Bài học

Cộng và trừ đa thức nhiều biến

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em cộng và trừ được hai đa thức nhiều biến, biết áp dụng đúng quy tắc dấu ngoặc khi bỏ ngoặc có dấu trừ đứng trước, và thu gọn được kết quả cuối cùng.

Kiến thức nền cần nhớ

Hai bài trước đã cho em công cụ thu gọn một đa thức bằng cách gộp hạng tử đồng dạng. Em cũng cần nhớ lại quy tắc dấu ngoặc đã học ở lớp dưới: dấu cộng đứng trước ngoặc thì bỏ ngoặc giữ nguyên dấu các số hạng bên trong, còn dấu trừ đứng trước ngoặc thì bỏ ngoặc phải đổi dấu tất cả các số hạng bên trong. Quy tắc này áp dụng y hệt khi ngoặc chứa cả đơn thức nhiều biến.

Khởi động

Tổ 1 đo được diện tích phần vườn trồng rau là $A = 3x^2y - 2xy + 5$ (m²), tổ 2 đo được diện tích phần vườn trồng hoa là $B = x^2y + 4xy - 3$ (m²). Cô giáo hỏi cả lớp: nếu ghép cả hai phần vườn lại thì tổng diện tích là bao nhiêu, và nếu phần rau lớn hơn phần hoa bao nhiêu mét vuông thì tính thế nào? Cả hai câu hỏi đều cần làm việc trên hai đa thức cùng lúc.

Kiến thức trọng tâm

Muốn cộng hai đa thức nhiều biến, ta viết tổng của chúng trong hai dấu ngoặc nối bằng dấu cộng, sau đó bỏ ngoặc (giữ nguyên dấu vì ngoặc có dấu cộng phía trước) rồi gộp các hạng tử đồng dạng lại — đúng kỹ thuật thu gọn đã học ở bài trước. Ví dụ với $A = 3x^2y - 2xy + 5$ và $B = x^2y + 4xy - 3$ : $A + B = (3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3) = 3x^2y - 2xy + 5 + x^2y + 4xy - 3$ , sau đó nhóm và thu gọn.

Muốn cộng hai đa thức nhiều biến, ta viết tổng của chúng trong hai dấu ngoặc nối bằng dấu cộng, sau đó bỏ ngoặc (giữ nguyên dấu vì ngoặc có dấu cộng phía trước) rồi gộp các hạng tử đồng dạng lại — đúng kỹ thuật thu gọn đã học ở bài trước. Ví dụ với $A = 3x^2y - 2xy + 5$ và $B = x^2y + 4xy - 3$: $A + B = (3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3) = 3x^2y - 2xy + 5 + x^2y + 4xy - 3$, sau đó nhóm và thu gọn.

Muốn trừ hai đa thức, ta viết hiệu của chúng trong hai dấu ngoặc nối bằng dấu trừ. Lúc bỏ ngoặc, ngoặc thứ nhất (đứng ngay sau dấu bằng, không có dấu trừ phía trước nó) giữ nguyên dấu, còn ngoặc thứ hai — đứng sau dấu trừ của phép trừ — phải đổi dấu TẤT CẢ các hạng tử bên trong. Đây là bước học sinh sai nhiều nhất: quên đổi dấu, hoặc chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên trong ngoặc thứ hai mà bỏ sót các hạng tử còn lại.

Sau khi bỏ ngoặc đúng quy tắc, bước còn lại chỉ là thu gọn: nhóm các hạng tử đồng dạng, cộng đại số hệ số của chúng, và viết kết quả. Một mẹo kiểm tra nhanh: số hạng tử của đa thức kết quả không thể nhiều hơn tổng số hạng tử của hai đa thức ban đầu — nếu nhiều hơn, chắc chắn có bước bỏ ngoặc hoặc gộp hạng tử bị sai.

Một cách kiểm tra khác, nhanh hơn cả việc tính lại từ đầu: bậc của tổng hoặc hiệu hai đa thức không thể vượt quá bậc lớn nhất trong hai đa thức ban đầu, trừ khi các hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu lẫn nhau. Ở ví dụ $A = 3x^2y - 2xy + 5$ (bậc $3$ ) cộng $B = x^2y + 4xy - 3$ (bậc $3$ ), kết quả không thể có hạng tử bậc $4$ hay cao hơn — nếu tính ra một hạng tử như vậy, chắc chắn đã cộng nhầm số mũ thay vì cộng hệ số.

Một cách kiểm tra khác, nhanh hơn cả việc tính lại từ đầu: bậc của tổng hoặc hiệu hai đa thức không thể vượt quá bậc lớn nhất trong hai đa thức ban đầu, trừ khi các hạng tử bậc cao nhất triệt tiêu lẫn nhau. Ở ví dụ $A = 3x^2y - 2xy + 5$ (bậc $3$) cộng $B = x^2y + 4xy - 3$ (bậc $3$), kết quả không thể có hạng tử bậc $4$ hay cao hơn — nếu tính ra một hạng tử như vậy, chắc chắn đã cộng nhầm số mũ thay vì cộng hệ số.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Cộng hai đa thức nhiều biến

1
Tính $(3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3)$ .
Tính $(3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3)$.
2
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu cộng nên giữ nguyên dấu mọi hạng tử: $3x^2y - 2xy + 5 + x^2y + 4xy - 3$ .
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu cộng nên giữ nguyên dấu mọi hạng tử: $3x^2y - 2xy + 5 + x^2y + 4xy - 3$.
3
Nhóm $x^2y$ : $3+1=4$ . Nhóm $xy$ : $-2+4=2$ . Nhóm số: $5-3=2$ . Kết quả $4x^2y + 2xy + 2$ .
Nhóm $x^2y$: $3+1=4$. Nhóm $xy$: $-2+4=2$. Nhóm số: $5-3=2$. Kết quả $4x^2y + 2xy + 2$.
4
Vậy $(3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3) = 4x^2y + 2xy + 2$ .
Vậy $(3x^2y - 2xy + 5) + (x^2y + 4xy - 3) = 4x^2y + 2xy + 2$.

Ví dụ

Trừ hai đa thức nhiều biến — chú ý đổi dấu

1
Tính $(2x^3 - y^3) - (x^3 + 2y^3 - 1)$ .
Tính $(2x^3 - y^3) - (x^3 + 2y^3 - 1)$.
2
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu trừ nên phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong: $2x^3 - y^3 - x^3 - 2y^3 + 1$ .
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu trừ nên phải đổi dấu tất cả các hạng tử bên trong: $2x^3 - y^3 - x^3 - 2y^3 + 1$.
3
Nhóm $x^3$ : $2-1=1$ . Nhóm $y^3$ : $-1-2=-3$ . Số hạng tự do giữ nguyên: $+1$ . Kết quả $x^3 - 3y^3 + 1$ .
Nhóm $x^3$: $2-1=1$. Nhóm $y^3$: $-1-2=-3$. Số hạng tự do giữ nguyên: $+1$. Kết quả $x^3 - 3y^3 + 1$.
4
Vậy $(2x^3 - y^3) - (x^3 + 2y^3 - 1) = x^3 - 3y^3 + 1$ .
Vậy $(2x^3 - y^3) - (x^3 + 2y^3 - 1) = x^3 - 3y^3 + 1$.

Ví dụ

Cộng hai đa thức rồi tính giá trị tại x = 1, y = −1 (dạng thi)

1
Cho $A = 2x^2y - 3xy + 4$ và $B = -x^2y + 5xy - 6$ . Tính $A + B$ , rồi tính giá trị của kết quả tại $x = 1$ , $y = -1$ .
Cho $A = 2x^2y - 3xy + 4$ và $B = -x^2y + 5xy - 6$. Tính $A + B$, rồi tính giá trị của kết quả tại $x = 1$, $y = -1$.
2
$A + B = 2x^2y - 3xy + 4 - x^2y + 5xy - 6$ . Nhóm $x^2y$ : $2-1=1$ . Nhóm $xy$ : $-3+5=2$ . Nhóm số: $4-6=-2$ . Kết quả $x^2y + 2xy - 2$ .
$A + B = 2x^2y - 3xy + 4 - x^2y + 5xy - 6$. Nhóm $x^2y$: $2-1=1$. Nhóm $xy$: $-3+5=2$. Nhóm số: $4-6=-2$. Kết quả $x^2y + 2xy - 2$.
3
Với $x=1$ , $y=-1$ : $x^2y = 1^2 \times (-1) = -1$ ; $2xy = 2 \times 1 \times (-1) = -2$ . Tổng: $-1 - 2 - 2 = -5$ .
Với $x=1$, $y=-1$: $x^2y = 1^2 \times (-1) = -1$; $2xy = 2 \times 1 \times (-1) = -2$. Tổng: $-1 - 2 - 2 = -5$.
4
Vậy $A + B = x^2y + 2xy - 2$ , và giá trị của biểu thức này tại $x=1$ , $y=-1$ bằng $-5$ .
Vậy $A + B = x^2y + 2xy - 2$, và giá trị của biểu thức này tại $x=1$, $y=-1$ bằng $-5$.

Ví dụ

Tìm đa thức chưa biết từ một phép cộng cho trước (dạng thi)

1
Tìm đa thức $C$ biết $C + (x^2y - 2xy^2) = 3x^2y + xy^2$ .
Tìm đa thức $C$ biết $C + (x^2y - 2xy^2) = 3x^2y + xy^2$.
2
Vì $C$ cộng với $(x^2y - 2xy^2)$ cho ra $3x^2y + xy^2$ , nên $C$ bằng hiệu của hai vế: $C = (3x^2y + xy^2) - (x^2y - 2xy^2)$ .
Vì $C$ cộng với $(x^2y - 2xy^2)$ cho ra $3x^2y + xy^2$, nên $C$ bằng hiệu của hai vế: $C = (3x^2y + xy^2) - (x^2y - 2xy^2)$.
3
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu trừ nên đổi dấu tất cả: $3x^2y + xy^2 - x^2y + 2xy^2$ .
Ngoặc thứ hai đứng sau dấu trừ nên đổi dấu tất cả: $3x^2y + xy^2 - x^2y + 2xy^2$.
4
Nhóm $x^2y$ : $3-1=2$ . Nhóm $xy^2$ : $1+2=3$ . Kết quả $2x^2y + 3xy^2$ .
Nhóm $x^2y$: $3-1=2$. Nhóm $xy^2$: $1+2=3$. Kết quả $2x^2y + 3xy^2$.
5
Vậy $C = 2x^2y + 3xy^2$ .
Vậy $C = 2x^2y + 3xy^2$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm nặng nhất khi trừ đa thức là chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên trong ngoặc thứ hai, quên đổi dấu các hạng tử còn lại — chẳng hạn viết $(x^2 - 2xy) - (x^2 + y) = -2xy + y$ (thiếu đổi dấu cho cả $x^2$ lẫn dấu của $y$ ). Luôn viết tường minh bước bỏ ngoặc ra giấy nháp trước khi gộp hạng tử, đừng làm tắt trong đầu.

Sai lầm nặng nhất khi trừ đa thức là chỉ đổi dấu hạng tử đầu tiên trong ngoặc thứ hai, quên đổi dấu các hạng tử còn lại — chẳng hạn viết $(x^2 - 2xy) - (x^2 + y) = -2xy + y$ (thiếu đổi dấu cho cả $x^2$ lẫn dấu của $y$). Luôn viết tường minh bước bỏ ngoặc ra giấy nháp trước khi gộp hạng tử, đừng làm tắt trong đầu.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Cộng hai đa thức: bỏ ngoặc giữ nguyên dấu (vì đứng sau dấu cộng) rồi thu gọn. Trừ hai đa thức: bỏ ngoặc, ngoặc thứ hai (sau dấu trừ) phải đổi dấu TẤT CẢ hạng tử bên trong, rồi thu gọn. Luôn viết rõ bước bỏ ngoặc trước khi gộp hạng tử đồng dạng.

Cộng và trừ đa thức xong, bài tiếp theo chuyển sang phép nhân: nhân một đơn thức với một đa thức. Em sẽ thấy quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số của Chương 1 quay lại, lần này áp dụng cho từng hạng tử của cả một đa thức.