Phần

Thalès trong hình thang — chuỗi tỉ số qua đường chéo

Mục tiêu bài học

Học xong bài này, em dùng được hai lần liên tiếp hệ quả của định lí Thalès (một lần trong mỗi tam giác con của hình thang) để chứng minh một đẳng thức đoạn thẳng — kỹ năng nối hai chứng minh nhỏ thành một chuỗi lập luận hoàn chỉnh.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững: hệ quả của định lí Thalès trong tam giác (một đường thẳng song song với một cạnh thì cắt hai cạnh còn lại theo cùng một tỉ số), và tính chất hai tam giác đồng dạng tạo bởi hai đáy song song của hình thang.

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn cho hình thang thường chỉ hỏi tỉ số $OA:OC$ trực tiếp từ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ . Bài HSG hôm nay đòi hỏi vẽ thêm đường phụ (đường thẳng qua $O$ song song hai đáy) rồi áp dụng Thalès hai lần trong hai tam giác khác nhau ( $ACD$ và $BCD$ ) để so sánh hai đoạn mới sinh ra.

Đề chuẩn cho hình thang thường chỉ hỏi tỉ số $OA:OC$ trực tiếp từ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$. Bài HSG hôm nay đòi hỏi vẽ thêm đường phụ (đường thẳng qua $O$ song song hai đáy) rồi áp dụng Thalès **hai lần** trong hai tam giác khác nhau ($ACD$ và $BCD$) để so sánh hai đoạn mới sinh ra.

Bài toán mở đầu. Cho hình thang $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ ), hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $O$ . Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt $AD$ tại $M$ , cắt $BC$ tại $N$ . Chứng minh $OM = ON$ .

**Bài toán mở đầu.** Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$), hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại $O$. Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt $AD$ tại $M$, cắt $BC$ tại $N$. Chứng minh $OM = ON$.

Ý tưởng mấu chốt

Đường thẳng qua $O$ song song hai đáy chưa có sẵn trong hình thang — đây là đường phụ em phải chủ động vẽ. Một khi có nó, $M$ nằm trong tam giác $ACD$ (đường $MO \parallel CD$ ) còn $N$ nằm trong tam giác $BCD$ (đường $NO \parallel CD$ ) — tách bài toán thành hai lần dùng hệ quả Thalès độc lập, rồi ghép lại bằng dữ kiện chung từ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ .

Đường thẳng qua $O$ song song hai đáy chưa có sẵn trong hình thang — đây là **đường phụ** em phải chủ động vẽ. Một khi có nó, $M$ nằm trong tam giác $ACD$ (đường $MO \parallel CD$) còn $N$ nằm trong tam giác $BCD$ (đường $NO \parallel CD$) — tách bài toán thành hai lần dùng hệ quả Thalès độc lập, rồi ghép lại bằng dữ kiện chung từ $\triangle OAB \sim \triangle OCD$.

Vì sao ý tưởng vẽ đường phụ này tự nhiên? Vì $O$ không nằm trên cạnh nào của hình thang — muốn dùng được Thalès, ta phải đặt $O$ vào bên trong một tam giác cụ thể. Đường thẳng song song hai đáy đi qua $O$ chính là cách làm điều đó: nó biến $O$ thành một điểm trên đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác $ACD$ (và của tam giác $BCD$ ), đúng hình dạng hệ quả Thalès yêu cầu.

Vì sao ý tưởng vẽ đường phụ này tự nhiên? Vì $O$ không nằm trên cạnh nào của hình thang — muốn dùng được Thalès, ta phải đặt $O$ vào **bên trong một tam giác cụ thể**. Đường thẳng song song hai đáy đi qua $O$ chính là cách làm điều đó: nó biến $O$ thành một điểm trên đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác $ACD$ (và của tam giác $BCD$), đúng hình dạng hệ quả Thalès yêu cầu.

Lời giải có hình

Hình thang, đường chéo cắt nhau, đường phụ song song hai đáy

Bước 1

Cho hình thang $ABCD$ ( $AB \parallel CD$ , $AB$ là đáy nhỏ).Cho hình thang $ABCD$ ($AB \parallel CD$, $AB$ là đáy nhỏ).

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học

OM = ON

.Toạ độ thật dùng để kiểm chứng số học $OM = ON$.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Chứng minh OM = ON

1
Vì $AB \parallel CD$ , xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ : $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ , $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (so le trong) $\Rightarrow \triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g), suy ra $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}$ . (1)
Vì $AB \parallel CD$, xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$: $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$, $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (so le trong) $\Rightarrow \triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g), suy ra $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=\dfrac{AB}{CD}$. (1)
2
Từ (1), đặt $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=k$ , ta có $\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{OB}{OB+OD}$ , tức là $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$ . (2)
Từ (1), đặt $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}=k$, ta có $\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{OB}{OB+OD}$, tức là $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$. (2)
3
Vì $MO \parallel CD$ và $M \in AD$ , $O \in AC$ , theo hệ quả Thalès trong $\triangle ACD$ : $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AO}{AC}$ , và cũng theo hệ quả đó, $\dfrac{MO}{CD}=\dfrac{AO}{AC}$ , nên $MO = CD \cdot \dfrac{OA}{AC}$ . (3)
Vì $MO \parallel CD$ và $M \in AD$, $O \in AC$, theo hệ quả Thalès trong $\triangle ACD$: $\dfrac{AM}{AD}=\dfrac{AO}{AC}$, và cũng theo hệ quả đó, $\dfrac{MO}{CD}=\dfrac{AO}{AC}$, nên $MO = CD \cdot \dfrac{OA}{AC}$. (3)
4
Tương tự, vì $NO \parallel CD$ và $N \in BC$ , $O \in BD$ , theo hệ quả Thalès trong $\triangle BCD$ : $NO = CD \cdot \dfrac{OB}{BD}$ . (4)
Tương tự, vì $NO \parallel CD$ và $N \in BC$, $O \in BD$, theo hệ quả Thalès trong $\triangle BCD$: $NO = CD \cdot \dfrac{OB}{BD}$. (4)
5
Kết hợp (2), (3), (4): $MO = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = CD \cdot \dfrac{OB}{BD} = NO$ . Vậy $OM = ON$ .
Kết hợp (2), (3), (4): $MO = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = CD \cdot \dfrac{OB}{BD} = NO$. Vậy $OM = ON$.
6
Vì $AB \parallel CD$ , xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$ : $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$ , $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (so le trong), nên $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g), suy ra $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$ . Từ đó $\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{OB}{OB+OD}$ , tức $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$ . (1)\n\nVì $MO \parallel CD$ , $M\in AD$ , $O\in AC$ , theo hệ quả định lí Thalès trong $\triangle ACD$ : $MO = CD\cdot\dfrac{OA}{AC}$ . (2)\n\nTương tự, vì $NO \parallel CD$ , $N\in BC$ , $O\in BD$ , theo hệ quả định lí Thalès trong $\triangle BCD$ : $NO = CD\cdot\dfrac{OB}{BD}$ . (3)\n\nKết hợp (1), (2), (3): $MO = CD\cdot\dfrac{OA}{AC} = CD\cdot\dfrac{OB}{BD} = NO$ .\n\nVậy $OM = ON$ — điều phải chứng minh.
Vì $AB \parallel CD$, xét $\triangle OAB$ và $\triangle OCD$: $\widehat{OAB}=\widehat{OCD}$, $\widehat{OBA}=\widehat{ODC}$ (so le trong), nên $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g), suy ra $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{OB}{OD}$. Từ đó $\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{OB}{OB+OD}$, tức $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$. (1)\n\nVì $MO \parallel CD$, $M\in AD$, $O\in AC$, theo hệ quả định lí Thalès trong $\triangle ACD$: $MO = CD\cdot\dfrac{OA}{AC}$. (2)\n\nTương tự, vì $NO \parallel CD$, $N\in BC$, $O\in BD$, theo hệ quả định lí Thalès trong $\triangle BCD$: $NO = CD\cdot\dfrac{OB}{BD}$. (3)\n\nKết hợp (1), (2), (3): $MO = CD\cdot\dfrac{OA}{AC} = CD\cdot\dfrac{OB}{BD} = NO$.\n\nVậy $OM = ON$ — điều phải chứng minh.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Áp dụng số: tính OM khi biết hai đáy

1
Hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$ , $AB = 6$ cm, $CD = 16$ cm. Tính $OM$ (đường qua giao điểm hai đường chéo, song song hai đáy, cắt $AD$ tại $M$ ).
Hình thang $ABCD$ có $AB \parallel CD$, $AB = 6$ cm, $CD = 16$ cm. Tính $OM$ (đường qua giao điểm hai đường chéo, song song hai đáy, cắt $AD$ tại $M$).
2
Từ Ví dụ 1, $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$ , nên $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{3}{3+8}=\dfrac{3}{11}$ .
Từ Ví dụ 1, $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}=\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$, nên $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OA}{OA+OC}=\dfrac{3}{3+8}=\dfrac{3}{11}$.
3
$OM = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = 16 \times \dfrac{3}{11} = \dfrac{48}{11} \approx 4{,}36$ cm.
$OM = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = 16 \times \dfrac{3}{11} = \dfrac{48}{11} \approx 4{,}36$ cm.
4
Công thức rút gọn thu được là $OM = \dfrac{AB \cdot CD}{AB+CD}$ — thay trực tiếp $\dfrac{6 \times 16}{6+16}=\dfrac{96}{22}=\dfrac{48}{11}$ , khớp kết quả trên.
Công thức rút gọn thu được là $OM = \dfrac{AB \cdot CD}{AB+CD}$ — thay trực tiếp $\dfrac{6 \times 16}{6+16}=\dfrac{96}{22}=\dfrac{48}{11}$, khớp kết quả trên.
5
Theo Ví dụ 1, $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{AB}{AB+CD}$ (suy từ $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$ ). Với $AB=6$ , $CD=16$ : $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{6}{22}=\dfrac{3}{11}$ . (1)\n\nTheo (2) ở Ví dụ 1, $OM = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = 16 \times \dfrac{3}{11} = \dfrac{48}{11}$ cm $\approx 4{,}36$ cm (làm tròn đến hàng phần trăm). (2)\n\nVậy $OM \approx 4{,}36$ cm.
Theo Ví dụ 1, $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{AB}{AB+CD}$ (suy từ $\dfrac{OA}{OC}=\dfrac{AB}{CD}$). Với $AB=6$, $CD=16$: $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{6}{22}=\dfrac{3}{11}$. (1)\n\nTheo (2) ở Ví dụ 1, $OM = CD \cdot \dfrac{OA}{AC} = 16 \times \dfrac{3}{11} = \dfrac{48}{11}$ cm $\approx 4{,}36$ cm (làm tròn đến hàng phần trăm). (2)\n\nVậy $OM \approx 4{,}36$ cm.

Ví dụ

Ví dụ 3 — Mở rộng dành cho HSG: công thức trung bình điều hòa

1
Từ Ví dụ 1 và Ví dụ 2, ta luôn có $OM = ON = \dfrac{AB \cdot CD}{AB+CD}$ , nên đoạn $MN = OM + ON = \dfrac{2 \cdot AB \cdot CD}{AB+CD}$ .
Từ Ví dụ 1 và Ví dụ 2, ta luôn có $OM = ON = \dfrac{AB \cdot CD}{AB+CD}$, nên đoạn $MN = OM + ON = \dfrac{2 \cdot AB \cdot CD}{AB+CD}$.
2
Biểu thức $\dfrac{2ab}{a+b}$ được gọi là trung bình điều hòa của $a$ và $b$ — nội dung này không nằm trong chương trình chuẩn Lớp 8, nhưng xuất hiện thường xuyên trong các đề chuyên khi hỏi về đoạn thẳng song song hai đáy đi qua giao điểm hai đường chéo hình thang. Em không cần thuộc tên gọi, chỉ cần nhớ cách suy ra nó từ hai lần Thalès ở Ví dụ 1.
Biểu thức $\dfrac{2ab}{a+b}$ được gọi là **trung bình điều hòa** của $a$ và $b$ — nội dung này không nằm trong chương trình chuẩn Lớp 8, nhưng xuất hiện thường xuyên trong các đề chuyên khi hỏi về đoạn thẳng song song hai đáy đi qua giao điểm hai đường chéo hình thang. Em không cần thuộc tên gọi, chỉ cần nhớ **cách suy ra nó** từ hai lần Thalès ở Ví dụ 1.
3
Với $AB=8$ cm, $CD=12$ cm: $MN = \dfrac{2 \times 8 \times 12}{8+12} = \dfrac{192}{20} = 9{,}6$ cm, và $OM=ON=4{,}8$ cm.
Với $AB=8$ cm, $CD=12$ cm: $MN = \dfrac{2 \times 8 \times 12}{8+12} = \dfrac{192}{20} = 9{,}6$ cm, và $OM=ON=4{,}8$ cm.
4
Nhận ra ngay mẫu hình "đoạn song song hai đáy qua giao điểm hai đường chéo" giúp em bỏ qua bước dựng hình phụ và đi thẳng vào công thức $\dfrac{2AB \cdot CD}{AB+CD}$ khi làm bài thi có giới hạn thời gian — miễn là em vẫn trình bày đủ hai bước Thalès khi được yêu cầu chứng minh.
Nhận ra ngay mẫu hình \"đoạn song song hai đáy qua giao điểm hai đường chéo\" giúp em bỏ qua bước dựng hình phụ và đi thẳng vào công thức $\dfrac{2AB \cdot CD}{AB+CD}$ khi làm bài thi có giới hạn thời gian — miễn là em vẫn trình bày đủ hai bước Thalès khi được yêu cầu chứng minh.
5
Theo Ví dụ 1 và Ví dụ 2, $OM = ON = \dfrac{AB\cdot CD}{AB+CD}$ . (1)\n\nVới $AB=8$ cm, $CD=12$ cm, thay vào (1): $OM = ON = \dfrac{8\times12}{20}=4{,}8$ cm. (2)\n\nTừ (2), $MN = OM+ON = 2\times4{,}8=9{,}6$ cm.\n\nVậy $MN = 9{,}6$ cm (Mở rộng dành cho HSG: đây là trung bình điều hòa của hai đáy, nhân đôi).
Theo Ví dụ 1 và Ví dụ 2, $OM = ON = \dfrac{AB\cdot CD}{AB+CD}$. (1)\n\nVới $AB=8$ cm, $CD=12$ cm, thay vào (1): $OM = ON = \dfrac{8\times12}{20}=4{,}8$ cm. (2)\n\nTừ (2), $MN = OM+ON = 2\times4{,}8=9{,}6$ cm.\n\nVậy $MN = 9{,}6$ cm (Mở rộng dành cho HSG: đây là trung bình điều hòa của hai đáy, nhân đôi).

Sai lầm phổ biến

Bẫy thường gặp: (1) áp dụng hệ quả Thalès trong tam giác $ACD$ nhưng lại lấy tỉ số từ tam giác $ABD$ (nhầm tam giác chứa $O$ ); (2) quên chứng minh $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$ trước khi so sánh $MO$ với $NO$ — thiếu bước (1) khiến lời giải bị hổng logic dù kết quả đúng.

**Bẫy thường gặp:** (1) áp dụng hệ quả Thalès trong tam giác $ACD$ nhưng lại lấy tỉ số từ tam giác $ABD$ (nhầm tam giác chứa $O$); (2) quên chứng minh $\dfrac{OA}{AC}=\dfrac{OB}{BD}$ trước khi so sánh $MO$ với $NO$ — thiếu bước (1) khiến lời giải bị hổng logic dù kết quả đúng.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Khi một điểm không nằm sẵn trên cạnh nào của hình, hãy tự hỏi: vẽ đường phụ nào đưa điểm đó vào đúng vị trí để dùng được Thalès? Ở đây, đường song song hai đáy qua $O$ chính là chìa khóa, và bài toán tách gọn thành hai lần áp dụng độc lập.

Hai bài vừa rồi dùng Thalès để so sánh đoạn thẳng. Chương tiếp theo đổi công cụ: thay vì một cặp tam giác đồng dạng, ta xâu chuỗi hai cặp tam giác đồng dạng liên tiếp để chứng minh một hệ thức tích đoạn thẳng — một kỹ năng khác hẳn về bản chất dù vẫn dựa trên cùng nền tảng g–g.