Bài học

Tính đồng biến và nghịch biến của hàm số bậc nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xét được một hàm số bậc nhất đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$ chỉ bằng cách nhìn dấu của hệ số $a$ , và giải được bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.

Sau bài này, em xét được một hàm số bậc nhất đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$ chỉ bằng cách nhìn dấu của hệ số $a$, và giải được bài toán tìm tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ định nghĩa hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ) và cách thay giá trị $x$ để tính $y$ đã luyện ở bài trước. Em cũng cần nhớ so sánh hai số: với $x_1 < x_2$ (số bên trái nhỏ hơn số bên phải trên tia số), hiệu $x_2 - x_1$ luôn dương.

Em cần nhớ định nghĩa hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) và cách thay giá trị $x$ để tính $y$ đã luyện ở bài trước. Em cũng cần nhớ so sánh hai số: với $x_1 < x_2$ (số bên trái nhỏ hơn số bên phải trên tia số), hiệu $x_2 - x_1$ luôn dương.

Khởi động

Ở bảng giá trị $y = 2x - 1$ bài trước, khi $x$ tăng dần từ $-1$ đến $2$ thì $y$ cũng tăng dần từ $-3$ đến $3$ . Liệu điều này luôn đúng với mọi hàm số bậc nhất, hay chỉ đúng với riêng công thức $y = 2x - 1$ ?

Ở bảng giá trị $y = 2x - 1$ bài trước, khi $x$ tăng dần từ $-1$ đến $2$ thì $y$ cũng tăng dần từ $-3$ đến $3$. Liệu điều này luôn đúng với mọi hàm số bậc nhất, hay chỉ đúng với riêng công thức $y = 2x - 1$?

Kiến thức trọng tâm

Xét hàm số $y = ax + b$ và hai giá trị $x_1 < x_2$ bất kì. Gọi $y_1 = ax_1 + b$ , $y_2 = ax_2 + b$ là hai giá trị tương ứng. Ta có $y_2 - y_1 = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a(x_2 - x_1)$ . Vì $x_1 < x_2$ nên $x_2 - x_1 > 0$ , do đó dấu của $y_2 - y_1$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của $a$ .

Xét hàm số $y = ax + b$ và hai giá trị $x_1 < x_2$ bất kì. Gọi $y_1 = ax_1 + b$, $y_2 = ax_2 + b$ là hai giá trị tương ứng. Ta có $y_2 - y_1 = (ax_2 + b) - (ax_1 + b) = a(x_2 - x_1)$. Vì $x_1 < x_2$ nên $x_2 - x_1 > 0$, do đó dấu của $y_2 - y_1$ hoàn toàn phụ thuộc vào dấu của $a$.

Nếu $a > 0$ thì $y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1) > 0$ , tức $y_2 > y_1$ : $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Ta nói hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ . Nếu $a < 0$ thì $y_2 - y_1 < 0$ , tức $y_2 < y_1$ : $x$ tăng nhưng $y$ lại giảm. Ta nói hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ . Kết quả này không phụ thuộc vào $b$ — $b$ chỉ dịch chuyển đường thẳng lên xuống, không ảnh hưởng đến việc hàm số tăng hay giảm.

Nếu $a > 0$ thì $y_2 - y_1 = a(x_2 - x_1) > 0$, tức $y_2 > y_1$: $x$ tăng thì $y$ cũng tăng. Ta nói hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Nếu $a < 0$ thì $y_2 - y_1 < 0$, tức $y_2 < y_1$: $x$ tăng nhưng $y$ lại giảm. Ta nói hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Kết quả này không phụ thuộc vào $b$ — $b$ chỉ dịch chuyển đường thẳng lên xuống, không ảnh hưởng đến việc hàm số tăng hay giảm.

Tóm lại, chỉ cần nhìn dấu của $a$ trong công thức $y = ax + b$ là kết luận được ngay: $a > 0$ hàm số đồng biến, $a < 0$ hàm số nghịch biến, không cần thử số vào cụ thể. Đây là điểm khác biệt lớn so với việc lập cả bảng giá trị ở bài trước: bảng giá trị cho biết từng cặp $(x; y)$ cụ thể, còn xét dấu $a$ trả lời ngay câu hỏi tăng hay giảm cho toàn bộ hàm số, với mọi $x$ , chỉ bằng một phép nhìn.

x tăng từ -1 lên 1 nhưng y lại giảm từ 5 xuống -1, đúng như dự đoán vì a = -3 < 0.

Quan sát chính hình vẽ trên với $y = -3x + 2$ : tại $x_1 = -1$ , $y_1 = -3 \times (-1) + 2 = 3 + 2 = 5$ ; tại $x_2 = 1$ , $y_2 = -3 \times 1 + 2 = -3 + 2 = -1$ . Hiệu $y_2 - y_1 = -1 - 5 = -6$ , đúng bằng $a(x_2 - x_1) = -3 \times (1 - (-1)) = -3 \times 2 = -6$ như công thức vừa chứng minh — một số âm, khớp với việc hàm nghịch biến vì $a = -3 < 0$ .

Quan sát chính hình vẽ trên với $y = -3x + 2$: tại $x_1 = -1$, $y_1 = -3 \times (-1) + 2 = 3 + 2 = 5$; tại $x_2 = 1$, $y_2 = -3 \times 1 + 2 = -3 + 2 = -1$. Hiệu $y_2 - y_1 = -1 - 5 = -6$, đúng bằng $a(x_2 - x_1) = -3 \times (1 - (-1)) = -3 \times 2 = -6$ như công thức vừa chứng minh — một số âm, khớp với việc hàm nghịch biến vì $a = -3 < 0$.

Ví dụ

Kiểm chứng bằng số liệu cụ thể

1
Cho hàm số $y = 0{,}5x - 3$ . Kiểm chứng hàm số đồng biến bằng cách tính $y$ tại $x_1 = -2$ và $x_2 = 4$ .
Cho hàm số $y = 0{,}5x - 3$. Kiểm chứng hàm số đồng biến bằng cách tính $y$ tại $x_1 = -2$ và $x_2 = 4$.
2
Hàm số có $a = 0{,}5 > 0$ , dự đoán đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Hàm số có $a = 0{,}5 > 0$, dự đoán đồng biến trên $\mathbb{R}$.
3
Tại $x_1 = -2$ : $y_1 = 0{,}5 \times (-2) - 3 = -1 - 3 = -4$ .
Tại $x_1 = -2$: $y_1 = 0{,}5 \times (-2) - 3 = -1 - 3 = -4$.
4
Tại $x_2 = 4$ : $y_2 = 0{,}5 \times 4 - 3 = 2 - 3 = -1$ .
Tại $x_2 = 4$: $y_2 = 0{,}5 \times 4 - 3 = 2 - 3 = -1$.
5
Ta có $x_1 = -2 < x_2 = 4$ và $y_1 = -4 < y_2 = -1$ : $x$ tăng thì $y$ cũng tăng.
Ta có $x_1 = -2 < x_2 = 4$ và $y_1 = -4 < y_2 = -1$: $x$ tăng thì $y$ cũng tăng.
6
Vậy số liệu cụ thể khớp với dự đoán: hàm số $y = 0{,}5x - 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Vậy số liệu cụ thể khớp với dự đoán: hàm số $y = 0{,}5x - 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xét tính đồng biến, nghịch biến

1
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = -3x + 2$ trên $\mathbb{R}$ .
Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y = -3x + 2$ trên $\mathbb{R}$.
2
Hàm số $y = -3x + 2$ có dạng $y = ax + b$ với $a = -3$ , $b = 2$ .
Hàm số $y = -3x + 2$ có dạng $y = ax + b$ với $a = -3$, $b = 2$.
3
Ta có $a = -3 < 0$ . Theo tính chất, khi $a < 0$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Ta có $a = -3 < 0$. Theo tính chất, khi $a < 0$ hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
4
Vậy hàm số $y = -3x + 2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .
Vậy hàm số $y = -3x + 2$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ

Bài toán chuyển động và tham số

1
Một xe máy xuất phát từ một điểm cách trạm xăng $3$ km và di chuyển ra xa trạm với vận tốc không đổi. Sau $2$ giờ, xe cách trạm $23$ km. Gọi $y$ (km) là khoảng cách từ xe đến trạm sau $x$ giờ. a) Lập công thức tính $y$ theo $x$ . b) Hàm số này đồng biến hay nghịch biến? Giải thích ý nghĩa thực tế.
Một xe máy xuất phát từ một điểm cách trạm xăng $3$ km và di chuyển ra xa trạm với vận tốc không đổi. Sau $2$ giờ, xe cách trạm $23$ km. Gọi $y$ (km) là khoảng cách từ xe đến trạm sau $x$ giờ. a) Lập công thức tính $y$ theo $x$. b) Hàm số này đồng biến hay nghịch biến? Giải thích ý nghĩa thực tế.
2
Gọi công thức là $y = ax + b$ . Lúc $x = 0$ (vừa xuất phát), $y = 3$ , nên $b = 3$ . Lúc $x = 2$ , $y = 23$ , ta có $23 = 2a + 3$ , suy ra $2a = 20$ , tức $a = 10$ . Vậy $y = 10x + 3$ .
Gọi công thức là $y = ax + b$. Lúc $x = 0$ (vừa xuất phát), $y = 3$, nên $b = 3$. Lúc $x = 2$, $y = 23$, ta có $23 = 2a + 3$, suy ra $2a = 20$, tức $a = 10$. Vậy $y = 10x + 3$.
3
Ta có $a = 10 > 0$ nên hàm số $y = 10x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ .
Ta có $a = 10 > 0$ nên hàm số $y = 10x + 3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
4
Đồng biến ở đây nghĩa là thời gian $x$ càng lớn thì khoảng cách $y$ đến trạm càng lớn — đúng với việc xe đang đi ra xa trạm xăng với vận tốc không đổi $10$ km/h.
Đồng biến ở đây nghĩa là thời gian $x$ càng lớn thì khoảng cách $y$ đến trạm càng lớn — đúng với việc xe đang đi ra xa trạm xăng với vận tốc không đổi $10$ km/h.

Sai lầm thường gặp

Một sai lầm phổ biến là chỉ nhìn vào $b$ để đoán hàm số tăng hay giảm, ví dụ thấy $b$ âm liền kết luận hàm nghịch biến — như câu hỏi kiểm tra nhanh ở trên, $b = -1$ không quyết định điều gì cả. Sai lầm khác là quên thứ tự $x_1 < x_2$ khi lập luận, dẫn đến so sánh $y_1$ , $y_2$ theo chiều ngược.

Luyện tập có hướng dẫn

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Với hàm số bậc nhất $y = ax + b$ : nếu $a > 0$ , hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ( $x$ tăng thì $y$ tăng); nếu $a < 0$ , hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ( $x$ tăng thì $y$ giảm). Chỉ cần xét dấu của $a$ , không cần thay số thử.

Với hàm số bậc nhất $y = ax + b$: nếu $a > 0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ ($x$ tăng thì $y$ tăng); nếu $a < 0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ($x$ tăng thì $y$ giảm). Chỉ cần xét dấu của $a$, không cần thay số thử.

Em đã biết dấu của $a$ cho biết hàm số tăng hay giảm. Bài học tiếp theo sẽ vẽ hẳn đường thẳng $y = ax + b$ lên mặt phẳng tọa độ, để nhìn trực tiếp bằng mắt điều mà bài này vừa chứng minh bằng lập luận.