Đây là bản xem thử. Bản đầy đủ trên app có thêm bài tập, AI chấm điểm tức thì và biểu đồ theo dõi tiến độ học.
Phần
Vận dụng bất đẳng thức hai số GTTĐ khi có hệ số
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em xử lý được các bài GTNN dạng $|px-a|+|px-b|$ khi hai hạng tử có **cùng hệ số** $p$ trước biến $x$, trường hợp phổ biến trong đề HSG nhưng chưa xuất hiện ở bài trước.
Cần nhớ trước
Em cần nhớ: bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a-b|$ và cách tìm điều kiện dấu bằng đã học ở bài trước; kỹ năng đặt biến phụ đơn giản.
Bài toán mở đầu — khi hệ số không còn là 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của $M=|3x+1|+|3x-5|$. Nếu áp dụng ngay ý tưởng \"hai điểm mốc\" như bài trước, mốc thứ nhất ứng với $3x+1=0$ tức $x=-\dfrac13$, mốc thứ hai ứng với $3x-5=0$ tức $x=\dfrac53$, hai số không đẹp, và hiệu $\dfrac53-\left(-\dfrac13\right)=2$ chưa chắc là đáp số đúng vì hệ số $3$ chưa được xử lý gọn.
Thử tính trực tiếp hiệu đó xem có đúng không: $\dfrac53-\left(-\dfrac13\right)=\dfrac53+\dfrac13=\dfrac63=2$. Vậy nếu chỉ trừ hai mốc theo $x$ mà không nhân lại với hệ số, ta được $2$ — một con số hoàn toàn khác với đáp số đúng (sẽ tính ra ở phần sau). Đây chính là bẫy của bài toán: hai mốc theo biến $x$ không cách nhau đúng bằng khoảng cách hai mốc theo biến $t=3x$, vì phép nhân với hệ số $3$ đã \"phóng to\" khoảng cách lên gấp $3$ lần.
Ý tưởng cốt lõi — đặt $t=px$ trước khi tìm mốc
Cách gọn hơn: đặt $t=3x$. Khi đó $M=|t+1|+|t-5|=|t-(-1)|+|t-5|$, đúng dạng quen thuộc của bài trước với hai mốc $-1$ và $5$ trên trục số **của biến $t$**. Khoảng cách giữa chúng là $5-(-1)=6$, nên $\min M=6$. Chỉ sau khi tìm được $t$ tại dấu bằng, ta mới đổi ngược lại $x=\dfrac{t}{3}$ để ra đáp số theo $x$.
Vì sao đặt $t=3x$ mà không đặt $t=x$? Vì nếu giữ nguyên biến $x$, hai mốc sẽ là nghiệm của $3x+1=0$ và $3x-5=0$, tức $x=-\dfrac13$ và $x=\dfrac53$ — vẫn đúng, nhưng phải tính khoảng cách bằng phân số ngay từ đầu, dễ nhầm lẫn dấu. Đặt $t=3x$ giữ các mốc là số nguyên đẹp $-1$ và $5$ trong suốt quá trình lập luận, và chỉ đổi sang phân số đúng một lần, ở bước cuối cùng khi chia lại cho $3$. Đây là lý do kỹ thuật đổi biến luôn được ưu tiên hơn tính trực tiếp khi hệ số khác $1$: nó giữ các con số gọn gàng lâu nhất có thể.
Ví dụ
GTNN của $M=|3x+1|+|3x-5|$
1
Bài trước có hệ số $1$ trước $x$ nên mốc hiện ngay là số nguyên. Ở đây hệ số $3$ làm mốc lệch khỏi số nguyên nếu tính trực tiếp theo $x$, phải đổi biến trước.
2
Đặt $t=3x$, đưa $M$ về đúng dạng $|t-a|+|t-b|$ đã biết cách xử lý, với $a=-1,b=5$.
3
Cả hai hạng tử đều mang hệ số $3$ trước $x$, gom chung thành một biến mới $t$ giúp bài toán trở lại đúng dạng quen thuộc, không cần phát minh kỹ thuật mới.
4
$M=|t+1|+|t-5|\ge|(t+1)-(t-5)|=6$ với mọi $t$. Vậy $M\ge6$ với mọi $x$.
5
Dấu \"=\" khi $(t+1)(t-5)\le0\iff-1\le t\le5$. Đổi lại $t=3x$: $-1\le3x\le5\iff-\dfrac13\le x\le\dfrac53$.
6
Quy trình chung: hệ số trước $x$ giống nhau ở mọi hạng tử, đặt $t=$ hệ số nhân $x$, giải bài theo $t$ như bài trước, rồi đổi ngược $x=\dfrac{t}{\text{hệ số}}$ ở bước cuối, không đổi sớm hơn.
7
Đặt $t=3x$. Ta có $M=|3x+1|+|3x-5|=|t+1|+|t-5|$. Theo bất đẳng thức $|a|+|b|\ge|a-b|$: $$M\ge|(t+1)-(t-5)|=6.$$ Dấu \"$=$\" xảy ra khi $(t+1)(t-5)\le0\iff-1\le t\le5$, suy ra $-1\le3x\le5\iff-\dfrac13\le x\le\dfrac53$. Thử lại tại $x=0$ (thuộc đoạn): $M=1+5=6$, khớp. Vậy $\min M=6$, đạt tại mọi $x\in\left[-\dfrac13;\dfrac53\right]$.
8
Nếu hai hệ số khác nhau, ví dụ $|3x+1|+|4x-5|$, phép đặt $t=3x$ không còn làm cả hai hạng tử gọn, kỹ thuật này chỉ dùng khi các hạng tử cùng hệ số trước biến. Trường hợp hệ số khác nhau nằm ngoài phạm vi khóa này.
Kỹ thuật đổi biến $t=px$ này sẽ quay lại ở Chương 3 khi bài toán có thêm một hằng số cộng vào sau tổng hai giá trị tuyệt đối.
Ví dụ
GTNN của $N=|4x-3|+|4x+9|$
1
Cùng dạng nhưng hệ số $4$ và hai mốc $3,-9$ xa nhau hơn, kiểm tra em có áp dụng đúng quy trình không, kể cả khi số không tròn.
2
Đặt $t=4x$: $N=|t-3|+|t+9|=|t-3|+|t-(-9)|\ge|3-(-9)|=12$.
Càng luyện nhiều bài dạng này, quy trình càng rõ: gom hệ số, tìm hai mốc, lấy hiệu, rồi đổi biến ngược ở bước cuối cùng.
6
Đặt $t=4x$. Ta có $N=|4x-3|+|4x+9|=|t-3|+|t+9|$. Theo $|a|+|b|\ge|a-b|$: $$N\ge|(t-3)-(t+9)|=|-12|=12.$$ Dấu \"$=$\" khi $(t-3)(t+9)\le0\iff-9\le t\le3$, suy ra $-\dfrac94\le x\le\dfrac34$. Vậy $\min N=12$, đạt tại mọi $x\in\left[-\dfrac94;\dfrac34\right]$.
7
Đổi $-9\to-8$: mốc mới là $-8,3$, khoảng cách $11$, $\min N=11$, cùng quy trình, chỉ khác số.
Sau khi đặt t = 3x, bài toán trở lại đúng dạng hai mốc quen thuộc — chỉ cần đổi t = 3x ngược lại x ở bước cuối cùng.
Bẫy thường gặp
Bẫy hay gặp: đổi biến $t=3x$ rồi quên đổi ngược lại $x$ ở bước tìm dấu bằng, dẫn đến trả lời tập nghiệm là đoạn của $t$ thay vì đoạn của $x$. Bẫy khác: khi hai hạng tử có hệ số khác nhau, học sinh vẫn cố đặt chung một biến $t$, cách này chỉ đúng khi hệ số bằng nhau.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Tóm tắt
Khi hai hạng tử giá trị tuyệt đối cùng chung hệ số trước $x$, đặt $t=$ hệ số nhân $x$ để đưa bài toán về đúng dạng hai mốc đã học. Chỉ đổi biến ngược lại $x$ ở bước cuối, sau khi đã tìm xong đoạn nghiệm theo $t$.
Bài học tiếp theo mở rộng bài toán sang nhiều hơn hai giá trị tuyệt đối cộng lại, lúc đó phải nhóm các hạng tử thành từng cặp thay vì áp dụng công thức hai mốc một lần duy nhất.
Sau bài này, em xử lý được các bài GTNN dạng ∣px−a∣+∣px−b∣ khi hai hạng tử có cùng hệ sốp trước biến x, trường hợp phổ biến trong đề HSG nhưng chưa xuất hiện ở bài trước.
Em cần nhớ: bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣ và cách tìm điều kiện dấu bằng đã học ở bài trước; kỹ năng đặt biến phụ đơn giản.
Tìm giá trị nhỏ nhất của M=∣3x+1∣+∣3x−5∣. Nếu áp dụng ngay ý tưởng "hai điểm mốc" như bài trước, mốc thứ nhất ứng với 3x+1=0 tức x=−31, mốc thứ hai ứng với 3x−5=0 tức x=35, hai số không đẹp, và hiệu 35−(−31)=2 chưa chắc là đáp số đúng vì hệ số 3 chưa được xử lý gọn.
Thử tính trực tiếp hiệu đó xem có đúng không: 35−(−31)=35+31=36=2. Vậy nếu chỉ trừ hai mốc theo x mà không nhân lại với hệ số, ta được 2 — một con số hoàn toàn khác với đáp số đúng (sẽ tính ra ở phần sau). Đây chính là bẫy của bài toán: hai mốc theo biến x không cách nhau đúng bằng khoảng cách hai mốc theo biến t=3x, vì phép nhân với hệ số 3 đã "phóng to" khoảng cách lên gấp 3 lần.
Ý tưởng cốt lõi — đặt t=px trước khi tìm mốc
Cách gọn hơn: đặt t=3x. Khi đó M=∣t+1∣+∣t−5∣=∣t−(−1)∣+∣t−5∣, đúng dạng quen thuộc của bài trước với hai mốc −1 và 5 trên trục số của biến t. Khoảng cách giữa chúng là 5−(−1)=6, nên minM=6. Chỉ sau khi tìm được t tại dấu bằng, ta mới đổi ngược lại x=3t để ra đáp số theo x.
Vì sao đặt t=3x mà không đặt t=x? Vì nếu giữ nguyên biến x, hai mốc sẽ là nghiệm của 3x+1=0 và 3x−5=0, tức x=−31 và x=35 — vẫn đúng, nhưng phải tính khoảng cách bằng phân số ngay từ đầu, dễ nhầm lẫn dấu. Đặt t=3x giữ các mốc là số nguyên đẹp −1 và 5 trong suốt quá trình lập luận, và chỉ đổi sang phân số đúng một lần, ở bước cuối cùng khi chia lại cho 3. Đây là lý do kỹ thuật đổi biến luôn được ưu tiên hơn tính trực tiếp khi hệ số khác 1: nó giữ các con số gọn gàng lâu nhất có thể.
GTNN của M=∣3x+1∣+∣3x−5∣
Bài trước có hệ số 1 trước x nên mốc hiện ngay là số nguyên. Ở đây hệ số 3 làm mốc lệch khỏi số nguyên nếu tính trực tiếp theo x, phải đổi biến trước.
Đặt t=3x, đưa M về đúng dạng ∣t−a∣+∣t−b∣ đã biết cách xử lý, với a=−1,b=5.
Cả hai hạng tử đều mang hệ số 3 trước x, gom chung thành một biến mới t giúp bài toán trở lại đúng dạng quen thuộc, không cần phát minh kỹ thuật mới.
M=∣t+1∣+∣t−5∣≥∣(t+1)−(t−5)∣=6 với mọi t. Vậy M≥6 với mọi x.
Dấu "=" khi (t+1)(t−5)≤0⟺−1≤t≤5. Đổi lại t=3x: −1≤3x≤5⟺−31≤x≤35.
Quy trình chung: hệ số trước x giống nhau ở mọi hạng tử, đặt t= hệ số nhân x, giải bài theo t như bài trước, rồi đổi ngược x=hệ soˆˊt ở bước cuối, không đổi sớm hơn.
Đặt t=3x. Ta có M=∣3x+1∣+∣3x−5∣=∣t+1∣+∣t−5∣. Theo bất đẳng thức ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣: M≥∣(t+1)−(t−5)∣=6. Dấu "=" xảy ra khi (t+1)(t−5)≤0⟺−1≤t≤5, suy ra −1≤3x≤5⟺−31≤x≤35. Thử lại tại x=0 (thuộc đoạn): M=1+5=6, khớp. Vậy minM=6, đạt tại mọi x∈[−31;35].
Nếu hai hệ số khác nhau, ví dụ ∣3x+1∣+∣4x−5∣, phép đặt t=3x không còn làm cả hai hạng tử gọn, kỹ thuật này chỉ dùng khi các hạng tử cùng hệ số trước biến. Trường hợp hệ số khác nhau nằm ngoài phạm vi khóa này.
Kỹ thuật đổi biến t=px này sẽ quay lại ở Chương 3 khi bài toán có thêm một hằng số cộng vào sau tổng hai giá trị tuyệt đối.
GTNN của N=∣4x−3∣+∣4x+9∣
Cùng dạng nhưng hệ số 4 và hai mốc 3,−9 xa nhau hơn, kiểm tra em có áp dụng đúng quy trình không, kể cả khi số không tròn.
Đặt t=4x: N=∣t−3∣+∣t+9∣=∣t−3∣+∣t−(−9)∣≥∣3−(−9)∣=12.
Đặt t=4x. Ta có N=∣4x−3∣+∣4x+9∣=∣t−3∣+∣t+9∣. Theo ∣a∣+∣b∣≥∣a−b∣: N≥∣(t−3)−(t+9)∣=∣−12∣=12. Dấu "=" khi (t−3)(t+9)≤0⟺−9≤t≤3, suy ra −49≤x≤43. Vậy minN=12, đạt tại mọi x∈[−49;43].
Đổi −9→−8: mốc mới là −8,3, khoảng cách 11, minN=11, cùng quy trình, chỉ khác số.
Bẫy hay gặp: đổi biến t=3x rồi quên đổi ngược lại x ở bước tìm dấu bằng, dẫn đến trả lời tập nghiệm là đoạn của t thay vì đoạn của x. Bẫy khác: khi hai hạng tử có hệ số khác nhau, học sinh vẫn cố đặt chung một biến t, cách này chỉ đúng khi hệ số bằng nhau.
Khi hai hạng tử giá trị tuyệt đối cùng chung hệ số trước x, đặt t= hệ số nhân x để đưa bài toán về đúng dạng hai mốc đã học. Chỉ đổi biến ngược lại x ở bước cuối, sau khi đã tìm xong đoạn nghiệm theo t.