Bài học

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em vẽ được đồ thị của một hàm số bậc nhất bằng cách xác định hai điểm đặc biệt của nó — giao điểm với trục hoành và trục tung — và đọc được tọa độ giao điểm của đồ thị với hai trục để giải một số bài toán liên quan.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ cách lập bảng giá trị và xét dấu hệ số $a$ đã học ở hai bài trước, cùng kiến thức lớp 6 về mặt phẳng tọa độ: trục hoành $Ox$ là tập hợp các điểm có tung độ $y = 0$ , trục tung $Oy$ là tập hợp các điểm có hoành độ $x = 0$ , và mỗi điểm trên mặt phẳng ứng với đúng một cặp tọa độ $(x; y)$ .

Em cần nhớ cách lập bảng giá trị và xét dấu hệ số $a$ đã học ở hai bài trước, cùng kiến thức lớp 6 về mặt phẳng tọa độ: trục hoành $Ox$ là tập hợp các điểm có tung độ $y = 0$, trục tung $Oy$ là tập hợp các điểm có hoành độ $x = 0$, và mỗi điểm trên mặt phẳng ứng với đúng một cặp tọa độ $(x; y)$.

Khởi động

Bài trước em đã tính được bốn điểm $(-1; -3)$ , $(0; -1)$ , $(1; 1)$ , $(2; 3)$ đều thuộc đồ thị của $y = 2x - 1$ và cùng nằm trên một đường thẳng. Nếu đã biết trước điều đó, em có cần tính tận bốn điểm để vẽ đường thẳng này không, hay chỉ cần ít hơn?

Bài trước em đã tính được bốn điểm $(-1; -3)$, $(0; -1)$, $(1; 1)$, $(2; 3)$ đều thuộc đồ thị của $y = 2x - 1$ và cùng nằm trên một đường thẳng. Nếu đã biết trước điều đó, em có cần tính tận bốn điểm để vẽ đường thẳng này không, hay chỉ cần ít hơn?

Kiến thức trọng tâm

Đồ thị của hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ( $a \neq 0$ ) là một đường thẳng. Qua hai điểm phân biệt chỉ có đúng một đường thẳng, nên muốn vẽ đồ thị, em chỉ cần xác định hai điểm bất kì thuộc đồ thị rồi nối chúng lại bằng một nét thẳng, kéo dài về hai phía.

Đồ thị của hàm số bậc nhất $y = ax + b$ ($a \neq 0$) là một đường thẳng. Qua hai điểm phân biệt chỉ có đúng một đường thẳng, nên muốn vẽ đồ thị, em chỉ cần xác định hai điểm bất kì thuộc đồ thị rồi nối chúng lại bằng một nét thẳng, kéo dài về hai phía.

Hai điểm tiện lợi nhất để chọn là giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ. Giao điểm với trục tung ( $Oy$ ) có hoành độ $x = 0$ , thay vào công thức được $y = a \times 0 + b = b$ , vậy giao điểm với $Oy$ là điểm $(0; b)$ . Giao điểm với trục hoành ( $Ox$ ) có tung độ $y = 0$ , giải phương trình $ax + b = 0$ được $x = -\frac{b}{a}$ , vậy giao điểm với $Ox$ là điểm $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ .

Hai điểm tiện lợi nhất để chọn là giao điểm của đường thẳng với hai trục tọa độ. Giao điểm với trục tung ($Oy$) có hoành độ $x = 0$, thay vào công thức được $y = a \times 0 + b = b$, vậy giao điểm với $Oy$ là điểm $(0; b)$. Giao điểm với trục hoành ($Ox$) có tung độ $y = 0$, giải phương trình $ax + b = 0$ được $x = -\frac{b}{a}$, vậy giao điểm với $Ox$ là điểm $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$.

Khi $b = 0$ , cả hai giao điểm trùng nhau tại gốc tọa độ $O(0; 0)$ , lúc đó em cần chọn thêm một điểm khác — chẳng hạn cho $x = 1$ để tính điểm thứ hai. Ngoài phương pháp dùng hai giao điểm, em vẫn có thể chọn hai điểm bất kì khác từ bảng giá trị; đường thẳng vẽ ra là như nhau, dùng giao điểm chỉ là cách chọn tiện để tính nhẩm và đọc trên trục cho dễ.

Khi $b = 0$, cả hai giao điểm trùng nhau tại gốc tọa độ $O(0; 0)$, lúc đó em cần chọn thêm một điểm khác — chẳng hạn cho $x = 1$ để tính điểm thứ hai. Ngoài phương pháp dùng hai giao điểm, em vẫn có thể chọn hai điểm bất kì khác từ bảng giá trị; đường thẳng vẽ ra là như nhau, dùng giao điểm chỉ là cách chọn tiện để tính nhẩm và đọc trên trục cho dễ.

Ngược lại, khi đề bài đã cho sẵn một đường thẳng vẽ trên giấy và yêu cầu đọc tọa độ một điểm trên đó, em làm theo chiều ngược: từ điểm cần đọc, kẻ một đường vuông góc xuống trục hoành để đọc hoành độ, kẻ một đường vuông góc sang trục tung để đọc tung độ. Kỹ năng đọc đồ thị này cũng quan trọng không kém kỹ năng vẽ, vì nhiều bài kiểm tra cho sẵn hình và hỏi ngược lại công thức hoặc giá trị tại một điểm.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Vẽ đồ thị bằng hai điểm bất kì

1
Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ .
Vẽ đồ thị hàm số $y = 2x - 1$.
2
Tại $x = 0$ : $y = 2 \times 0 - 1 = -1$ , được điểm $A(0; -1)$ .
Tại $x = 0$: $y = 2 \times 0 - 1 = -1$, được điểm $A(0; -1)$.
3
Tại $x = 1$ : $y = 2 \times 1 - 1 = 1$ , được điểm $B(1; 1)$ .
Tại $x = 1$: $y = 2 \times 1 - 1 = 1$, được điểm $B(1; 1)$.
4
Vậy đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0; -1)$ và $B(1; 1)$ , kéo dài về hai phía.
Vậy đồ thị hàm số $y = 2x - 1$ là đường thẳng đi qua hai điểm $A(0; -1)$ và $B(1; 1)$, kéo dài về hai phía.

Chỉ cần hai điểm A, B là đủ xác định toàn bộ đường thẳng — mọi điểm khác trên bảng giá trị cũng nằm trên chính đường thẳng này.

Ví dụ vận dụng

Ví dụ

Vẽ đồ thị bằng giao điểm hai trục và tính diện tích tam giác

1
Cho hàm số $y = -x + 3$ . a) Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành và trục tung. b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị và hai trục tọa độ.
Cho hàm số $y = -x + 3$. a) Xác định giao điểm của đồ thị với trục hoành và trục tung. b) Tính diện tích tam giác tạo bởi đồ thị và hai trục tọa độ.
2
Tại $x = 0$ : $y = -0 + 3 = 3$ . Giao điểm với $Oy$ là $A(0; 3)$ .
Tại $x = 0$: $y = -0 + 3 = 3$. Giao điểm với $Oy$ là $A(0; 3)$.
3
Tại $y = 0$ : $-x + 3 = 0$ , suy ra $x = 3$ . Giao điểm với $Ox$ là $B(3; 0)$ .
Tại $y = 0$: $-x + 3 = 0$, suy ra $x = 3$. Giao điểm với $Ox$ là $B(3; 0)$.
4
Đường thẳng $AB$ cùng hai trục tọa độ tạo thành tam giác $OAB$ vuông tại $O$ , với hai cạnh góc vuông là $OA$ và $OB$ . Ta có $OA = 3$ (khoảng cách từ $O$ đến $A(0;3)$ ) và $OB = 3$ (khoảng cách từ $O$ đến $B(3;0)$ ).
Đường thẳng $AB$ cùng hai trục tọa độ tạo thành tam giác $OAB$ vuông tại $O$, với hai cạnh góc vuông là $OA$ và $OB$. Ta có $OA = 3$ (khoảng cách từ $O$ đến $A(0;3)$) và $OB = 3$ (khoảng cách từ $O$ đến $B(3;0)$).
5
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: $S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4{,}5$ (đơn vị diện tích).
Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông: $S_{OAB} = \frac{1}{2} \times OA \times OB = \frac{1}{2} \times 3 \times 3 = 4{,}5$ (đơn vị diện tích).
6
Vậy đồ thị cắt hai trục tại $A(0; 3)$ , $B(3; 0)$ , và tam giác $OAB$ có diện tích $4{,}5$ đơn vị diện tích.
Vậy đồ thị cắt hai trục tại $A(0; 3)$, $B(3; 0)$, và tam giác $OAB$ có diện tích $4{,}5$ đơn vị diện tích.

Hai đoạn OA và OB (vẽ nét liền từ gốc O) là hai cạnh góc vuông của tam giác OAB, dùng để tính diện tích.

Sai lầm thường gặp

Khi tìm giao điểm với trục hoành, nhiều bạn thay nhầm $x = 0$ thay vì $y = 0$ vào công thức, dẫn đến việc tính ra lại chính giao điểm với trục tung. Cần nhớ: giao với $Oy$ thì $x = 0$ , giao với $Ox$ thì $y = 0$ — hai điều kiện ngược nhau, dễ lẫn nếu không viết rõ ra trước khi tính.

Khi tìm giao điểm với trục hoành, nhiều bạn thay nhầm $x = 0$ thay vì $y = 0$ vào công thức, dẫn đến việc tính ra lại chính giao điểm với trục tung. Cần nhớ: giao với $Oy$ thì $x = 0$, giao với $Ox$ thì $y = 0$ — hai điều kiện ngược nhau, dễ lẫn nếu không viết rõ ra trước khi tính.

Ví dụ

Trường hợp đường thẳng đi qua gốc tọa độ

1
Vẽ đồ thị hàm số $y = 3x$ (trường hợp $b = 0$ ).
Vẽ đồ thị hàm số $y = 3x$ (trường hợp $b = 0$).
2
Với $b = 0$ , giao điểm với $Oy$ và giao điểm với $Ox$ đều là gốc tọa độ $O(0; 0)$ , nên chỉ có một điểm — chưa đủ để vẽ đường thẳng.
Với $b = 0$, giao điểm với $Oy$ và giao điểm với $Ox$ đều là gốc tọa độ $O(0; 0)$, nên chỉ có một điểm — chưa đủ để vẽ đường thẳng.
3
Tại $x = 1$ : $y = 3 \times 1 = 3$ , được điểm $M(1; 3)$ .
Tại $x = 1$: $y = 3 \times 1 = 3$, được điểm $M(1; 3)$.
4
Vậy đồ thị hàm số $y = 3x$ là đường thẳng đi qua hai điểm $O(0; 0)$ và $M(1; 3)$ .
Vậy đồ thị hàm số $y = 3x$ là đường thẳng đi qua hai điểm $O(0; 0)$ và $M(1; 3)$.

Luyện tập có hướng dẫn

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất $y = ax + b$ bằng ba bước: lập bảng giá trị (hoặc tính riêng hai giao điểm), xác định hai điểm — thường dùng $(0; b)$ và $\left(-\frac{b}{a}; 0\right)$ — rồi nối hai điểm bằng một đường thẳng kéo dài về hai phía. Muốn đọc tọa độ một điểm từ hình vẽ, làm ngược lại: chiếu điểm xuống hai trục.

Bài học tiếp theo quay lại với hệ số $a$ — lần này không chỉ để biết hàm đồng biến hay nghịch biến, mà để so sánh đường thẳng nào "dốc" hơn đường thẳng nào khi nhìn trên hình vẽ, một câu hỏi mà bảng giá trị đơn thuần không trả lời trực tiếp được.