Bài học

Đa thức nhiều biến — thu gọn và bậc của đa thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhận ra được hai đơn thức đồng dạng, thu gọn được một đa thức bằng cách cộng các hạng tử đồng dạng, và xác định đúng bậc của đa thức đã thu gọn.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài trước đã cho em cách xác định hệ số, phần biến và bậc của một đơn thức — chẳng hạn $3x^2y$ có phần biến $x^2y$ và bậc $3$ . Bài này ghép nhiều đơn thức như vậy lại bằng phép cộng, và phần biến của bài trước chính là thứ em sẽ dùng để nhận ra hai đơn thức nào "cùng loại" với nhau.

Bài trước đã cho em cách xác định hệ số, phần biến và bậc của một đơn thức — chẳng hạn $3x^2y$ có phần biến $x^2y$ và bậc $3$. Bài này ghép nhiều đơn thức như vậy lại bằng phép cộng, và phần biến của bài trước chính là thứ em sẽ dùng để nhận ra hai đơn thức nào "cùng loại" với nhau.

Khởi động

Cô giáo giao cho tổ 1 tính chu vi một khu vườn hình chữ nhật ghép từ nhiều mảnh nhỏ, và kết quả bạn A viết ra là $3xy + 2x - 5xy + x - xy$ . Bạn B nhìn vào thấy dài dòng, liền hỏi: "Sao không gộp mấy số hạng giống nhau lại cho gọn?" Bạn A gộp thử thì được $-3xy + 3x$ — ngắn hơn hẳn ba lần. Vậy "giống nhau" ở đây nghĩa là gì, và gộp thế nào cho đúng?

Cô giáo giao cho tổ 1 tính chu vi một khu vườn hình chữ nhật ghép từ nhiều mảnh nhỏ, và kết quả bạn A viết ra là $3xy + 2x - 5xy + x - xy$. Bạn B nhìn vào thấy dài dòng, liền hỏi: "Sao không gộp mấy số hạng giống nhau lại cho gọn?" Bạn A gộp thử thì được $-3xy + 3x$ — ngắn hơn hẳn ba lần. Vậy "giống nhau" ở đây nghĩa là gì, và gộp thế nào cho đúng?

Kiến thức trọng tâm

Đa thức nhiều biến là một tổng của nhiều đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là một hạng tử của đa thức. Chẳng hạn $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2$ là một đa thức có bốn hạng tử. Trong đa thức này, hai hạng tử được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng phần biến — tức cùng các chữ và cùng số mũ tương ứng của từng chữ đó, chỉ khác nhau ở hệ số. Ở ví dụ trên, $3x^2y$ và $2x^2y$ đồng dạng với nhau (cùng phần biến $x^2y$ ); $-5xy^2$ và $xy^2$ cũng đồng dạng với nhau (cùng phần biến $xy^2$ ).

Đa thức nhiều biến là một tổng của nhiều đơn thức; mỗi đơn thức trong tổng đó gọi là một hạng tử của đa thức. Chẳng hạn $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2$ là một đa thức có bốn hạng tử. Trong đa thức này, hai hạng tử được gọi là đồng dạng nếu chúng có cùng phần biến — tức cùng các chữ và cùng số mũ tương ứng của từng chữ đó, chỉ khác nhau ở hệ số. Ở ví dụ trên, $3x^2y$ và $2x^2y$ đồng dạng với nhau (cùng phần biến $x^2y$); $-5xy^2$ và $xy^2$ cũng đồng dạng với nhau (cùng phần biến $xy^2$).

Thu gọn đa thức là gộp các hạng tử đồng dạng lại thành một hạng tử duy nhất, bằng cách cộng đại số các hệ số của chúng và giữ nguyên phần biến chung. Với ví dụ trên: gộp $3x^2y$ và $2x^2y$ được $(3+2)x^2y = 5x^2y$ ; gộp $-5xy^2$ và $xy^2$ được $(-5+1)xy^2 = -4xy^2$ . Vậy đa thức thu gọn còn lại hai hạng tử: $5x^2y - 4xy^2$ . Một đa thức đã thu gọn không còn hai hạng tử nào đồng dạng với nhau nữa.

Thu gọn đa thức là gộp các hạng tử đồng dạng lại thành một hạng tử duy nhất, bằng cách cộng đại số các hệ số của chúng và giữ nguyên phần biến chung. Với ví dụ trên: gộp $3x^2y$ và $2x^2y$ được $(3+2)x^2y = 5x^2y$; gộp $-5xy^2$ và $xy^2$ được $(-5+1)xy^2 = -4xy^2$. Vậy đa thức thu gọn còn lại hai hạng tử: $5x^2y - 4xy^2$. Một đa thức đã thu gọn không còn hai hạng tử nào đồng dạng với nhau nữa.

Bậc của một đa thức (đã thu gọn) bằng bậc lớn nhất trong các hạng tử của nó. Với đa thức $x^3 - 2x^2y + y^3$ , ba hạng tử có bậc lần lượt là $3$ , $3$ , $3$ (đều đã thu gọn, không có hạng tử đồng dạng nào để gộp thêm), nên bậc của cả đa thức là $3$ . Lưu ý: phải thu gọn đa thức TRƯỚC khi xác định bậc — nếu chưa gộp hết hạng tử đồng dạng, một hạng tử có thể bị triệt tiêu hoàn toàn khi cộng, và bậc "nhìn thấy" ban đầu có thể sai so với bậc thật của kết quả.

Bậc của một đa thức (đã thu gọn) bằng bậc lớn nhất trong các hạng tử của nó. Với đa thức $x^3 - 2x^2y + y^3$, ba hạng tử có bậc lần lượt là $3$, $3$, $3$ (đều đã thu gọn, không có hạng tử đồng dạng nào để gộp thêm), nên bậc của cả đa thức là $3$. Lưu ý: phải thu gọn đa thức TRƯỚC khi xác định bậc — nếu chưa gộp hết hạng tử đồng dạng, một hạng tử có thể bị triệt tiêu hoàn toàn khi cộng, và bậc "nhìn thấy" ban đầu có thể sai so với bậc thật của kết quả.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Thu gọn một đa thức bằng cách gộp hạng tử đồng dạng

1
Thu gọn đa thức $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2$ .
Thu gọn đa thức $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2$.
2
$3x^2y$ và $2x^2y$ có cùng phần biến $x^2y$ nên đồng dạng; $-5xy^2$ và $xy^2$ có cùng phần biến $xy^2$ nên đồng dạng.
$3x^2y$ và $2x^2y$ có cùng phần biến $x^2y$ nên đồng dạng; $-5xy^2$ và $xy^2$ có cùng phần biến $xy^2$ nên đồng dạng.
3
Nhóm $x^2y$ : $3 + 2 = 5$ , được $5x^2y$ . Nhóm $xy^2$ : $-5 + 1 = -4$ , được $-4xy^2$ .
Nhóm $x^2y$: $3 + 2 = 5$, được $5x^2y$. Nhóm $xy^2$: $-5 + 1 = -4$, được $-4xy^2$.
4
Vậy $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2 = 5x^2y - 4xy^2$ , đa thức đã thu gọn còn hai hạng tử.
Vậy $3x^2y - 5xy^2 + 2x^2y + xy^2 = 5x^2y - 4xy^2$, đa thức đã thu gọn còn hai hạng tử.

Ví dụ

Thu gọn rồi xác định bậc của đa thức

1
Thu gọn đa thức $4x^3 - 2x^2y + y^3 - x^3$ , rồi tìm bậc của nó.
Thu gọn đa thức $4x^3 - 2x^2y + y^3 - x^3$, rồi tìm bậc của nó.
2
$4x^3$ và $-x^3$ có cùng phần biến $x^3$ nên đồng dạng với nhau; hai hạng tử $-2x^2y$ và $y^3$ không đồng dạng với hạng tử nào khác trong đa thức.
$4x^3$ và $-x^3$ có cùng phần biến $x^3$ nên đồng dạng với nhau; hai hạng tử $-2x^2y$ và $y^3$ không đồng dạng với hạng tử nào khác trong đa thức.
3
Gộp $4x^3$ và $-x^3$ : $4 - 1 = 3$ , được $3x^3$ . Đa thức thu gọn là $3x^3 - 2x^2y + y^3$ .
Gộp $4x^3$ và $-x^3$: $4 - 1 = 3$, được $3x^3$. Đa thức thu gọn là $3x^3 - 2x^2y + y^3$.
4
Ba hạng tử $3x^3$ , $-2x^2y$ , $y^3$ có bậc lần lượt là $3$ , $2+1=3$ , $3$ . Bậc lớn nhất trong ba hạng tử là $3$ .
Ba hạng tử $3x^3$, $-2x^2y$, $y^3$ có bậc lần lượt là $3$, $2+1=3$, $3$. Bậc lớn nhất trong ba hạng tử là $3$.
5
Vậy đa thức thu gọn là $3x^3 - 2x^2y + y^3$ và có bậc $3$ .
Vậy đa thức thu gọn là $3x^3 - 2x^2y + y^3$ và có bậc $3$.

Ví dụ

Thu gọn diện tích khu vườn rồi tính giá trị (dạng thi)

1
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích được biểu diễn bởi biểu thức $3x^2y + 2xy^2 - x^2y + 5xy^2$ (đơn vị: m²), với $x$ , $y$ tính bằng mét. Thu gọn biểu thức, tìm bậc, rồi tính diện tích khi $x = 2$ , $y = 1$ .
Một khu vườn hình chữ nhật có diện tích được biểu diễn bởi biểu thức $3x^2y + 2xy^2 - x^2y + 5xy^2$ (đơn vị: m²), với $x$, $y$ tính bằng mét. Thu gọn biểu thức, tìm bậc, rồi tính diện tích khi $x = 2$, $y = 1$.
2
Nhóm $3x^2y$ và $-x^2y$ : $3 - 1 = 2$ , được $2x^2y$ . Nhóm $2xy^2$ và $5xy^2$ : $2 + 5 = 7$ , được $7xy^2$ . Biểu thức thu gọn là $2x^2y + 7xy^2$ .
Nhóm $3x^2y$ và $-x^2y$: $3 - 1 = 2$, được $2x^2y$. Nhóm $2xy^2$ và $5xy^2$: $2 + 5 = 7$, được $7xy^2$. Biểu thức thu gọn là $2x^2y + 7xy^2$.
3
Hai hạng tử $2x^2y$ và $7xy^2$ đều có bậc $2 + 1 = 3$ , nên bậc của biểu thức là $3$ .
Hai hạng tử $2x^2y$ và $7xy^2$ đều có bậc $2 + 1 = 3$, nên bậc của biểu thức là $3$.
4
Với $x = 2$ , $y = 1$ : $2x^2y = 2 \times 4 \times 1 = 8$ ; $7xy^2 = 7 \times 2 \times 1 = 14$ . Tổng diện tích là $8 + 14 = 22$ .
Với $x = 2$, $y = 1$: $2x^2y = 2 \times 4 \times 1 = 8$; $7xy^2 = 7 \times 2 \times 1 = 14$. Tổng diện tích là $8 + 14 = 22$.
5
Vậy biểu thức thu gọn là $2x^2y + 7xy^2$ , có bậc $3$ , và khi $x = 2$ , $y = 1$ diện tích khu vườn bằng $22$ m².
Vậy biểu thức thu gọn là $2x^2y + 7xy^2$, có bậc $3$, và khi $x = 2$, $y = 1$ diện tích khu vườn bằng $22$ m².

Ví dụ

Kiểm tra lại một phép thu gọn đã cho (dạng thi)

1
Bạn Hoa thu gọn đa thức $5x^2y - 3xy^2 + 2x^2y - xy^2$ và được kết quả $3x^2y - 2xy^2$ . Kiểm tra xem bạn Hoa làm đúng không; nếu sai, sửa lại và tìm bậc của đa thức sau khi thu gọn đúng.
Bạn Hoa thu gọn đa thức $5x^2y - 3xy^2 + 2x^2y - xy^2$ và được kết quả $3x^2y - 2xy^2$. Kiểm tra xem bạn Hoa làm đúng không; nếu sai, sửa lại và tìm bậc của đa thức sau khi thu gọn đúng.
2
Nhóm $5x^2y$ và $2x^2y$ : $5 + 2 = 7$ , được $7x^2y$ . Nhóm $-3xy^2$ và $-xy^2$ : $-3 - 1 = -4$ , được $-4xy^2$ .
Nhóm $5x^2y$ và $2x^2y$: $5 + 2 = 7$, được $7x^2y$. Nhóm $-3xy^2$ và $-xy^2$: $-3 - 1 = -4$, được $-4xy^2$.
3
Kết quả đúng là $7x^2y - 4xy^2$ , khác với $3x^2y - 2xy^2$ mà bạn Hoa đưa ra. Vậy bạn Hoa đã cộng sai hệ số ở cả hai nhóm.
Kết quả đúng là $7x^2y - 4xy^2$, khác với $3x^2y - 2xy^2$ mà bạn Hoa đưa ra. Vậy bạn Hoa đã cộng sai hệ số ở cả hai nhóm.
4
Hai hạng tử $7x^2y$ và $-4xy^2$ đều có bậc $2 + 1 = 3$ , nên bậc của đa thức là $3$ .
Hai hạng tử $7x^2y$ và $-4xy^2$ đều có bậc $2 + 1 = 3$, nên bậc của đa thức là $3$.
5
Vậy bạn Hoa làm sai; kết quả đúng là $7x^2y - 4xy^2$ , có bậc $3$ .
Vậy bạn Hoa làm sai; kết quả đúng là $7x^2y - 4xy^2$, có bậc $3$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là gộp nhầm hai hạng tử KHÔNG đồng dạng, chẳng hạn cộng $3x^2y$ với $5xy^2$ thành $8x^2y^2$ hay $8xy$ — cả hai đều sai, vì phần biến $x^2y$ và $xy^2$ khác nhau nên không được gộp lại. Một lỗi khác là tìm bậc trước khi thu gọn xong, dẫn đến tính luôn cả một hạng tử đã bị triệt tiêu hoàn toàn khi cộng.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Đa thức nhiều biến là tổng các đơn thức (hạng tử). Hai hạng tử đồng dạng khi có cùng phần biến. Thu gọn là cộng đại số hệ số của các hạng tử đồng dạng, giữ nguyên phần biến chung. Bậc của đa thức đã thu gọn là bậc lớn nhất trong các hạng tử còn lại.

Khi đã biết thu gọn một đa thức, bài tiếp theo dùng chính kỹ năng đó để cộng và trừ hai đa thức với nhau — chỉ khác là lần này em làm việc với hai đa thức tách rời, phải để ý thêm quy tắc dấu ngoặc trước khi gộp hạng tử.