Bài học

Thalès chuyên sâu — chuỗi tỉ số và chia đoạn

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em nối được một chuỗi từ ba điểm trở lên trên hai tia bằng định lí Thalès, chứ không chỉ dừng ở một cặp tỉ số đơn lẻ như SGK — và biết khi nào chuỗi đó rút gọn về đường trung bình quen thuộc.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững: định lí Thalès (ba đường thẳng song song chắn trên hai cát tuyến những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ), định lí đường trung bình của tam giác, và điều kiện hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc–góc (g–g).

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn thường chỉ cho hai đường thẳng song song cắt hai cát tuyến và hỏi một tỉ số. Bài HSG hôm nay có ba đường thẳng song song liên tiếp, tỉ lệ không phải $1{:}1$ đơn giản mà là $1{:}1{:}2$ — em phải giữ đúng thứ tự tương ứng khi ghép cặp đoạn, và còn phải suy luận thêm một tầng nữa: tỉ số diện tích giữa các tam giác con.

Đề chuẩn thường chỉ cho **hai** đường thẳng song song cắt hai cát tuyến và hỏi **một** tỉ số. Bài HSG hôm nay có **ba** đường thẳng song song liên tiếp, tỉ lệ không phải $1{:}1$ đơn giản mà là $1{:}1{:}2$ — em phải giữ đúng thứ tự tương ứng khi ghép cặp đoạn, và còn phải suy luận thêm một tầng nữa: tỉ số diện tích giữa các tam giác con.

Bài toán mở đầu. Cho góc $xAy$ . Trên tia $Ax$ lấy ba điểm $B_1, B_2, B_3$ sao cho $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ . Qua $B_1, B_2, B_3$ vẽ ba đường thẳng song song với nhau, lần lượt cắt tia $Ay$ tại $C_1, C_2, C_3$ . Biết $AC_1 = 5$ cm, tính $AC_2, AC_3$ , rồi tính tỉ số diện tích tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$ .

**Bài toán mở đầu.** Cho góc $xAy$. Trên tia $Ax$ lấy ba điểm $B_1, B_2, B_3$ sao cho $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$. Qua $B_1, B_2, B_3$ vẽ ba đường thẳng song song với nhau, lần lượt cắt tia $Ay$ tại $C_1, C_2, C_3$. Biết $AC_1 = 5$ cm, tính $AC_2, AC_3$, rồi tính tỉ số diện tích tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$.

Ý tưởng mấu chốt

Ba đường thẳng song song $B_1C_1, B_2C_2, B_3C_3$ cắt hai cát tuyến $Ax, Ay$ xuất phát từ cùng điểm $A$ — đây đúng là hình dạng định lí Thalès mô tả, chỉ khác SGK ở chỗ có ba điểm chia thay vì hai. Tỉ số trên tia $Ax$ và tỉ số tương ứng trên tia $Ay$ phải bằng nhau theo đúng thứ tự — sai thứ tự là lỗi hay gặp nhất.

Ba đường thẳng song song $B_1C_1, B_2C_2, B_3C_3$ cắt hai cát tuyến $Ax, Ay$ xuất phát từ cùng điểm $A$ — đây đúng là hình dạng định lí Thalès mô tả, chỉ khác SGK ở chỗ có **ba** điểm chia thay vì hai. Tỉ số trên tia $Ax$ và tỉ số tương ứng trên tia $Ay$ phải bằng nhau **theo đúng thứ tự** — sai thứ tự là lỗi hay gặp nhất.

Vì sao chuỗi tỉ số này tự nhiên? Vì định lí Thalès không giới hạn ở hai điểm chia — hễ có thêm một đường thẳng song song nữa cắt qua, ta có thêm một cặp đoạn tỉ lệ nữa, nối tiếp vào chuỗi cũ. Khi tỉ lệ chia đôi ( $1{:}1$ ), chuỗi này thu gọn lại thành đúng đường trung bình đã học — nhưng đề HSG thường chọn tỉ lệ lệch (như $1{:}1{:}2$ ở đây) để em không thể áp dụng máy móc công thức trung bình cộng.

Vì sao chuỗi tỉ số này tự nhiên? Vì định lí Thalès không giới hạn ở hai điểm chia — hễ có thêm một đường thẳng song song nữa cắt qua, ta có thêm một cặp đoạn tỉ lệ nữa, nối tiếp vào chuỗi cũ. Khi tỉ lệ chia đôi ($1{:}1$), chuỗi này thu gọn lại thành đúng đường trung bình đã học — nhưng đề HSG thường chọn tỉ lệ lệch (như $1{:}1{:}2$ ở đây) để em không thể áp dụng máy móc công thức trung bình cộng.

Lời giải có hình

Ba đường thẳng song song, hai cát tuyến chung gốc A

Bước 1

Trên tia $Ax$ , lấy các điểm $B_1, B_2, B_3$ sao cho $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ .Trên tia $Ax$, lấy các điểm $B_1, B_2, B_3$ sao cho $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$.

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học tỉ số

AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = 1:1:2

.Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học tỉ số $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = 1:1:2$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Tính AC2, AC3 từ chuỗi tỉ số

1
Theo định lí Thalès, $AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ .
Theo định lí Thalès, $AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$.
2
Vì $AC_1 = 5$ cm ứng với phần tỉ lệ $1$ , nên mỗi phần tỉ lệ $1$ dài $5$ cm. Do đó $C_1C_2 = 1 \times 5 = 5$ cm và $C_2C_3 = 2 \times 5 = 10$ cm.
Vì $AC_1 = 5$ cm ứng với phần tỉ lệ $1$, nên mỗi phần tỉ lệ $1$ dài $5$ cm. Do đó $C_1C_2 = 1 \times 5 = 5$ cm và $C_2C_3 = 2 \times 5 = 10$ cm.
3
$AC_2 = AC_1 + C_1C_2 = 5 + 5 = 10$ cm. $AC_3 = AC_2 + C_2C_3 = 10 + 10 = 20$ cm.
$AC_2 = AC_1 + C_1C_2 = 5 + 5 = 10$ cm. $AC_3 = AC_2 + C_2C_3 = 10 + 10 = 20$ cm.
4
Chuỗi tỉ số Thalès không chỉ cho một tỉ số đôi — nó cho toàn bộ dãy tỉ lệ, và em dùng đơn vị chung (ở đây là $5$ cm) để quy đổi từng đoạn một, giống hệt cách chia phần trong bài toán tỉ lệ thức.
Chuỗi tỉ số Thalès không chỉ cho một tỉ số đôi — nó cho toàn bộ **dãy tỉ lệ**, và em dùng đơn vị chung (ở đây là $5$ cm) để quy đổi từng đoạn một, giống hệt cách chia phần trong bài toán tỉ lệ thức.
5
Vì $B_1C_1 \parallel B_2C_2 \parallel B_3C_3$ , theo định lí Thalès ta có $AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ . (1)\n\nTừ (1), với $AC_1 = 5$ cm ứng với $1$ phần, suy ra $C_1C_2 = 5$ cm (ứng với $1$ phần) và $C_2C_3 = 10$ cm (ứng với $2$ phần). (2)\n\nTừ (2): $AC_2 = AC_1 + C_1C_2 = 10$ cm; $AC_3 = AC_2 + C_2C_3 = 20$ cm.\n\nVậy $AC_2 = 10$ cm, $AC_3 = 20$ cm.
Vì $B_1C_1 \parallel B_2C_2 \parallel B_3C_3$, theo định lí Thalès ta có $AC_1:C_1C_2:C_2C_3 = AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$. (1)\n\nTừ (1), với $AC_1 = 5$ cm ứng với $1$ phần, suy ra $C_1C_2 = 5$ cm (ứng với $1$ phần) và $C_2C_3 = 10$ cm (ứng với $2$ phần). (2)\n\nTừ (2): $AC_2 = AC_1 + C_1C_2 = 10$ cm; $AC_3 = AC_2 + C_2C_3 = 20$ cm.\n\nVậy $AC_2 = 10$ cm, $AC_3 = 20$ cm.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Tỉ số diện tích: thêm một tầng suy luận

1
Đề chuẩn dừng lại ở tỉ số đoạn thẳng. Đề HSG thường hỏi tiếp một đại lượng bậc hai như diện tích — em phải nhận ra tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$ đồng dạng trước khi tính được tỉ số diện tích.
Đề chuẩn dừng lại ở tỉ số đoạn thẳng. Đề HSG thường hỏi tiếp một đại lượng bậc hai như diện tích — em phải nhận ra tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$ đồng dạng trước khi tính được tỉ số diện tích.
2
Gọi $AB_1 = k$ . Vì $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ nên $B_1B_2 = k$ , $B_2B_3 = 2k$ . Do đó $AB_2 = AB_1 + B_1B_2 = 2k$ và $AB_3 = AB_2 + B_2B_3 = 4k$ . Vậy $AB_1:AB_3 = k : 4k = 1:4$ .
Gọi $AB_1 = k$. Vì $AB_1:B_1B_2:B_2B_3 = 1:1:2$ nên $B_1B_2 = k$, $B_2B_3 = 2k$. Do đó $AB_2 = AB_1 + B_1B_2 = 2k$ và $AB_3 = AB_2 + B_2B_3 = 4k$. Vậy $AB_1:AB_3 = k : 4k = 1:4$.
3
Hai tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$ có góc $A$ chung, và $B_1C_1 \parallel B_3C_3$ nên $\widehat{AB_1C_1} = \widehat{AB_3C_3}$ (đồng vị) $\Rightarrow \triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_3C_3$ (g–g), tỉ số đồng dạng $1:4$ .
Hai tam giác $AB_1C_1$ và $AB_3C_3$ có góc $A$ chung, và $B_1C_1 \parallel B_3C_3$ nên $\widehat{AB_1C_1} = \widehat{AB_3C_3}$ (đồng vị) $\Rightarrow \triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_3C_3$ (g–g), tỉ số đồng dạng $1:4$.
4
Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ theo $k^2$ . Vậy $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{AB_3C_3}} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$ .
Hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ theo $k^2$. Vậy $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{AB_3C_3}} = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 = \dfrac{1}{16}$.
5
Đặt $AB_1 = k$ . Từ $AB_1:B_1B_2:B_2B_3=1:1:2$ suy ra $AB_2=2k$ , $AB_3=4k$ , tức $AB_1:AB_3=1:4$ . (1)\n\nXét $\triangle AB_1C_1$ và $\triangle AB_3C_3$ : góc $A$ chung; $B_1C_1 \parallel B_3C_3$ nên $\widehat{AB_1C_1}=\widehat{AB_3C_3}$ (đồng vị). Do đó $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_3C_3$ (g–g) với tỉ số đồng dạng $\dfrac{1}{4}$ (theo (1)). (2)\n\nTừ (2), hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ $k^2$ , nên $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{AB_3C_3}} = \dfrac{1}{16}$ .\n\nVậy $S_{AB_1C_1}:S_{AB_3C_3} = 1:16$ .
Đặt $AB_1 = k$. Từ $AB_1:B_1B_2:B_2B_3=1:1:2$ suy ra $AB_2=2k$, $AB_3=4k$, tức $AB_1:AB_3=1:4$. (1)\n\nXét $\triangle AB_1C_1$ và $\triangle AB_3C_3$: góc $A$ chung; $B_1C_1 \parallel B_3C_3$ nên $\widehat{AB_1C_1}=\widehat{AB_3C_3}$ (đồng vị). Do đó $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle AB_3C_3$ (g–g) với tỉ số đồng dạng $\dfrac{1}{4}$ (theo (1)). (2)\n\nTừ (2), hai tam giác đồng dạng theo tỉ số $k$ thì diện tích tỉ lệ $k^2$, nên $\dfrac{S_{AB_1C_1}}{S_{AB_3C_3}} = \dfrac{1}{16}$.\n\nVậy $S_{AB_1C_1}:S_{AB_3C_3} = 1:16$.

Vì sao cần biết

Trường hợp đặc biệt — đường trung bình. Nếu tỉ lệ chia là $1{:}1$ (chỉ hai điểm, chia đôi), chuỗi Thalès ở đây chính là đường trung bình của tam giác đã học đầu học kỳ: đoạn nối hai trung điểm song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Đường trung bình chỉ là một trường hợp riêng của chuỗi Thalès tổng quát — không phải một công cụ tách biệt.

**Trường hợp đặc biệt — đường trung bình.** Nếu tỉ lệ chia là $1{:}1$ (chỉ hai điểm, chia đôi), chuỗi Thalès ở đây chính là đường trung bình của tam giác đã học đầu học kỳ: đoạn nối hai trung điểm song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó. Đường trung bình chỉ là một trường hợp riêng của chuỗi Thalès tổng quát — không phải một công cụ tách biệt.

Sai lầm phổ biến

Bẫy thường gặp: (1) ghép sai thứ tự — lấy $AB_2:AC_1$ thay vì $AB_1:AC_1$ (tỉ số phải cùng "tầng", cùng thứ tự điểm chia); (2) khi tính diện tích, quên bình phương tỉ số cạnh — chỉ nhân đôi thay vì bình phương.

**Bẫy thường gặp:** (1) ghép sai thứ tự — lấy $AB_2:AC_1$ thay vì $AB_1:AC_1$ (tỉ số phải cùng \"tầng\", cùng thứ tự điểm chia); (2) khi tính diện tích, quên bình phương tỉ số cạnh — chỉ nhân đôi thay vì bình phương.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Khi thấy từ ba đường thẳng song song trở lên cắt hai cát tuyến, đừng chỉ nhìn từng cặp riêng lẻ — hãy viết ra toàn bộ chuỗi tỉ số một lần, rồi quy về một đơn vị chung để tính từng đoạn.

Bài tiếp theo vẫn dùng đúng công cụ Thalès, nhưng đặt vào một hình quen thuộc hơn — hình thang — nơi hai đường chéo cắt nhau tạo ra một điểm đặc biệt, và ta phải tự vẽ thêm một đường phụ mới thấy được chuỗi tỉ số ẩn bên trong.