Đây là bản xem thử. Bản đầy đủ trên app có thêm bài tập, AI chấm điểm tức thì và biểu đồ theo dõi tiến độ học.
Phần
Đường đi ngắn nhất bằng một phép phản xạ trục (bài toán Heron)
Mục tiêu bài học
Sau bài này em giải được bài toán: cho một đường thẳng $d$ và hai điểm $P, Q$ cùng phía với $d$, tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MP + MQ$ nhỏ nhất — bằng đúng MỘT phép dựng đối xứng, không cần đạo hàm hay bất đẳng thức lạ. Đây là ứng dụng kinh điển nhất của bổ đề bất biến khoảng cách vừa học.
Kiến thức cần có trước
Em cần bổ đề bài trước ($M \in d \Rightarrow MP = MP'$ với $P'$ đối xứng $P$ qua $d$), và bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại, với dấu bằng khi ba điểm thẳng hàng.
Bài chuẩn so với bài HSG
Đề chuẩn hỏi thẳng "tính $MP+MQ$ khi $M$ ở một vị trí cho sẵn" — một phép cộng đơn giản. Bài hôm nay hỏi "tìm vị trí $M$ để $MP+MQ$ NHỎ NHẤT" trên toàn bộ đường thẳng $d$ — một bài toán tối ưu hoá thực sự, và lời giải không đến từ việc thử từng điểm mà từ một phép dựng phụ duy nhất.
Khởi động
Ba điểm $A, B, C$ bất kỳ luôn thoả $AB + BC \ge AC$, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $B$ nằm giữa $A$ và $C$ (ba điểm thẳng hàng). Đây là bất đẳng thức tam giác quen thuộc — bài học hôm nay chỉ cần đúng một lần áp dụng của nó, nhưng phải chọn đúng ba điểm để áp dụng vào.
Bài toán mở đầu
**Bài toán.** Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $P, Q$ nằm cùng phía với $d$ (không thuộc $d$). Tìm điểm $M$ trên $d$ sao cho $MP + MQ$ nhỏ nhất.
Khó ở đây: $P$ và $Q$ nằm CÙNG PHÍA với $d$, nên không thể nối thẳng $PQ$ và tìm giao điểm với $d$ như một bài toán đường thẳng thông thường — đoạn $PQ$ không hề cắt $d$. Cần một cách khác để đưa bài toán về một đường thẳng duy nhất.
Ý tưởng mấu chốt
Dựng $P'$ đối xứng với $P$ qua $d$ — khi đó $P'$ nằm KHÁC PHÍA với $Q$ so với $d$. Theo bổ đề bài trước, với mọi $M \in d$: $MP = MP'$, nên $MP + MQ = MP' + MQ$. Bài toán tối ưu $MP+MQ$ trên $d$ đã biến thành bài toán tối ưu $MP' + MQ$ — mà $P'$, $Q$ khác phía $d$ nên đoạn thẳng $P'Q$ CẮT $d$, và điểm cắt đó chính là $M$ tối ưu.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì $MP + MQ$ khó tối ưu trực tiếp (hai đoạn xiên về hai phía khác nhau của $M$), nhưng $MP' + MQ$ dễ tối ưu — nó chỉ nhỏ nhất khi ba điểm $P', M, Q$ thẳng hàng, đúng dạng bất đẳng thức tam giác. Phép đối xứng không thay đổi độ dài $MP$, nó chỉ đổi VỊ TRÍ của điểm để bài toán rơi đúng vào dạng đã biết cách giải.
Lời giải có hình
Đường đi ngắn nhất PM + MQ qua một phép phản xạ
Bước 1
Cho đường thẳng $d$ và hai điểm $P, Q$ nằm cùng phía với $d$.
Toạ độ thật dùng để kiểm chứng M0 (giao P'Q với d) cho tổng khoảng cách nhỏ nhất.
Ví dụ
Ví dụ 1 — Tính giá trị nhỏ nhất bằng số
1
Với $P, Q$ như hình, đo được $P'Q \approx 7{,}1$ (đơn vị hình vẽ). Giá trị nhỏ nhất của $MP + MQ$ khi $M$ chạy trên $d$ là bao nhiêu?
2
Giá trị nhỏ nhất của $MP+MQ$ đúng bằng $P'Q$ — không cần biết toạ độ $M_0$ cụ thể để trả lời câu hỏi "giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu", chỉ cần đoạn $P'Q$.
3
Nhiều học sinh cố tìm toạ độ $M_0$ rồi mới tính $M_0P+M_0Q$ — vòng qua một bước thừa. Giá trị nhỏ nhất chính là độ dài $P'Q$, đo hoặc tính được ngay từ $P'$ và $Q$, không cần biết $M_0$ nằm ở đâu trên $d$.
4
Câu hỏi "tìm giá trị nhỏ nhất" và câu hỏi "tìm vị trí đạt giá trị nhỏ nhất" là hai câu hỏi khác nhau — câu đầu chỉ cần đoạn $P'Q$, câu sau mới cần dựng giao điểm $M_0$.
5
Dựng $P'$ đối xứng với $P$ qua $d$. Với mọi $M \in d$: $MP = MP'$ (bổ đề). (1)
Do đó $MP + MQ = MP' + MQ \ge P'Q$ (bất đẳng thức tam giác cho ba điểm $P', M, Q$), dấu bằng khi $M$ thuộc đoạn $P'Q$. (2)
Từ (1) và (2), giá trị nhỏ nhất của $MP+MQ$ đúng bằng $P'Q \approx 7{,}1$.
Vậy $\min (MP+MQ) = P'Q \approx 7{,}1$ (làm tròn đến hàng phần mười).
Ví dụ
Ví dụ 2 — Biến thể: P, Q khác phía với d ngay từ đầu
1
Một học sinh nhớ máy móc "cứ đối xứng một điểm rồi nối" sẽ áp dụng sai nếu $P, Q$ đã khác phía $d$ sẵn.
2
$P, Q$ nằm khác phía với $d$. Tìm $M \in d$ để $MP+MQ$ nhỏ nhất.
3
Khi $P, Q$ đã khác phía, đoạn thẳng $PQ$ tự nó đã cắt $d$ — không cần dựng điểm đối xứng nào cả. Điểm $M$ tối ưu chính là giao điểm của $PQ$ với $d$, và giá trị nhỏ nhất là $PQ$ (trực tiếp, không qua phép đối xứng).
4
Phép đối xứng chỉ cần khi $P, Q$ CÙNG PHÍA — nó là công cụ để "đưa hai điểm cùng phía về khác phía", không phải một bước bắt buộc trong mọi bài toán MP+MQ nhỏ nhất.
5
Vì $P, Q$ nằm khác phía với $d$, đoạn thẳng $PQ$ cắt $d$ tại một điểm, gọi là $M_0$. (1)
Với $M_0$: $M_0P + M_0Q = PQ$ (vì $P, M_0, Q$ thẳng hàng). (2)
Với $M \ne M_0$ bất kỳ trên $d$: $MP + MQ > PQ$ (bất đẳng thức tam giác, vì $P, M, Q$ không thẳng hàng).
Vậy $\min(MP+MQ) = PQ$, đạt tại $M_0 = PQ \cap d$ — không cần dựng điểm đối xứng nào.
Sai lầm phổ biến
(1) Đối xứng NHẦM điểm khi $P, Q$ đã khác phía $d$ — làm bài toán phức tạp thêm một cách không cần thiết (xem Ví dụ 2); (2) sau khi dựng $P'$, nối nhầm $P'$ với chính $P$ thay vì với $Q$ — đoạn cần nối là $P'Q$, không phải $P'P$; (3) quên kiểm tra $M_0$ (giao điểm $P'Q$ với $d$) thực sự nằm trên $d$ trong phạm vi bài toán cho phép — nếu bài toán giới hạn $M$ trên một đoạn thay vì cả đường thẳng, cần kiểm tra $M_0$ có rơi vào đoạn đó không.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Thử thách
Tổng kết
Khi hai điểm cho trước nằm cùng phía với một đường thẳng và bài toán hỏi tổng khoảng cách nhỏ nhất, hãy đối xứng một điểm qua đường thẳng đó để đưa hai điểm về khác phía — khi đó bài toán trở lại đúng dạng bất đẳng thức tam giác quen thuộc, và giá trị nhỏ nhất chính là đoạn thẳng nối hai điểm mới.
Chương tiếp theo đổi sang một phép đối xứng khác — đối xứng TÂM, quay quanh một điểm cố định thay vì một đường thẳng. Bất biến khoảng cách vẫn còn đó, nhưng cách dùng nó để chứng minh sẽ khác hẳn: thay vì tìm đường đi ngắn nhất, ta sẽ dùng đối xứng tâm để dựng cả một hình bình hành chỉ từ hai đường chéo cắt nhau.
Sau bài này em giải được bài toán: cho một đường thẳng d và hai điểm P,Q cùng phía với d, tìm điểm M trên d sao cho MP+MQ nhỏ nhất — bằng đúng MỘT phép dựng đối xứng, không cần đạo hàm hay bất đẳng thức lạ. Đây là ứng dụng kinh điển nhất của bổ đề bất biến khoảng cách vừa học.
Em cần bổ đề bài trước (M∈d⇒MP=MP′ với P′ đối xứng P qua d), và bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh của một tam giác luôn lớn hơn cạnh còn lại, với dấu bằng khi ba điểm thẳng hàng.
Đề chuẩn hỏi thẳng "tính MP+MQ khi M ở một vị trí cho sẵn" — một phép cộng đơn giản. Bài hôm nay hỏi "tìm vị trí M để MP+MQ NHỎ NHẤT" trên toàn bộ đường thẳng d — một bài toán tối ưu hoá thực sự, và lời giải không đến từ việc thử từng điểm mà từ một phép dựng phụ duy nhất.
Ba điểm A,B,C bất kỳ luôn thoả AB+BC≥AC, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B nằm giữa A và C (ba điểm thẳng hàng). Đây là bất đẳng thức tam giác quen thuộc — bài học hôm nay chỉ cần đúng một lần áp dụng của nó, nhưng phải chọn đúng ba điểm để áp dụng vào.
Bài toán. Cho đường thẳng d và hai điểm P,Q nằm cùng phía với d (không thuộc d). Tìm điểm M trên d sao cho MP+MQ nhỏ nhất.
Khó ở đây: P và Q nằm CÙNG PHÍA với d, nên không thể nối thẳng PQ và tìm giao điểm với d như một bài toán đường thẳng thông thường — đoạn PQ không hề cắt d. Cần một cách khác để đưa bài toán về một đường thẳng duy nhất.
Dựng P′ đối xứng với P qua d — khi đó P′ nằm KHÁC PHÍA với Q so với d. Theo bổ đề bài trước, với mọi M∈d: MP=MP′, nên MP+MQ=MP′+MQ. Bài toán tối ưu MP+MQ trên d đã biến thành bài toán tối ưu MP′+MQ — mà P′, Q khác phía d nên đoạn thẳng P′Q CẮT d, và điểm cắt đó chính là M tối ưu.
Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì MP+MQ khó tối ưu trực tiếp (hai đoạn xiên về hai phía khác nhau của M), nhưng MP′+MQ dễ tối ưu — nó chỉ nhỏ nhất khi ba điểm P′,M,Q thẳng hàng, đúng dạng bất đẳng thức tam giác. Phép đối xứng không thay đổi độ dài MP, nó chỉ đổi VỊ TRÍ của điểm để bài toán rơi đúng vào dạng đã biết cách giải.
Cho đường thẳng d và hai điểm P,Q nằm cùng phía với d.
Với P,Q như hình, đo được P′Q≈7,1 (đơn vị hình vẽ). Giá trị nhỏ nhất của MP+MQ khi M chạy trên d là bao nhiêu?
Giá trị nhỏ nhất của MP+MQ đúng bằng P′Q — không cần biết toạ độ M0 cụ thể để trả lời câu hỏi "giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu", chỉ cần đoạn P′Q.
Nhiều học sinh cố tìm toạ độ M0 rồi mới tính M0P+M0Q — vòng qua một bước thừa. Giá trị nhỏ nhất chính là độ dài P′Q, đo hoặc tính được ngay từ P′ và Q, không cần biết M0 nằm ở đâu trên d.
Câu hỏi "tìm giá trị nhỏ nhất" và câu hỏi "tìm vị trí đạt giá trị nhỏ nhất" là hai câu hỏi khác nhau — câu đầu chỉ cần đoạn P′Q, câu sau mới cần dựng giao điểm M0.
Dựng P′ đối xứng với P qua d. Với mọi M∈d: MP=MP′ (bổ đề). (1)
Do đó MP+MQ=MP′+MQ≥P′Q (bất đẳng thức tam giác cho ba điểm P′,M,Q), dấu bằng khi M thuộc đoạn P′Q. (2)
Từ (1) và (2), giá trị nhỏ nhất của MP+MQ đúng bằng P′Q≈7,1.
Vậy min(MP+MQ)=P′Q≈7,1 (làm tròn đến hàng phần mười).
Một học sinh nhớ máy móc "cứ đối xứng một điểm rồi nối" sẽ áp dụng sai nếu P,Q đã khác phía d sẵn.
P,Q nằm khác phía với d. Tìm M∈d để MP+MQ nhỏ nhất.
Khi P,Q đã khác phía, đoạn thẳng PQ tự nó đã cắt d — không cần dựng điểm đối xứng nào cả. Điểm M tối ưu chính là giao điểm của PQ với d, và giá trị nhỏ nhất là PQ (trực tiếp, không qua phép đối xứng).
Phép đối xứng chỉ cần khi P,Q CÙNG PHÍA — nó là công cụ để "đưa hai điểm cùng phía về khác phía", không phải một bước bắt buộc trong mọi bài toán MP+MQ nhỏ nhất.
Vì P,Q nằm khác phía với d, đoạn thẳng PQ cắt d tại một điểm, gọi là M0. (1)
Với M0: M0P+M0Q=PQ (vì P,M0,Q thẳng hàng). (2)
Với M=M0 bất kỳ trên d: MP+MQ>PQ (bất đẳng thức tam giác, vì P,M,Q không thẳng hàng).
Vậy min(MP+MQ)=PQ, đạt tại M0=PQ∩d — không cần dựng điểm đối xứng nào.
(1) Đối xứng NHẦM điểm khi P,Q đã khác phía d — làm bài toán phức tạp thêm một cách không cần thiết (xem Ví dụ 2); (2) sau khi dựng P′, nối nhầm P′ với chính P thay vì với Q — đoạn cần nối là P′Q, không phải P′P; (3) quên kiểm tra M0 (giao điểm P′Q với d) thực sự nằm trên d trong phạm vi bài toán cho phép — nếu bài toán giới hạn M trên một đoạn thay vì cả đường thẳng, cần kiểm tra M0 có rơi vào đoạn đó không.