá trị nhỏ nhất của cả biểu thức khi x chạy khắp tập số hữu tỉ. Không thể thử từng giá trị x — phải có một bất đẳng thức tổng quát làm công cụ.
Mở rộng dành cho HSG: bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ không nằm trong yêu cầu chuẩn của Lớp 7. Ta giới thiệu vì nó là chìa khóa cho hầu hết bài toán min–max chứa giá trị tuyệt đối ở cấp THCS. Tiên quyết duy nhất: định nghĩa giá trị tuyệt đối và kỹ năng xét dấu một biểu thức bậc nhất.
Tìm giá trị nhỏ nhất của A=∣x−2∣+∣x+3∣ với x là số hữu tỉ bất kỳ. Thử x=0: A=2+3=5. Thử x=1: A=1+4=5. Thử x=−1: A=3+2=5. Lạ thật, cả ba lần đều ra 5. Thử tiếp x=10: A=8+13=21, lớn hơn hẳn. Vậy có phải 5 luôn là kết quả, hay chỉ là trùng hợp với vài số? Cần một lý luận chắc chắn, không phải đoán.
Viết lại A=∣x−2∣+∣x−(−3)∣. Theo cách hiểu khoảng cách, ∣x−2∣ là khoảng cách từ x đến điểm 2, còn ∣x+3∣ là khoảng cách từ x đến điểm −3. Vậy A chính là tổng khoảng cách từ điểm x đến hai điểm cố định −3 và 2 trên trục số.
Nếu x nằm giữa −3 và 2 (kể cả hai đầu mút), quãng đường từ −3 đến x rồi từ x đến 2 đúng bằng quãng đường trực tiếp từ −3 đến 2, tức là 5 đơn vị — không đi vòng, không lãng phí. Nhưng nếu x nằm ngoài đoạn [−3;2], ví dụ x=10, em phải đi từ 10 ngược về 2 rồi tiếp tục ngược về −3, tổng quãng đường dài hơn hẳn 5. Đó là lý do x=0,1,−1 (đều nằm trong [−3;2]) cho cùng kết quả 5, còn x=10 (nằm ngoài) cho kết quả lớn hơn.
So sánh với đề chuẩn: một câu hỏi Lớp 7 bình thường sẽ hỏi "tính ∣5−2∣+∣5+3∣" — thay số vào rồi tính, xong ngay trong một dòng. Câu hỏi HSG không cho x cụ thể, nên phép "thay số" không dùng được nữa; phải suy luận bằng hình ảnh khoảng cách để tìm ra quy luật chung, rồi mới chứng minh quy luật đó đúng cho mọi x. Sự khác biệt này — từ "tính một trường hợp" sang "chứng minh mọi trường hợp" — là ranh giới rõ nhất giữa bài chuẩn và bài HSG trong cả khóa học này.
Chứng minh tổng quát — bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣
Ta chứng minh cho hai số hữu tỉ a,b bất kỳ: ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣, dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a,b cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng 0 (tức ab≥0).
Chứng minh ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ và điều kiện dấu bằng
Đề chuẩn Lớp 7 chỉ hỏi tính ∣a∣ khi biết giá trị a cụ thể. Ở đây a,b là hai biến tổng quát, và ta phải chứng minh một bất đẳng thức đúng với mọi cặp a,b, không phải kiểm tra một trường hợp.
Bình phương cả hai vế (đều không âm nên bình phương giữ nguyên chiều bất đẳng thức), rồi so sánh (∣a∣+∣b∣)2 với (a+b)2 — hiệu của chúng sẽ lộ ra ngay dấu của biểu thức cần so sánh.
So sánh trực tiếp ∣a∣+∣b∣ với ∣a+b∣ khó vì dấu giá trị tuyệt đối phá vỡ các phép biến đổi đại số quen thuộc. Bình phương hai vế không âm loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối, đưa bài toán về so sánh hai biểu thức đại số thường.
Ta có (∣a∣+∣b∣)2=a2+2∣a∣∣b∣+b2=a2+2∣ab∣+b2, và (a+b)2=a2+2ab+b2. Hiệu hai vế: (∣a∣+∣b∣)2−(a+b)2=2∣ab∣−2ab=2(∣ab∣−ab).
Vì ∣ab∣≥ab luôn đúng với mọi số hữu tỉ (giá trị tuyệt đối không nhỏ hơn chính số đó), nên 2(∣ab∣−ab)≥0, tức (∣a∣+∣b∣)2≥(a+b)2. Vì ∣a∣+∣b∣≥0, lấy căn bậc hai hai vế: ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣.
Dấu "=" xảy ra khi ∣ab∣=ab, tức ab≥0 — nghĩa là a,b cùng dấu (cùng dương hoặc cùng âm) hoặc ít nhất một số bằng 0. Đây chính là điều kiện em phải nêu trước khi dùng bất đẳng thức để tìm min.
Với mọi số hữu tỉ a,b, ta có (∣a∣+∣b∣)2−(a+b)2=2∣ab∣−2ab=2(∣ab∣−ab)≥0 vì ∣ab∣≥ab với mọi số hữu tỉ. Do đó (∣a∣+∣b∣)2≥(a+b)2. Kết hợp ∣a∣+∣b∣≥0, suy ra ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ∣ab∣=ab⟺ab≥0, tức a,b cùng dấu hoặc có ít nhất một số bằng 0. Vậy ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ với mọi a,b∈Q, đẳng thức khi ab≥0.
Cách chứng minh này áp dụng y nguyên cho ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ bằng cách thay b bởi −b: dấu "=" khi a⋅(−b)≥0, tức ab≤0 — hai số trái dấu hoặc có số bằng 0. Em sẽ dùng dạng này ở Chương 3.
Áp dụng ngay vào A=∣x−2∣+∣x+3∣: đây là dạng ∣a∣+∣b∣ với a=x−2,b=x+3, và cách làm quen thuộc ở lớp 7 là dùng trực tiếp biến thể ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ vừa nêu.
Ví dụ áp dụng — GTNN của A=∣x−2∣+∣x+3∣
Đề chuẩn chỉ tính ∣x−2∣+∣x+3∣ tại một x cho trước. Ở đây x chạy khắp Q, phải chứng minh cận dưới đúng cho mọi x rồi chỉ ra cận đó đạt được.
Đặt a=x−2,b=x+3. Khi đó a−b=(x−2)−(x+3)=−5 là một hằng số, không phụ thuộc x — đây là điều kiện để bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ cho ra một cận không đổi.
Theo biến thể vừa chứng minh: ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣=∣−5∣=5. Vậy A=∣x−2∣+∣x+3∣≥5 với mọi x hữu tỉ.
Dấu "=" xảy ra khi ab≤0, tức (x−2)(x+3)≤0. Xét dấu tam thức: nghiệm của (x−2)(x+3)=0 là x=2 và x=−3; vì hệ số bậc hai dương, biểu thức âm hoặc bằng 0 khi x nằm giữa hai nghiệm. Vậy (x−2)(x+3)≤0⟺−3≤x≤2.
Với A=∣x−a∣+∣x−b∣ (a<b), minA=b−a, đạt tại mọi x∈[a;b] — không phải một điểm, mà cả một đoạn. Đây là điểm khác biệt lớn nhất so với các bài GTNN thông thường chỉ có một điểm rơi.
Với mọi x∈Q, đặt a=x−2,b=x+3. Ta có a−b=−5. Theo bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣: A=∣x−2∣+∣x+3∣≥∣(x−2)−(x+3)∣=∣−5∣=5. Dấu "=" xảy ra khi ab≤0⟺(x−2)(x+3)≤0⟺−3≤x≤2. Thử lại tại x=−3: A=5+0=5; tại x=2: A=0+5=5 — khớp. Vậy minA=5, đạt tại mọi x thỏa −3≤x≤2.
Đổi đề thành ∣x−2∣+∣x+3∣≥k với k khác: nếu k≤5, bất đẳng thức vẫn đúng nhưng không chặt; nếu k>5, bất đẳng thức sai vì A không thể vượt cận dưới 5 theo chiều ngược. Chỉ k=5 mới là cận chặt, đạt được thật sự.
Sai lầm hay gặp nhất: học sinh tìm được minA=5 rồi kết luận "dấu bằng khi x= một số cụ thể", quên rằng đây là cả một đoạn nghiệm. Một sai lầm khác: quên đổi ∣x+3∣ thành ∣x−(−3)∣ trước khi xác định hai điểm mốc trên trục số, dẫn đến tính nhầm khoảng cách.
Bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a+b∣ (và biến thể ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣) biến một bài toán "không biết bắt đầu từ đâu" thành một phép trừ hai điểm mốc trên trục số. Với A=∣x−a∣+∣x−b∣ (a<b), minA=b−a, đạt trên cả đoạn [a;b], không phải một điểm. Luôn nêu điều kiện dấu bằng bằng dấu của tích hai nhân tử, đừng chỉ đoán.