Bài học

Biểu diễn số hữu tỉ trên trục số

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em biểu diễn được một số hữu tỉ lên trục số bằng cách chia đều một đơn vị độ dài, và dùng vị trí trên trục số để tìm một số hữu tỉ nằm giữa hai số cho trước.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em biết số hữu tỉ là gì và cách viết nó dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$ . Em cũng nhớ lại từ lớp 6: trục số là một đường thẳng có gốc 0, chiều dương thường về bên phải, và các số nguyên cách đều nhau theo từng đơn vị. Bài này mở rộng trục số đó để chứa cả những số hữu tỉ không nguyên, như $\frac{5}{4}$ hay $-1,5$ .

Bài trước đã cho em biết số hữu tỉ là gì và cách viết nó dưới dạng phân số $\frac{a}{b}$. Em cũng nhớ lại từ lớp 6: trục số là một đường thẳng có gốc 0, chiều dương thường về bên phải, và các số nguyên cách đều nhau theo từng đơn vị. Bài này mở rộng trục số đó để chứa cả những số hữu tỉ không nguyên, như $\frac{5}{4}$ hay $-1,5$.

Khởi động

Trên một trục số chỉ đánh dấu sẵn các số nguyên $-2, -1, 0, 1, 2$ , làm sao em chỉ đúng vị trí của $\frac{3}{2}$ — một số nằm lọt thỏm giữa 1 và 2?

Trên một trục số chỉ đánh dấu sẵn các số nguyên $-2, -1, 0, 1, 2$, làm sao em chỉ đúng vị trí của $\frac{3}{2}$ — một số nằm lọt thỏm giữa 1 và 2?

Kiến thức trọng tâm

Muốn biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ( $b > 0$ ) lên trục số, trước hết chia mỗi đơn vị độ dài thành $b$ phần bằng nhau, rồi từ gốc 0 đếm $a$ phần theo đúng chiều (phải nếu $a>0$ , trái nếu $a<0$ ). Ví dụ muốn biểu diễn $\frac{3}{2}$ , ta chia mỗi đơn vị thành 2 phần bằng nhau rồi đếm 3 phần về bên phải — điểm dừng lại đúng ở giữa 1 và 2.

Muốn biểu diễn số hữu tỉ $\frac{a}{b}$ ($b > 0$) lên trục số, trước hết chia mỗi đơn vị độ dài thành $b$ phần bằng nhau, rồi từ gốc 0 đếm $a$ phần theo đúng chiều (phải nếu $a>0$, trái nếu $a<0$). Ví dụ muốn biểu diễn $\frac{3}{2}$, ta chia mỗi đơn vị thành 2 phần bằng nhau rồi đếm 3 phần về bên phải — điểm dừng lại đúng ở giữa 1 và 2.

Nếu số hữu tỉ là số thập phân, cách làm tương tự: $1,5$ chính là $\frac{3}{2}$ nên biểu diễn ở cùng một vị trí. Với số âm, làm y hệt nhưng đếm về bên trái gốc 0 — chẳng hạn $-\frac{3}{2}$ nằm đối xứng với $\frac{3}{2}$ qua điểm 0.

Vị trí trên trục số cho em một công cụ so sánh trực quan: trong hai số hữu tỉ bất kỳ, số nằm bên trái luôn nhỏ hơn số nằm bên phải, dù cả hai đều âm, đều dương, hay trái dấu nhau. Đây chính là ý nghĩa hình học của phép so sánh mà bài sau sẽ dùng lại bằng các quy tắc tính toán cụ thể.

Một ứng dụng quan trọng của trục số là tìm điểm chính giữa (trung điểm) của hai số hữu tỉ $x$ và $y$ : đó là số hữu tỉ $\frac{x+y}{2}$ , vì nó cách đều $x$ và $y$ về hai phía.

Một ứng dụng quan trọng của trục số là tìm điểm chính giữa (trung điểm) của hai số hữu tỉ $x$ và $y$: đó là số hữu tỉ $\frac{x+y}{2}$, vì nó cách đều $x$ và $y$ về hai phía.

Khi hai số hữu tỉ cần biểu diễn có mẫu số khác nhau, đừng chọn mẫu bừa — hãy chọn mẫu số chung nhỏ nhất của chúng làm số phần chia đơn vị, giống hệt bước quy đồng khi cộng phân số. Chẳng hạn muốn biểu diễn cùng lúc $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$ , chia mỗi đơn vị thành 6 phần (mẫu chung của 2 và 3) sẽ đặt được cả hai điểm chính xác, thay vì phải vẽ hai trục số riêng biệt rồi ước lượng.

Khi hai số hữu tỉ cần biểu diễn có mẫu số khác nhau, đừng chọn mẫu bừa — hãy chọn mẫu số chung nhỏ nhất của chúng làm số phần chia đơn vị, giống hệt bước quy đồng khi cộng phân số. Chẳng hạn muốn biểu diễn cùng lúc $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{3}$, chia mỗi đơn vị thành 6 phần (mẫu chung của 2 và 3) sẽ đặt được cả hai điểm chính xác, thay vì phải vẽ hai trục số riêng biệt rồi ước lượng.

Trục số cũng giúp em hình dung vì sao có vô số số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ bất kỳ, dù chúng gần nhau đến đâu: giữa $0$ và $1$ luôn tìm được $\frac{1}{2}$ , rồi giữa $0$ và $\frac{1}{2}$ lại tìm được $\frac{1}{4}$ , cứ tiếp tục lấy trung điểm mãi mà không bao giờ hết. Tính chất này — gọi là tính "trù mật" của tập số hữu tỉ — khác hẳn với tập số nguyên, nơi giữa 0 và 1 không hề có số nguyên nào khác.

Trục số cũng giúp em hình dung vì sao có vô số số hữu tỉ nằm giữa hai số hữu tỉ bất kỳ, dù chúng gần nhau đến đâu: giữa $0$ và $1$ luôn tìm được $\frac{1}{2}$, rồi giữa $0$ và $\frac{1}{2}$ lại tìm được $\frac{1}{4}$, cứ tiếp tục lấy trung điểm mãi mà không bao giờ hết. Tính chất này — gọi là tính "trù mật" của tập số hữu tỉ — khác hẳn với tập số nguyên, nơi giữa 0 và 1 không hề có số nguyên nào khác.

Ba số hữu tỉ -1,5, 0 và 1,25 trên cùng một trục số — số nào ở bên trái thì nhỏ hơn.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Biểu diễn ba số hữu tỉ trên cùng một trục số

1
Biểu diễn các số $-\frac{3}{2}$ , $0$ , $\frac{5}{4}$ trên cùng một trục số.
Biểu diễn các số $-\frac{3}{2}$, $0$, $\frac{5}{4}$ trên cùng một trục số.
2
Mẫu số của các phân số là 2 và 4, nên chia mỗi đơn vị độ dài thành 4 phần bằng nhau để biểu diễn được cả hai.
3
$-\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}$ : đếm 6 phần về bên trái gốc 0. $0$ chính là gốc. $\frac{5}{4}$ : đếm 5 phần về bên phải gốc 0.
$-\frac{3}{2} = -\frac{6}{4}$: đếm 6 phần về bên trái gốc 0. $0$ chính là gốc. $\frac{5}{4}$: đếm 5 phần về bên phải gốc 0.
4
Vậy trên trục số, theo thứ tự từ trái sang phải ta có $-\frac{3}{2}$ , rồi $0$ , rồi $\frac{5}{4}$ — đúng thứ tự tăng dần của ba số.
Vậy trên trục số, theo thứ tự từ trái sang phải ta có $-\frac{3}{2}$, rồi $0$, rồi $\frac{5}{4}$ — đúng thứ tự tăng dần của ba số.

Ví dụ

Tìm số hữu tỉ nằm chính giữa hai số cho trước

1
Tìm số hữu tỉ nằm đúng giữa $-1$ và $2$ trên trục số.
Tìm số hữu tỉ nằm đúng giữa $-1$ và $2$ trên trục số.
2
Số nằm giữa $x=-1$ và $y=2$ là $\frac{x+y}{2} = \frac{-1+2}{2} = \frac{1}{2}$ .
Số nằm giữa $x=-1$ và $y=2$ là $\frac{x+y}{2} = \frac{-1+2}{2} = \frac{1}{2}$.
3
Từ $\frac{1}{2}$ đến $-1$ là $\frac{3}{2}$ đơn vị; từ $\frac{1}{2}$ đến $2$ cũng là $\frac{3}{2}$ đơn vị — hai khoảng cách bằng nhau, đúng là điểm giữa.
Từ $\frac{1}{2}$ đến $-1$ là $\frac{3}{2}$ đơn vị; từ $\frac{1}{2}$ đến $2$ cũng là $\frac{3}{2}$ đơn vị — hai khoảng cách bằng nhau, đúng là điểm giữa.
4
Vậy số hữu tỉ nằm chính giữa $-1$ và $2$ là $\frac{1}{2}$ .
Vậy số hữu tỉ nằm chính giữa $-1$ và $2$ là $\frac{1}{2}$.

Ví dụ

Tìm vị trí chính giữa hai tầng của một tòa nhà (dạng thi)

1
Trên bảng điều khiển thang máy, tầng hầm ứng với vị trí $-1$ và tầng lửng ứng với vị trí $\frac{5}{2}$ trên một trục số biểu diễn các tầng. Tìm vị trí chính giữa hai tầng này.
Trên bảng điều khiển thang máy, tầng hầm ứng với vị trí $-1$ và tầng lửng ứng với vị trí $\frac{5}{2}$ trên một trục số biểu diễn các tầng. Tìm vị trí chính giữa hai tầng này.
2
Vị trí giữa $-1$ và $\frac{5}{2}$ là $\frac{-1 + \frac{5}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$ .
Vị trí giữa $-1$ và $\frac{5}{2}$ là $\frac{-1 + \frac{5}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{4}$.
3
Vì $0 < \frac{3}{4} < 1$ , vị trí này nằm giữa tầng trệt (0) và tầng 1, không trùng với tầng nào có sẵn — hợp lý vì đây là điểm chia đôi một khoảng lệch.
Vì $0 < \frac{3}{4} < 1$, vị trí này nằm giữa tầng trệt (0) và tầng 1, không trùng với tầng nào có sẵn — hợp lý vì đây là điểm chia đôi một khoảng lệch.
4
Vậy vị trí chính giữa tầng hầm và tầng lửng trên trục số là $\frac{3}{4}$ .
Vậy vị trí chính giữa tầng hầm và tầng lửng trên trục số là $\frac{3}{4}$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn quên chia đơn vị độ dài đúng theo mẫu số, dẫn đến biểu diễn sai vị trí — ví dụ đặt $\frac{2}{3}$ ở đúng vị trí $\frac{1}{2}$ vì chỉ chia đôi đơn vị theo thói quen. Một lỗi khác là quên đổi dấu chiều đếm với số âm, đếm nhầm sang bên phải thay vì bên trái gốc 0.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Biểu diễn $\frac{a}{b}$ ( $b>0$ ) trên trục số bằng cách chia mỗi đơn vị thành $b$ phần bằng nhau, rồi đếm $a$ phần theo chiều dương (nếu $a>0$ ) hoặc chiều âm (nếu $a<0$ ). Số bên trái luôn nhỏ hơn số bên phải. Trung điểm của $x$ và $y$ là $\frac{x+y}{2}$ .

Biểu diễn $\frac{a}{b}$ ($b>0$) trên trục số bằng cách chia mỗi đơn vị thành $b$ phần bằng nhau, rồi đếm $a$ phần theo chiều dương (nếu $a>0$) hoặc chiều âm (nếu $a<0$). Số bên trái luôn nhỏ hơn số bên phải. Trung điểm của $x$ và $y$ là $\frac{x+y}{2}$.

Bài học tiếp theo biến quan sát "bên trái thì nhỏ hơn" thành những quy tắc so sánh cụ thể bằng phép tính, áp dụng được ngay cả khi không có sẵn hình vẽ trục số hoặc khi các số quá gần nhau để phân biệt bằng mắt thường trên hình.