Bài học

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em xác định được hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ song song, trùng nhau, hay cắt nhau chỉ bằng cách so sánh $a$ , $a'$ , $b$ , $b'$ , tìm được tham số để hai đường thẳng ở vào một vị trí tương đối cho trước, và tính được tọa độ giao điểm khi hai đường thẳng cắt nhau.

Sau bài này, em xác định được hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ song song, trùng nhau, hay cắt nhau chỉ bằng cách so sánh $a$, $a'$, $b$, $b'$, tìm được tham số để hai đường thẳng ở vào một vị trí tương đối cho trước, và tính được tọa độ giao điểm khi hai đường thẳng cắt nhau.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ khái niệm hệ số góc vừa học và cách giải phương trình bậc nhất một ẩn đã học ở Course 5 — kỹ năng này sẽ dùng để tìm hoành độ giao điểm của hai đường thẳng.

Khởi động

Hai bạn học sinh cùng vẽ hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = 2x - 1$ lên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dù kéo dài đường thẳng đến đâu, hai bạn cũng không tìm được điểm nào mà cả hai đường cùng đi qua. Điều gì trong hai công thức khiến chuyện đó chắc chắn xảy ra, dù kéo dài bao xa?

Kiến thức trọng tâm

Xét hai đường thẳng $(d)$ : $y = ax + b$ và $(d')$ : $y = a'x + b'$ , với $a, a' \neq 0$ . Vị trí tương đối giữa chúng được xác định bằng cách so sánh lần lượt hệ số góc rồi đến hệ số tự do.

Xét hai đường thẳng $(d)$: $y = ax + b$ và $(d')$: $y = a'x + b'$, với $a, a' \neq 0$. Vị trí tương đối giữa chúng được xác định bằng cách so sánh lần lượt hệ số góc rồi đến hệ số tự do.

Nếu $a = a'$ và $b \neq b'$ : hai đường thẳng có cùng độ dốc nhưng cắt trục tung tại hai điểm khác nhau, nên song song với nhau — không có điểm chung nào. Nếu $a = a'$ và $b = b'$ : hai đường thẳng có cùng độ dốc và cùng cắt trục tung tại một điểm, nên trùng nhau — thực chất là cùng một đường thẳng viết dưới hai tên gọi. Nếu $a \neq a'$ : hai đường thẳng có độ dốc khác nhau nên chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm.

Nếu $a = a'$ và $b \neq b'$: hai đường thẳng có cùng độ dốc nhưng cắt trục tung tại hai điểm khác nhau, nên song song với nhau — không có điểm chung nào. Nếu $a = a'$ và $b = b'$: hai đường thẳng có cùng độ dốc và cùng cắt trục tung tại một điểm, nên trùng nhau — thực chất là cùng một đường thẳng viết dưới hai tên gọi. Nếu $a \neq a'$: hai đường thẳng có độ dốc khác nhau nên chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm.

Khi hai đường thẳng cắt nhau, tọa độ giao điểm là cặp $(x; y)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Vì cả hai đều bằng $y$ , em cho hai vế phải bằng nhau: $ax + b = a'x + b'$ , đây là một phương trình bậc nhất một ẩn $x$ , giải ra hoành độ giao điểm rồi thay vào một trong hai công thức để tìm tung độ.

Khi hai đường thẳng cắt nhau, tọa độ giao điểm là cặp $(x; y)$ thỏa mãn đồng thời cả hai phương trình. Vì cả hai đều bằng $y$, em cho hai vế phải bằng nhau: $ax + b = a'x + b'$, đây là một phương trình bậc nhất một ẩn $x$, giải ra hoành độ giao điểm rồi thay vào một trong hai công thức để tìm tung độ.

Một trường hợp đáng chú ý: nếu $a \neq a'$ nhưng $b = b'$ , hai đường thẳng vẫn cắt nhau — chỉ là chúng cắt nhau đúng tại điểm $(0; b)$ trên trục tung, vì cả hai công thức đều cho cùng giá trị $y = b$ khi $x = 0$ . Nhận ra trường hợp này giúp em đoán nhanh giao điểm mà không cần giải phương trình, trong những bài mà hai đường chung một hệ số tự do.

Một trường hợp đáng chú ý: nếu $a \neq a'$ nhưng $b = b'$, hai đường thẳng vẫn cắt nhau — chỉ là chúng cắt nhau đúng tại điểm $(0; b)$ trên trục tung, vì cả hai công thức đều cho cùng giá trị $y = b$ khi $x = 0$. Nhận ra trường hợp này giúp em đoán nhanh giao điểm mà không cần giải phương trình, trong những bài mà hai đường chung một hệ số tự do.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Xác định vị trí tương đối

1
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = 2x - 1$ .
Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = 2x - 1$.
2
Ta có $a = 2$ và $a' = 2$ , nên $a = a'$ .
Ta có $a = 2$ và $a' = 2$, nên $a = a'$.
3
Ta có $b = 3$ và $b' = -1$ , nên $b \neq b'$ .
Ta có $b = 3$ và $b' = -1$, nên $b \neq b'$.
4
Vì $a = a'$ và $b \neq b'$ , hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = 2x - 1$ song song với nhau.
Vì $a = a'$ và $b \neq b'$, hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = 2x - 1$ song song với nhau.

Cùng hệ số góc a = 2 nên hai đường thẳng luôn giữ nguyên khoảng cách, không bao giờ gặp nhau dù kéo dài đến đâu.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ

Tìm tham số và tọa độ giao điểm

1
a) Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$ : $y = (m - 1)x + 2$ song song với đường thẳng $y = 3x + 5$ . b) Với $m = -2$ , tìm tọa độ giao điểm của $(d)$ và đường thẳng $y = -x + 6$ .
a) Tìm $m$ để đường thẳng $(d)$: $y = (m - 1)x + 2$ song song với đường thẳng $y = 3x + 5$. b) Với $m = -2$, tìm tọa độ giao điểm của $(d)$ và đường thẳng $y = -x + 6$.
2
Để $(d)$ song song với $y = 3x + 5$ , cần hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau: $m - 1 = 3$ , suy ra $m = 4$ ; đồng thời $2 \neq 5$ luôn đúng với mọi $m$ . Vậy $m = 4$ .
Để $(d)$ song song với $y = 3x + 5$, cần hệ số góc bằng nhau và hệ số tự do khác nhau: $m - 1 = 3$, suy ra $m = 4$; đồng thời $2 \neq 5$ luôn đúng với mọi $m$. Vậy $m = 4$.
3
Với $m = -2$ : $(d)$ trở thành $y = (-2 - 1)x + 2 = -3x + 2$ . Vì hệ số góc $-3 \neq -1$ (hệ số góc của $y = -x + 6$ ), hai đường thẳng cắt nhau. Cho $-3x + 2 = -x + 6$ .
Với $m = -2$: $(d)$ trở thành $y = (-2 - 1)x + 2 = -3x + 2$. Vì hệ số góc $-3 \neq -1$ (hệ số góc của $y = -x + 6$), hai đường thẳng cắt nhau. Cho $-3x + 2 = -x + 6$.
4
$-3x + x = 6 - 2$ , tức $-2x = 4$ , suy ra $x = -2$ . Thay vào $y = -x + 6$ : $y = -(-2) + 6 = 8$ .
$-3x + x = 6 - 2$, tức $-2x = 4$, suy ra $x = -2$. Thay vào $y = -x + 6$: $y = -(-2) + 6 = 8$.
5
Vậy $m = 4$ để $(d)$ song song với $y = 3x + 5$ ; còn với $m = -2$ , đường thẳng $(d)$ : $y = -3x + 2$ cắt $y = -x + 6$ tại điểm $(-2; 8)$ .
Vậy $m = 4$ để $(d)$ song song với $y = 3x + 5$; còn với $m = -2$, đường thẳng $(d)$: $y = -3x + 2$ cắt $y = -x + 6$ tại điểm $(-2; 8)$.

Ví dụ

Tìm giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau

1
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = -x + 6$ .
Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $y = 2x + 3$ và $y = -x + 6$.
2
Hệ số góc $2 \neq -1$ nên hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm.
Hệ số góc $2 \neq -1$ nên hai đường thẳng chắc chắn cắt nhau tại đúng một điểm.
3
Cho $2x + 3 = -x + 6$ .
Cho $2x + 3 = -x + 6$.
4
$2x + x = 6 - 3$ , tức $3x = 3$ , suy ra $x = 1$ .
$2x + x = 6 - 3$, tức $3x = 3$, suy ra $x = 1$.
5
Thay $x = 1$ vào $y = 2x + 3$ : $y = 2 \times 1 + 3 = 5$ .
Thay $x = 1$ vào $y = 2x + 3$: $y = 2 \times 1 + 3 = 5$.
6
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(1; 5)$ .
Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm $(1; 5)$.

Điểm (1;5) là điểm chung duy nhất — thay x=1 vào cả hai công thức đều cho cùng kết quả y=5.

Sai lầm thường gặp

Sai lầm thường gặp nhất là chỉ so sánh $b$ mà bỏ qua $a$ , hoặc kết luận song song ngay khi thấy $a = a'$ mà quên kiểm tra thêm $b \neq b'$ — như ví dụ ở câu b bên trên, nếu không xét kỹ học sinh dễ nhầm hai đường "cùng hệ số góc" là sẽ cắt nhau. Một lỗi khác là khi giải phương trình tìm hoành độ giao điểm, quên chuyển vế đổi dấu đúng quy tắc đã học ở Course 5.

Sai lầm thường gặp nhất là chỉ so sánh $b$ mà bỏ qua $a$, hoặc kết luận song song ngay khi thấy $a = a'$ mà quên kiểm tra thêm $b \neq b'$ — như ví dụ ở câu b bên trên, nếu không xét kỹ học sinh dễ nhầm hai đường "cùng hệ số góc" là sẽ cắt nhau. Một lỗi khác là khi giải phương trình tìm hoành độ giao điểm, quên chuyển vế đổi dấu đúng quy tắc đã học ở Course 5.

Luyện tập có hướng dẫn

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

So sánh hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$ : $a \neq a'$ thì cắt nhau; $a = a'$ và $b \neq b'$ thì song song; $a = a'$ và $b = b'$ thì trùng nhau. Khi cắt nhau, giải $ax + b = a'x + b'$ để tìm hoành độ giao điểm.

So sánh hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = a'x + b'$: $a \neq a'$ thì cắt nhau; $a = a'$ và $b \neq b'$ thì song song; $a = a'$ và $b = b'$ thì trùng nhau. Khi cắt nhau, giải $ax + b = a'x + b'$ để tìm hoành độ giao điểm.

Em đã có đủ công cụ để đọc và so sánh các đường thẳng $y = ax + b$ . Bài học tiếp theo dùng chính những công cụ này để giải các bài toán thực tế, nơi $a$ và $b$ không cho sẵn mà phải tìm ra từ dữ kiện của đề bài.

Em đã có đủ công cụ để đọc và so sánh các đường thẳng $y = ax + b$. Bài học tiếp theo dùng chính những công cụ này để giải các bài toán thực tế, nơi $a$ và $b$ không cho sẵn mà phải tìm ra từ dữ kiện của đề bài.