Phần

Đặt k chung trong bài toán chia tỉ lệ có ràng buộc hỗn hợp

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng được phương pháp đặt k chung vào bài toán thực tế chia một đại lượng (số cây, khối lượng, tiền) theo tỉ lệ nhiều phần, kể cả khi ràng buộc là hiệu giữa hai phần không liền kề hoặc tổ hợp giữa bốn phần trở lên.

Kiến thức cần có

Bài này dùng lại đúng phương pháp đặt k chung của Bài 1. Kiến thức thêm: khái niệm chia theo tỉ lệ đã học ở lớp 7, thường chỉ có ràng buộc là tổng, nay mở rộng sang ràng buộc là hiệu hoặc tổ hợp nhiều phần — Mở rộng dành cho HSG.

Bài toán chia tỉ lệ chuẩn lớp 7: ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$ , tổng cộng $500$ cây, tính số cây mỗi đội. Đặt $k$ chung, $10k=500$ , $k=50$ , ra ngay $100, 150, 250$ cây. Đây là dạng quen thuộc, ràng buộc là tổng. Bài HSG hỏi khác đi: nếu đề không cho tổng mà cho hiệu giữa đội nhiều nhất và đội ít nhất, em có giải được không?

Bài toán chia tỉ lệ chuẩn lớp 7: ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$, tổng cộng $500$ cây, tính số cây mỗi đội. Đặt $k$ chung, $10k=500$, $k=50$, ra ngay $100, 150, 250$ cây. Đây là dạng quen thuộc, ràng buộc là tổng. Bài HSG hỏi khác đi: nếu đề không cho tổng mà cho hiệu giữa đội nhiều nhất và đội ít nhất, em có giải được không?

Bài toán khởi động

Ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$ . Biết đội thứ ba trồng nhiều hơn đội thứ nhất $45$ cây. Hỏi mỗi đội trồng bao nhiêu cây? Đề không cho tổng, chỉ cho hiệu giữa hai đội không liền kề trong tỉ lệ.

Ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$. Biết đội thứ ba trồng nhiều hơn đội thứ nhất $45$ cây. Hỏi mỗi đội trồng bao nhiêu cây? Đề không cho tổng, chỉ cho hiệu giữa hai đội không liền kề trong tỉ lệ.

Ý tưởng cốt lõi

Vẫn đặt $k$ chung như Bài 1: số cây ba đội là $2k, 3k, 5k$ . Câu "đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây" viết thành $5k - 2k = 45$ , tức $3k=45$ . Không có gì khác về bản chất so với ràng buộc tổng, chỉ khác ở việc dịch đúng câu chữ đề bài thành một phương trình theo $k$ . Đây chính là kỹ năng cốt lõi của dạng bài chia tỉ lệ nâng cao: đọc kỹ đề để xác định đúng tổ hợp nào bằng bao nhiêu, trước khi đặt bút giải.

Vẫn đặt $k$ chung như Bài 1: số cây ba đội là $2k, 3k, 5k$. Câu "đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây" viết thành $5k - 2k = 45$, tức $3k=45$. Không có gì khác về bản chất so với ràng buộc tổng, chỉ khác ở việc dịch đúng câu chữ đề bài thành một phương trình theo $k$. Đây chính là kỹ năng cốt lõi của dạng bài chia tỉ lệ nâng cao: đọc kỹ đề để xác định đúng tổ hợp nào bằng bao nhiêu, trước khi đặt bút giải.

Vì sao dễ sai ở bước này? Học sinh thường vội viết $2k - 5k = 45$ (nhầm chiều hiệu) hoặc cộng nhầm thành tổng. Cách chắc chắn nhất: đọc lại câu X nhiều hơn Y bao nhiêu, và viết đúng thành $X - Y = \text{số đó}$ , luôn để phần nhiều hơn đứng trước dấu trừ.

Vì sao dễ sai ở bước này? Học sinh thường vội viết $2k - 5k = 45$ (nhầm chiều hiệu) hoặc cộng nhầm thành tổng. Cách chắc chắn nhất: đọc lại câu X nhiều hơn Y bao nhiêu, và viết đúng thành $X - Y = \text{số đó}$, luôn để phần nhiều hơn đứng trước dấu trừ.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chia theo tỉ lệ với ràng buộc là hiệu

1
Ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$ . Đội ba trồng nhiều hơn đội một $45$ cây. Tính số cây mỗi đội.
Ba đội trồng cây theo tỉ lệ $2:3:5$. Đội ba trồng nhiều hơn đội một $45$ cây. Tính số cây mỗi đội.
2
Gọi số cây ba đội lần lượt là $2k, 3k, 5k$ ( $k>0$ ).
Gọi số cây ba đội lần lượt là $2k, 3k, 5k$ ($k>0$).
3
Đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây nghĩa là $5k - 2k = 45$ .
Đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây nghĩa là $5k - 2k = 45$.
4
$3k=45$ , suy ra $k=15$ .
$3k=45$, suy ra $k=15$.
5
Đội một: $2\times15=30$ cây. Đội hai: $3\times15=45$ cây. Đội ba: $5\times15=75$ cây.
Đội một: $2\times15=30$ cây. Đội hai: $3\times15=45$ cây. Đội ba: $5\times15=75$ cây.
6
Gọi số cây ba đội lần lượt là $2k,3k,5k$ ( $k>0$ , theo tỉ lệ $2:3:5$ ). Theo đề, đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây, tức $5k-2k=45$ , do đó $3k=45$ , suy ra $k=15$ (TMĐK $k>0$ ). Vậy số cây ba đội là $30, 45, 75$ cây.
Gọi số cây ba đội lần lượt là $2k,3k,5k$ ($k>0$, theo tỉ lệ $2:3:5$). Theo đề, đội ba nhiều hơn đội một $45$ cây, tức $5k-2k=45$, do đó $3k=45$, suy ra $k=15$ (TMĐK $k>0$). Vậy số cây ba đội là $30, 45, 75$ cây.
7
Nếu đổi thành đội một nhiều hơn đội ba $45$ cây, đảo chiều hiệu, giữ tỉ lệ: $2k-5k=45 \Rightarrow -3k=45 \Rightarrow k=-15$ , âm, vô lý với $k>0$ . Đề dạng này không thể xảy ra với tỉ lệ $2:3:5$ vì đội ba luôn nhiều hơn đội một do hệ số lớn hơn — đây là cách tự kiểm tra đề có hợp lý trước khi tính.
Nếu đổi thành đội một nhiều hơn đội ba $45$ cây, đảo chiều hiệu, giữ tỉ lệ: $2k-5k=45 \Rightarrow -3k=45 \Rightarrow k=-15$, âm, vô lý với $k>0$. Đề dạng này không thể xảy ra với tỉ lệ $2:3:5$ vì đội ba luôn nhiều hơn đội một do hệ số lớn hơn — đây là cách tự kiểm tra đề có hợp lý trước khi tính.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Dãy bốn thành phần với ràng buộc tổ hợp

1
Cho $x/3=y/4=z/5=t/6$ và $(x+z)-(y+t)=-20$ . Tìm $x,y,z,t$ .
Cho $x/3=y/4=z/5=t/6$ và $(x+z)-(y+t)=-20$. Tìm $x,y,z,t$.
2
$x=3k,y=4k,z=5k,t=6k$ .
$x=3k,y=4k,z=5k,t=6k$.
3
$(x+z)-(y+t) = (3k+5k)-(4k+6k) = 8k-10k = -2k$ . Theo đề, $-2k=-20$ .
$(x+z)-(y+t) = (3k+5k)-(4k+6k) = 8k-10k = -2k$. Theo đề, $-2k=-20$.
4
$k=10$ .
$k=10$.
5
$x=30,y=40,z=50,t=60$ .
$x=30,y=40,z=50,t=60$.
6
Đặt $x/3=y/4=z/5=t/6=k$ , suy ra $x=3k,y=4k,z=5k,t=6k$ (1). Xét $(x+z)-(y+t)$ : thay (1), $(3k+5k)-(4k+6k)=8k-10k=-2k$ (2). Theo giả thiết $(x+z)-(y+t)=-20$ , kết hợp (2): $-2k=-20$ , suy ra $k=10$ . Vậy $x=30,y=40,z=50,t=60$ .
Đặt $x/3=y/4=z/5=t/6=k$, suy ra $x=3k,y=4k,z=5k,t=6k$ (1). Xét $(x+z)-(y+t)$: thay (1), $(3k+5k)-(4k+6k)=8k-10k=-2k$ (2). Theo giả thiết $(x+z)-(y+t)=-20$, kết hợp (2): $-2k=-20$, suy ra $k=10$. Vậy $x=30,y=40,z=50,t=60$.
7
Nếu đổi vế phải thành $-2k=20$ , tức $(x+z)-(y+t)=20$ , dấu ngược lại: $k=-10$ , âm. Với bốn đại lượng phải dương (số cây, khối lượng...), $k$ âm là vô lý — luôn kiểm tra dấu của $k$ khớp với ngữ cảnh đề bài.
Nếu đổi vế phải thành $-2k=20$, tức $(x+z)-(y+t)=20$, dấu ngược lại: $k=-10$, âm. Với bốn đại lượng phải dương (số cây, khối lượng...), $k$ âm là vô lý — luôn kiểm tra dấu của $k$ khớp với ngữ cảnh đề bài.

Bốn cột tăng dần đúng theo tỉ lệ

3:4:5:6

. Ràng buộc của đề phức tạp hơn (hiệu của hai tổng), nhưng kết quả vẫn phải tôn trọng tỉ lệ ban đầu.Bốn cột tăng dần đúng theo tỉ lệ $3:4:5:6$. Ràng buộc của đề phức tạp hơn (hiệu của hai tổng), nhưng kết quả vẫn phải tôn trọng tỉ lệ ban đầu.

So sánh hai ví dụ trên với bổ đề tổ hợp tuyến tính đã chứng minh ở Bài 1: ràng buộc "nhiều hơn" ở Ví dụ 1 chính là tổ hợp $5k-2k$ , còn ràng buộc "hiệu của hai tổng" ở Ví dụ 2 là tổ hợp $(3k+5k)-(4k+6k)$ . Cả hai chỉ là những trường hợp riêng của cùng một bổ đề: chọn hệ số $p, q, r, s$ rồi tính $pa+qb+rc+sd=(2p+3q+4r+5s)k$ (với dãy $a/2=b/3=c/4=d/5$ chẳng hạn). Nắm chắc điều này, em không cần học thuộc từng dạng bài chia tỉ lệ riêng lẻ — chỉ cần luyện kỹ năng đọc đề và xác định đúng hệ số của từng phần.

So sánh hai ví dụ trên với bổ đề tổ hợp tuyến tính đã chứng minh ở Bài 1: ràng buộc "nhiều hơn" ở Ví dụ 1 chính là tổ hợp $5k-2k$, còn ràng buộc "hiệu của hai tổng" ở Ví dụ 2 là tổ hợp $(3k+5k)-(4k+6k)$. Cả hai chỉ là những trường hợp riêng của cùng một bổ đề: chọn hệ số $p, q, r, s$ rồi tính $pa+qb+rc+sd=(2p+3q+4r+5s)k$ (với dãy $a/2=b/3=c/4=d/5$ chẳng hạn). Nắm chắc điều này, em không cần học thuộc từng dạng bài chia tỉ lệ riêng lẻ — chỉ cần luyện kỹ năng đọc đề và xác định đúng hệ số của từng phần.

Bẫy thường gặp

(1) Dịch sai chiều hiệu: X nhiều hơn Y phải viết $X-Y$ , không phải $Y-X$ . (2) Với dãy bốn thành phần trở lên, gộp nhầm nhóm, ví dụ tính $(x+y)-(z+t)$ trong khi đề hỏi $(x+z)-(y+t)$ . (3) Ra $k$ âm mà không kiểm tra xem điều đó có hợp lý với ngữ cảnh thực tế hay không — số cây, khối lượng đều phải dương.

(1) Dịch sai chiều hiệu: X nhiều hơn Y phải viết $X-Y$, không phải $Y-X$. (2) Với dãy bốn thành phần trở lên, gộp nhầm nhóm, ví dụ tính $(x+y)-(z+t)$ trong khi đề hỏi $(x+z)-(y+t)$. (3) Ra $k$ âm mà không kiểm tra xem điều đó có hợp lý với ngữ cảnh thực tế hay không — số cây, khối lượng đều phải dương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Bài toán chia tỉ lệ thực tế luôn quy về bốn bước: gọi các phần theo $k$ , dịch đúng câu chữ của đề thành một đẳng thức theo $k$ , giải $k$ , rồi suy ngược ra từng phần. Khi ràng buộc là hiệu hoặc tổ hợp nhiều phần, việc dịch đúng câu chữ, không phải việc tính toán, mới là bước dễ sai nhất.

Bài toán chia tỉ lệ thực tế luôn quy về bốn bước: gọi các phần theo $k$, dịch đúng câu chữ của đề thành một đẳng thức theo $k$, giải $k$, rồi suy ngược ra từng phần. Khi ràng buộc là hiệu hoặc tổ hợp nhiều phần, việc dịch đúng câu chữ, không phải việc tính toán, mới là bước dễ sai nhất.

Bài tiếp theo: Chương 2 giới thiệu kỹ thuật thêm bớt, cách thêm hoặc bớt một lượng vào tử và mẫu của một tỉ số, hoặc chọn đúng tổ hợp cộng trừ trong một dãy, để lộ ra một tỉ số mới tính được ngay, kể cả khi tỉ số đó không xuất hiện tường minh trong đề.