Bài học

So sánh và sắp xếp số hữu tỉ

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em so sánh được hai số hữu tỉ bất kỳ — kể cả khi chúng âm, dương, phân số hay thập phân — và sắp xếp được một dãy số hữu tỉ theo thứ tự tăng hoặc giảm dần.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước cho em biết vị trí trên trục số: số bên trái nhỏ hơn số bên phải. Em cũng cần nhớ lại cách quy đồng mẫu số hai phân số từ lớp 6 — đưa chúng về cùng một mẫu để so sánh tử số. Bài này biến quan sát trực quan trên trục số thành các bước tính toán cụ thể, dùng được ngay cả khi không vẽ hình.

Khởi động

Hai bạn tranh luận số nào lớn hơn: $-\frac{5}{6}$ hay $-\frac{7}{9}$ . Một bạn nói "9 lớn hơn 6 nên $-\frac{7}{9}$ lớn hơn", bạn kia nói "5 nhỏ hơn 7 nên $-\frac{5}{6}$ lớn hơn". Không thể so sánh trực tiếp tử với tử hay mẫu với mẫu khi hai phân số khác mẫu — vậy phải làm sao?

Hai bạn tranh luận số nào lớn hơn: $-\frac{5}{6}$ hay $-\frac{7}{9}$. Một bạn nói "9 lớn hơn 6 nên $-\frac{7}{9}$ lớn hơn", bạn kia nói "5 nhỏ hơn 7 nên $-\frac{5}{6}$ lớn hơn". Không thể so sánh trực tiếp tử với tử hay mẫu với mẫu khi hai phân số khác mẫu — vậy phải làm sao?

Kiến thức trọng tâm

Muốn so sánh hai số hữu tỉ, cách chắc chắn nhất là quy đồng mẫu số dương rồi so sánh tử số: mẫu càng dương và bằng nhau thì phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn. Cách khác là đổi cả hai số về cùng dạng thập phân rồi so sánh trực tiếp — tiện khi các số đã có sẵn dạng thập phân hoặc mẫu số khó quy đồng.

Với số âm, quy tắc lớp 6 vẫn đúng: trong hai số âm, số nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì số đó nhỏ hơn (nằm xa gốc 0 hơn về bên trái). Mọi số âm đều nhỏ hơn 0, và 0 nhỏ hơn mọi số dương — hai mốc này giúp em xếp nhanh một dãy số hữu tỉ trộn cả âm lẫn dương mà không cần quy đồng hết.

Sắp xếp một dãy nhiều số hữu tỉ chỉ là so sánh từng cặp lặp lại: tách riêng nhóm âm, nhóm dương và số 0 (nếu có); trong nhóm âm, số càng "to" về giá trị tuyệt đối càng đứng trước (nhỏ nhất); trong nhóm dương thì ngược lại. Ghép ba nhóm theo thứ tự âm — 0 — dương là được cả dãy đã sắp xếp.

Một cách khác để so sánh hai phân số cùng dấu, nhanh hơn quy đồng đầy đủ, là "nhân chéo": với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ có $b, d > 0$ , so sánh $a \times d$ với $c \times b$ — tích nào lớn hơn thì phân số tương ứng lớn hơn. Cách này thực chất chính là quy đồng, chỉ bỏ qua bước viết lại mẫu số chung, nên cho cùng kết quả nhưng tính nhanh hơn khi mẫu số lớn.

Một cách khác để so sánh hai phân số cùng dấu, nhanh hơn quy đồng đầy đủ, là "nhân chéo": với $\frac{a}{b}$ và $\frac{c}{d}$ có $b, d > 0$, so sánh $a \times d$ với $c \times b$ — tích nào lớn hơn thì phân số tương ứng lớn hơn. Cách này thực chất chính là quy đồng, chỉ bỏ qua bước viết lại mẫu số chung, nên cho cùng kết quả nhưng tính nhanh hơn khi mẫu số lớn.

Khi một dãy số hữu tỉ trộn nhiều dạng viết — vài số là phân số, vài số là thập phân, có cả số nguyên — hãy đổi tất cả về một dạng chung trước khi so sánh. Việc này giúp tính đúng, và còn giúp em nhìn ra lỗi sai nhanh hơn: một khi mọi số đã ở dạng thập phân, việc xếp chúng theo thứ tự chỉ còn là so sánh từng chữ số như hồi tiểu học, không còn phải lo mẫu số khác nhau nữa.

So sánh bằng vị trí: điểm càng về bên trái, số càng nhỏ.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

So sánh hai số hữu tỉ âm cùng mẫu sau khi quy đồng

1
So sánh $-\frac{5}{6}$ và $-\frac{7}{9}$ .
So sánh $-\frac{5}{6}$ và $-\frac{7}{9}$.
2
Mẫu số chung nhỏ nhất của 6 và 9 là 18: $-\frac{5}{6} = -\frac{15}{18}$ và $-\frac{7}{9} = -\frac{14}{18}$ .
Mẫu số chung nhỏ nhất của 6 và 9 là 18: $-\frac{5}{6} = -\frac{15}{18}$ và $-\frac{7}{9} = -\frac{14}{18}$.
3
Vì $-15 < -14$ , nên $-\frac{15}{18} < -\frac{14}{18}$ .
Vì $-15 < -14$, nên $-\frac{15}{18} < -\frac{14}{18}$.
4
Vậy $-\frac{5}{6} < -\frac{7}{9}$ — bạn cho rằng $-\frac{5}{6}$ lớn hơn đã hiểu nhầm quy tắc so sánh số âm.
Vậy $-\frac{5}{6} < -\frac{7}{9}$ — bạn cho rằng $-\frac{5}{6}$ lớn hơn đã hiểu nhầm quy tắc so sánh số âm.

Ví dụ

Sắp xếp một dãy bốn số hữu tỉ theo thứ tự tăng dần

1
Sắp xếp $-1,5$ , $\frac{4}{3}$ , $-\frac{2}{3}$ , $0$ theo thứ tự tăng dần.
Sắp xếp $-1,5$, $\frac{4}{3}$, $-\frac{2}{3}$, $0$ theo thứ tự tăng dần.
2
$-1,5$ giữ nguyên; $\frac{4}{3} \approx 1,33$ ; $-\frac{2}{3} \approx -0,67$ ; $0$ giữ nguyên.
$-1,5$ giữ nguyên; $\frac{4}{3} \approx 1,33$; $-\frac{2}{3} \approx -0,67$; $0$ giữ nguyên.
3
Nhóm âm gồm $-1,5$ và $-0,67$ , trong đó $-1,5$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn nên nhỏ hơn. Số 0 đứng giữa. Nhóm dương chỉ có $1,33$ .
Nhóm âm gồm $-1,5$ và $-0,67$, trong đó $-1,5$ có giá trị tuyệt đối lớn hơn nên nhỏ hơn. Số 0 đứng giữa. Nhóm dương chỉ có $1,33$.
4
Vậy thứ tự tăng dần là $-1,5 < -\frac{2}{3} < 0 < \frac{4}{3}$ .
Vậy thứ tự tăng dần là $-1,5 < -\frac{2}{3} < 0 < \frac{4}{3}$.

Ví dụ

Sắp xếp nhiệt độ đo được trong ngày (dạng thi)

1
Nhiệt độ đo được ở bốn thời điểm trong ngày là $-\frac{3}{2}$ °C, $0,8$ °C, $-1,25$ °C và $\frac{1}{4}$ °C. Sắp xếp các nhiệt độ này theo thứ tự tăng dần.
Nhiệt độ đo được ở bốn thời điểm trong ngày là $-\frac{3}{2}$°C, $0,8$°C, $-1,25$°C và $\frac{1}{4}$°C. Sắp xếp các nhiệt độ này theo thứ tự tăng dần.
2
$-\frac{3}{2} = -1,5$ ; $0,8$ giữ nguyên; $-1,25$ giữ nguyên; $\frac{1}{4} = 0,25$ .
$-\frac{3}{2} = -1,5$; $0,8$ giữ nguyên; $-1,25$ giữ nguyên; $\frac{1}{4} = 0,25$.
3
Trong hai số âm $-1,5$ và $-1,25$ : $1,5 > 1,25$ nên $-1,5 < -1,25$ .
Trong hai số âm $-1,5$ và $-1,25$: $1,5 > 1,25$ nên $-1,5 < -1,25$.
4
Trong hai số dương $0,25$ và $0,8$ : rõ ràng $0,25 < 0,8$ .
Trong hai số dương $0,25$ và $0,8$: rõ ràng $0,25 < 0,8$.
5
Vậy thứ tự tăng dần là $-\frac{3}{2} < -1,25 < \frac{1}{4} < 0,8$ — nhiệt độ tăng dần từ lạnh nhất đến ấm nhất trong ngày.
Vậy thứ tự tăng dần là $-\frac{3}{2} < -1,25 < \frac{1}{4} < 0,8$ — nhiệt độ tăng dần từ lạnh nhất đến ấm nhất trong ngày.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn đem quy tắc so sánh số dương áp trực tiếp lên số âm — thấy 7 > 6 rồi kết luận $-\frac{7}{9} > -\frac{5}{6}$ ngay, quên mất dấu trừ làm đảo chiều so sánh. Một lỗi khác là quy đồng sai mẫu chung, chẳng hạn lấy 6×9=54 làm mẫu chung thay vì mẫu chung nhỏ nhất 18, khiến phép tính rối hơn cần thiết dù kết quả cuối vẫn đúng nếu không tính nhầm. Một lỗi thứ ba, ít gặp hơn nhưng vẫn xảy ra, là quên số 0 khi sắp xếp một dãy trộn cả âm lẫn dương — nhiều bạn ghép 0 vào nhóm dương hoặc bỏ sót không xếp nó vào đâu cả.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

So sánh số hữu tỉ bằng cách quy đồng mẫu dương rồi so tử, hoặc đổi về cùng dạng thập phân. Số âm càng lớn về giá trị tuyệt đối thì càng nhỏ. Mọi số âm nhỏ hơn 0, mọi số dương lớn hơn 0. Khi sắp xếp một dãy dài, tách riêng ba nhóm âm — 0 — dương trước rồi mới so sánh trong từng nhóm sẽ nhanh và ít sai hơn so với so sánh lần lượt từng cặp một.

Bài học tiếp theo dùng chính khoảng cách đến gốc 0 mà em vừa quan sát — gọi tên chính thức là giá trị tuyệt đối — để đo "độ lớn" của một số hữu tỉ bất kể dấu.