Bài học

Nhân đơn thức với đa thức

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em nhân được một đơn thức với một đa thức nhiều biến, áp dụng đúng quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số cho từng hạng tử, và thu gọn được kết quả.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số từ Chương 1: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ . Em cũng cần vững quy tắc nhân dấu: cùng dấu cho kết quả dương, trái dấu cho kết quả âm. Bài này không thêm quy tắc số học mới nào — nó chỉ đòi hỏi em áp dụng đúng cả hai quy tắc trên cho NHIỀU hạng tử cùng lúc thay vì chỉ một.

Em cần nhớ lại quy tắc nhân hai lũy thừa cùng cơ số từ Chương 1: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Em cũng cần vững quy tắc nhân dấu: cùng dấu cho kết quả dương, trái dấu cho kết quả âm. Bài này không thêm quy tắc số học mới nào — nó chỉ đòi hỏi em áp dụng đúng cả hai quy tắc trên cho NHIỀU hạng tử cùng lúc thay vì chỉ một.

Khởi động

Một xưởng may cắt ra những mảnh vải hình chữ nhật, mỗi mảnh có chiều rộng $2x$ (cm) và chiều dài bằng $(3x^2 - 5x + 1)$ (cm) — chiều dài này thay đổi theo từng loại vải nên được viết dưới dạng một đa thức. Muốn biết diện tích một mảnh vải bất kỳ theo $x$ , ta phải nhân $2x$ với CẢ BA hạng tử của đa thức kia, chứ không chỉ hạng tử đầu. Làm sao để không bỏ sót hạng tử nào?

Một xưởng may cắt ra những mảnh vải hình chữ nhật, mỗi mảnh có chiều rộng $2x$ (cm) và chiều dài bằng $(3x^2 - 5x + 1)$ (cm) — chiều dài này thay đổi theo từng loại vải nên được viết dưới dạng một đa thức. Muốn biết diện tích một mảnh vải bất kỳ theo $x$, ta phải nhân $2x$ với CẢ BA hạng tử của đa thức kia, chứ không chỉ hạng tử đầu. Làm sao để không bỏ sót hạng tử nào?

Kiến thức trọng tâm

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với TỪNG hạng tử của đa thức, rồi cộng các tích lại với nhau — đây chính là tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng mà em đã học từ tiểu học, áp dụng cho biểu thức chứa chữ: $A(B + C + D) = AB + AC + AD$ .

Khi nhân từng cặp hạng tử, hệ số nhân với hệ số theo đúng quy tắc dấu, còn phần biến nhân với phần biến bằng cách cộng số mũ của CÙNG một biến (quy tắc $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ của Chương 1). Ví dụ $2x \cdot 3x^2 = (2 \times 3)(x^1 \cdot x^2) = 6x^3$ — hệ số nhân bình thường, số mũ của cùng biến $x$ thì cộng lại chứ không nhân.

Nếu đa thức có nhiều biến, mỗi biến được xử lý độc lập: biến nào có mặt ở cả đơn thức lẫn hạng tử thì cộng số mũ của riêng biến đó; biến nào chỉ có ở một bên thì giữ nguyên số mũ. Chẳng hạn $-3xy \cdot (-2xy^2) = 6x^2y^3$ : số mũ của $x$ là $1+1=2$ , số mũ của $y$ là $1+2=3$ , còn dấu thì âm nhân âm ra dương. Sau khi nhân xong tất cả các cặp, bước cuối là kiểm tra và thu gọn nếu có hai tích nào đồng dạng với nhau.

Nếu đa thức có nhiều biến, mỗi biến được xử lý độc lập: biến nào có mặt ở cả đơn thức lẫn hạng tử thì cộng số mũ của riêng biến đó; biến nào chỉ có ở một bên thì giữ nguyên số mũ. Chẳng hạn $-3xy \cdot (-2xy^2) = 6x^2y^3$: số mũ của $x$ là $1+1=2$, số mũ của $y$ là $1+2=3$, còn dấu thì âm nhân âm ra dương. Sau khi nhân xong tất cả các cặp, bước cuối là kiểm tra và thu gọn nếu có hai tích nào đồng dạng với nhau.

Một cách tự kiểm tra: vì phép nhân đơn thức với đa thức chỉ phân phối chứ không làm mất hay sinh thêm hạng tử, số lượng tích tạo ra phải đúng bằng số hạng tử của đa thức ban đầu — đa thức ba hạng tử luôn cho đúng ba tích trước khi thu gọn. Nếu em đếm được ít hơn, chắc chắn đã bỏ sót một hạng tử khi nhân; nếu nhiều hơn, có thể đã tách nhầm một hạng tử thành hai.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Nhân đơn thức với đa thức một biến

1
Tính $2x(3x^2 - 5x + 1)$ .
Tính $2x(3x^2 - 5x + 1)$.
2
$2x \cdot 3x^2 = 6x^3$ ; $2x \cdot (-5x) = -10x^2$ ; $2x \cdot 1 = 2x$ .
$2x \cdot 3x^2 = 6x^3$; $2x \cdot (-5x) = -10x^2$; $2x \cdot 1 = 2x$.
3
Không có hạng tử nào đồng dạng để gộp thêm, giữ nguyên ba số hạng.
4
Vậy $2x(3x^2 - 5x + 1) = 6x^3 - 10x^2 + 2x$ .
Vậy $2x(3x^2 - 5x + 1) = 6x^3 - 10x^2 + 2x$.

Ví dụ

Nhân đơn thức nhiều biến với đa thức nhiều biến

1
Tính $-3xy(x^2 - 2xy + y^2)$ .
Tính $-3xy(x^2 - 2xy + y^2)$.
2
$-3xy \cdot x^2 = -3x^3y$ ; $-3xy \cdot (-2xy) = 6x^2y^2$ ; $-3xy \cdot y^2 = -3xy^3$ .
$-3xy \cdot x^2 = -3x^3y$; $-3xy \cdot (-2xy) = 6x^2y^2$; $-3xy \cdot y^2 = -3xy^3$.
3
Ba phần biến $x^3y$ , $x^2y^2$ , $xy^3$ khác nhau, không có hạng tử đồng dạng.
Ba phần biến $x^3y$, $x^2y^2$, $xy^3$ khác nhau, không có hạng tử đồng dạng.
4
Vậy $-3xy(x^2 - 2xy + y^2) = -3x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3$ .
Vậy $-3xy(x^2 - 2xy + y^2) = -3x^3y + 6x^2y^2 - 3xy^3$.

Ví dụ

Tính diện tích mảnh đất bằng phép nhân đơn thức với đa thức (dạng thi)

1
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng $3x$ (m) và chiều dài $(2x^2 - x + 4)$ (m). Viết biểu thức diện tích mảnh đất dưới dạng đa thức đã thu gọn.
Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng $3x$ (m) và chiều dài $(2x^2 - x + 4)$ (m). Viết biểu thức diện tích mảnh đất dưới dạng đa thức đã thu gọn.
2
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều rộng nhân chiều dài, nên diện tích là $3x(2x^2 - x + 4)$ .
Diện tích hình chữ nhật bằng chiều rộng nhân chiều dài, nên diện tích là $3x(2x^2 - x + 4)$.
3
$3x \cdot 2x^2 = 6x^3$ ; $3x \cdot (-x) = -3x^2$ ; $3x \cdot 4 = 12x$ .
$3x \cdot 2x^2 = 6x^3$; $3x \cdot (-x) = -3x^2$; $3x \cdot 4 = 12x$.
4
Vậy diện tích mảnh đất là $6x^3 - 3x^2 + 12x$ (m²).
Vậy diện tích mảnh đất là $6x^3 - 3x^2 + 12x$ (m²).

Ví dụ

Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức hai biến (dạng thi)

1
Rút gọn biểu thức $-2x^2y(3xy - 4y^2 + x)$ , rồi tính giá trị của kết quả tại $x = 1$ , $y = -1$ .
Rút gọn biểu thức $-2x^2y(3xy - 4y^2 + x)$, rồi tính giá trị của kết quả tại $x = 1$, $y = -1$.
2
$-2x^2y \cdot 3xy = -6x^3y^2$ ; $-2x^2y \cdot (-4y^2) = 8x^2y^3$ ; $-2x^2y \cdot x = -2x^3y$ .
$-2x^2y \cdot 3xy = -6x^3y^2$; $-2x^2y \cdot (-4y^2) = 8x^2y^3$; $-2x^2y \cdot x = -2x^3y$.
3
Ba phần biến $x^3y^2$ , $x^2y^3$ , $x^3y$ khác nhau nên không gộp được nữa: $-6x^3y^2 + 8x^2y^3 - 2x^3y$ .
Ba phần biến $x^3y^2$, $x^2y^3$, $x^3y$ khác nhau nên không gộp được nữa: $-6x^3y^2 + 8x^2y^3 - 2x^3y$.
4
Với $x=1$ , $y=-1$ : $y^2=1$ , $y^3=-1$ . $-6x^3y^2 = -6 \times 1 \times 1 = -6$ ; $8x^2y^3 = 8 \times 1 \times (-1) = -8$ ; $-2x^3y = -2 \times 1 \times (-1) = 2$ .
Với $x=1$, $y=-1$: $y^2=1$, $y^3=-1$. $-6x^3y^2 = -6 \times 1 \times 1 = -6$; $8x^2y^3 = 8 \times 1 \times (-1) = -8$; $-2x^3y = -2 \times 1 \times (-1) = 2$.
5
Vậy biểu thức rút gọn là $-6x^3y^2 + 8x^2y^3 - 2x^3y$ , và giá trị tại $x=1$ , $y=-1$ bằng $-6 - 8 + 2 = -12$ .
Vậy biểu thức rút gọn là $-6x^3y^2 + 8x^2y^3 - 2x^3y$, và giá trị tại $x=1$, $y=-1$ bằng $-6 - 8 + 2 = -12$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhân đơn thức với hạng tử ĐẦU TIÊN của đa thức rồi cộng thẳng các hạng tử còn lại vào, quên nhân — chẳng hạn viết $2x(x + 3) = 2x^2 + 3$ (đúng ra phải là $2x^2 + 6x$ ). Một lỗi khác là cộng số mũ nhầm cho biến KHÁC nhau, ví dụ cộng số mũ của $x$ với số mũ của $y$ lại với nhau — số mũ chỉ cộng khi cùng một biến. Và đừng quên quy tắc dấu: một đơn thức mang dấu âm sẽ đổi dấu MỌI hạng tử nó nhân vào, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Sai lầm phổ biến nhất là chỉ nhân đơn thức với hạng tử ĐẦU TIÊN của đa thức rồi cộng thẳng các hạng tử còn lại vào, quên nhân — chẳng hạn viết $2x(x + 3) = 2x^2 + 3$ (đúng ra phải là $2x^2 + 6x$). Một lỗi khác là cộng số mũ nhầm cho biến KHÁC nhau, ví dụ cộng số mũ của $x$ với số mũ của $y$ lại với nhau — số mũ chỉ cộng khi cùng một biến. Và đừng quên quy tắc dấu: một đơn thức mang dấu âm sẽ đổi dấu MỌI hạng tử nó nhân vào, không chỉ hạng tử đầu tiên.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Nhân đơn thức với đa thức là phân phối đơn thức cho TỪNG hạng tử: $A(B+C+D)=AB+AC+AD$ . Khi nhân từng cặp: hệ số nhân với hệ số theo quy tắc dấu, số mũ của CÙNG một biến thì cộng lại ( $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$ ), biến khác nhau giữ nguyên riêng.

Nhân đơn thức với đa thức là phân phối đơn thức cho TỪNG hạng tử: $A(B+C+D)=AB+AC+AD$. Khi nhân từng cặp: hệ số nhân với hệ số theo quy tắc dấu, số mũ của CÙNG một biến thì cộng lại ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$), biến khác nhau giữ nguyên riêng.

Đã nhân được đơn thức với đa thức, bài cuối cùng của khóa mở rộng thêm một bước: nhân hẳn một đa thức với một đa thức khác — mỗi hạng tử của đa thức thứ nhất lại phải nhân với TỪNG hạng tử của đa thức thứ hai.