Đây là bản xem thử. Bản đầy đủ trên app có thêm bài tập, AI chấm điểm tức thì và biểu đồ theo dõi tiến độ học.
Phần
Nguyên lý nhân
Mục tiêu
Sau bài học này, em nhận ra khi nào một bài toán đếm phải giải bằng quy tắc nhân: nhân số cách của từng bước liên tiếp lại với nhau, và phân biệt được nó với quy tắc cộng vừa học ở bài trước.
Kiến thức cần có trước
Bài này dùng lại đúng cách suy luận của quy tắc cộng, chỉ đổi tình huống: thay vì chọn một trong nhiều phương án tách biệt, công việc bây giờ chia thành nhiều BƯỚC nối tiếp nhau, bước nào cũng phải thực hiện. **Mở rộng dành cho HSG**: việc phát biểu quy tắc nhân thành công thức tổng quát cho mọi bài toán nhiều bước, thay vì chỉ liệt kê tay từng trường hợp, vượt khỏi mức làm quen của chương trình chuẩn Lớp 7.
Khởi động
Từ nhà An đến trường có 3 con đường đi được. Từ trường đến nhà sách có 4 con đường đi được. An muốn đi từ nhà, ghé trường, rồi đến nhà sách. Có bao nhiêu cách đi tất cả? Thử vẽ nháp một sơ đồ 3 con đường tỏa ra từ nhà, mỗi con đường lại tỏa ra 4 con đường đến nhà sách, rồi đếm xem có bao nhiêu lộ trình.
Ý tưởng chính: khi nào nhân
Ở ví dụ trên, mỗi lộ trình hoàn chỉnh gồm hai BƯỚC bắt buộc: chọn đường từ nhà đến trường, rồi chọn đường từ trường đến nhà sách. Với MỖI cách chọn ở bước một, cả 4 cách ở bước hai đều đi được tiếp, không phụ thuộc vào con đường đã chọn trước đó. Vậy tổng số lộ trình là $3 \times 4 = 12$, không phải $3+4=7$.
Phát biểu chung: nếu một công việc chia thành **bước 1** (có $m$ cách thực hiện) rồi đến **bước 2** (có $n$ cách thực hiện, không phụ thuộc bước 1 đã chọn cách nào), thì tổng số cách hoàn thành công việc là $m \times n$. Đây gọi là **quy tắc nhân**, mở rộng tự nhiên cho công việc nhiều hơn hai bước: nhân liên tiếp số cách của TẤT CẢ các bước.
Điểm phân biệt với quy tắc cộng nằm ở chữ "và" so với chữ "hoặc": quy tắc cộng đếm một lựa chọn DUY NHẤT trong các phương án rời nhau; quy tắc nhân đếm một chuỗi lựa chọn, bước nào cũng phải hoàn thành, không bước nào được bỏ qua. Nhầm hai quy tắc là lỗi phổ biến nhất khi mới học đếm nâng cao.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ
Đi qua hai chặng đường
1
Từ nhà An đến trường có 3 con đường, từ trường đến nhà sách có 4 con đường. Hỏi có bao nhiêu cách đi từ nhà An đến nhà sách, biết phải đi qua trường? Công việc chia thành 2 bước bắt buộc: chọn đường nhà–trường, rồi chọn đường trường–nhà sách. Số cách ở bước hai không phụ thuộc con đường đã chọn ở bước một.
2
Bước 1 (nhà đến trường): 3 cách. Bước 2 (trường đến nhà sách): 4 cách. Áp dụng quy tắc nhân: $3 \times 4 = 12$. Vậy có $12$ lộ trình từ nhà An đến nhà sách.
Ví dụ
Số có hai chữ số với ràng buộc từng hàng
1
Lập các số tự nhiên có 2 chữ số, trong đó chữ số hàng chục lấy từ tập $\{1;2;3\}$, chữ số hàng đơn vị lấy từ tập $\{0;2;4\}$ (hai chữ số của một số có thể trùng nhau, ví dụ 22 vẫn hợp lệ). Hỏi có bao nhiêu số như vậy? Đây là công việc 2 bước: chọn chữ số hàng chục, rồi chọn chữ số hàng đơn vị, và cách chọn hàng đơn vị không phụ thuộc hàng chục đã chọn số nào.
2
Bước 1 (hàng chục): 3 cách, vì $\{1;2;3\}$ có 3 phần tử. Bước 2 (hàng đơn vị): 3 cách, vì $\{0;2;4\}$ có 3 phần tử. Áp dụng quy tắc nhân: $3 \times 3 = 9$. Vậy có $9$ số thỏa mãn: 10, 12, 14, 20, 22, 24, 30, 32, 34.
Mỗi hàng ứng với 1 trong 3 chữ số hàng chục $\{1;2;3\}$, mỗi cột ứng với 1 trong 3 chữ số hàng đơn vị $\{0;2;4\}$. Lưới có $3\times 3=9$ ô, đúng bằng số cách quy tắc nhân tính ra.
Ví dụ
Ba bước liên tiếp: mã số học sinh
1
Trường quy định mã số học sinh gồm 1 chữ cái đầu lấy từ tập $\{A;B;C;D\}$, tiếp theo là 2 chữ số PHÂN BIỆT lấy từ 0 đến 9. Hỏi trường tạo được bao nhiêu mã số khác nhau?
2
Bước 1 (chữ cái đầu): 4 cách. (1) Bước 2 (chữ số thứ nhất): 10 cách, vì chưa chữ số nào được dùng. (2) Bước 3 (chữ số thứ hai): 9 cách, vì phải khác chữ số vừa chọn ở bước 2. (3)
3
Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc nhân: $4 \times 10 \times 9 = 360$. Vậy trường tạo được $360$ mã số học sinh khác nhau.
Sai lầm thường gặp
Bẫy thường gặp
Lỗi phổ biến nhất là dùng quy tắc cộng cho một bài toán thật ra là nhiều bước liên tiếp: gặp đề bài có "và", nhiều bạn vẫn cộng số cách lại thay vì nhân. Cách kiểm tra nhanh: nếu công việc hoàn thành CHỈ khi TẤT CẢ các bước đều xong (không được bỏ bước nào), đó là dấu hiệu của quy tắc nhân, không phải quy tắc cộng. Lỗi thứ hai hay gặp ở bài mã số học sinh: quên rằng bước sau bị ràng buộc bởi bước trước (chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất), rồi tính nhầm $4\times 10\times 10=400$ thay vì $360$. Luôn đọc kỹ đề để biết bước sau có bị giảm số lựa chọn hay không.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Bài này dùng lại đúng cách suy luận của quy tắc cộng, chỉ đổi tình huống: thay vì chọn một trong nhiều phương án tách biệt, công việc bây giờ chia thành nhiều BƯỚC nối tiếp nhau, bước nào cũng phải thực hiện. Mở rộng dành cho HSG: việc phát biểu quy tắc nhân thành công thức tổng quát cho mọi bài toán nhiều bước, thay vì chỉ liệt kê tay từng trường hợp, vượt khỏi mức làm quen của chương trình chuẩn Lớp 7.
Ở ví dụ trên, mỗi lộ trình hoàn chỉnh gồm hai BƯỚC bắt buộc: chọn đường từ nhà đến trường, rồi chọn đường từ trường đến nhà sách. Với MỖI cách chọn ở bước một, cả 4 cách ở bước hai đều đi được tiếp, không phụ thuộc vào con đường đã chọn trước đó. Vậy tổng số lộ trình là 3×4=12, không phải 3+4=7.
Phát biểu chung: nếu một công việc chia thành bước 1 (có m cách thực hiện) rồi đến bước 2 (có n cách thực hiện, không phụ thuộc bước 1 đã chọn cách nào), thì tổng số cách hoàn thành công việc là m×n. Đây gọi là quy tắc nhân, mở rộng tự nhiên cho công việc nhiều hơn hai bước: nhân liên tiếp số cách của TẤT CẢ các bước.
Điểm phân biệt với quy tắc cộng nằm ở chữ "và" so với chữ "hoặc": quy tắc cộng đếm một lựa chọn DUY NHẤT trong các phương án rời nhau; quy tắc nhân đếm một chuỗi lựa chọn, bước nào cũng phải hoàn thành, không bước nào được bỏ qua. Nhầm hai quy tắc là lỗi phổ biến nhất khi mới học đếm nâng cao.
Bước 1 (nhà đến trường): 3 cách. Bước 2 (trường đến nhà sách): 4 cách. Áp dụng quy tắc nhân: 3×4=12. Vậy có 12 lộ trình từ nhà An đến nhà sách.
Lập các số tự nhiên có 2 chữ số, trong đó chữ số hàng chục lấy từ tập {1;2;3}, chữ số hàng đơn vị lấy từ tập {0;2;4} (hai chữ số của một số có thể trùng nhau, ví dụ 22 vẫn hợp lệ). Hỏi có bao nhiêu số như vậy? Đây là công việc 2 bước: chọn chữ số hàng chục, rồi chọn chữ số hàng đơn vị, và cách chọn hàng đơn vị không phụ thuộc hàng chục đã chọn số nào.
Bước 1 (hàng chục): 3 cách, vì {1;2;3} có 3 phần tử. Bước 2 (hàng đơn vị): 3 cách, vì {0;2;4} có 3 phần tử. Áp dụng quy tắc nhân: 3×3=9. Vậy có 9 số thỏa mãn: 10, 12, 14, 20, 22, 24, 30, 32, 34.
Mỗi hàng ứng với 1 trong 3 chữ số hàng chục {1;2;3}, mỗi cột ứng với 1 trong 3 chữ số hàng đơn vị {0;2;4}. Lưới có 3×3=9 ô, đúng bằng số cách quy tắc nhân tính ra.
Trường quy định mã số học sinh gồm 1 chữ cái đầu lấy từ tập {A;B;C;D}, tiếp theo là 2 chữ số PHÂN BIỆT lấy từ 0 đến 9. Hỏi trường tạo được bao nhiêu mã số khác nhau?
Kết hợp (1), (2) và (3) theo quy tắc nhân: 4×10×9=360. Vậy trường tạo được 360 mã số học sinh khác nhau.
Lỗi phổ biến nhất là dùng quy tắc cộng cho một bài toán thật ra là nhiều bước liên tiếp: gặp đề bài có "và", nhiều bạn vẫn cộng số cách lại thay vì nhân. Cách kiểm tra nhanh: nếu công việc hoàn thành CHỈ khi TẤT CẢ các bước đều xong (không được bỏ bước nào), đó là dấu hiệu của quy tắc nhân, không phải quy tắc cộng. Lỗi thứ hai hay gặp ở bài mã số học sinh: quên rằng bước sau bị ràng buộc bởi bước trước (chữ số thứ hai phải khác chữ số thứ nhất), rồi tính nhầm 4×10×10=400 thay vì 360. Luôn đọc kỹ đề để biết bước sau có bị giảm số lựa chọn hay không.