Phần

Tìm nghiệm nguyên dương và nghiệm trong khoảng cho trước

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em dùng được công thức nghiệm tổng quát của Bài 1 để tìm tất cả nghiệm nguyên dương của một phương trình $ax+by=c$ , hoặc đếm số nghiệm nguyên nằm trong một khoảng cho trước — kỹ năng "chặn tham số $t$ bằng bất phương trình" mà câu Thử thách của Bài 1 đã hé lộ.

Sau bài này, em dùng được công thức nghiệm tổng quát của Bài 1 để tìm **tất cả nghiệm nguyên dương** của một phương trình $ax+by=c$, hoặc đếm số nghiệm nguyên nằm trong một khoảng cho trước — kỹ năng "chặn tham số $t$ bằng bất phương trình" mà câu Thử thách của Bài 1 đã hé lộ.

Kiến thức cần có

Cần vững điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm tổng quát $x=x_0+\dfrac{b}{d}t$ , $y=y_0-\dfrac{a}{d}t$ của Bài 1. Bài này không thêm lý thuyết mới mà rèn kỹ năng giải bất phương trình để chặn $t$ — kỹ năng vẫn thuộc phạm vi Mở rộng dành cho HSG của chương, vì đề chuẩn Lớp 8 không có dạng "đếm nghiệm nguyên dương của phương trình vô định".

Cần vững điều kiện có nghiệm và công thức nghiệm tổng quát $x=x_0+\dfrac{b}{d}t$, $y=y_0-\dfrac{a}{d}t$ của Bài 1. Bài này không thêm lý thuyết mới mà rèn kỹ năng **giải bất phương trình để chặn $t$** — kỹ năng vẫn thuộc phạm vi Mở rộng dành cho HSG của chương, vì đề chuẩn Lớp 8 không có dạng "đếm nghiệm nguyên dương của phương trình vô định".

So với đề chuẩn lớp 8: một bài toán đếm quen thuộc hỏi "có bao nhiêu số tự nhiên $x$ thỏa $3 < x < 10$ ?" — chỉ cần đếm trực tiếp. Bài HSG hỏi "có bao nhiêu cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $7x+4y=100$ ?" — không đếm trực tiếp được vì $x,y$ ràng buộc lẫn nhau qua một phương trình, phải dùng công thức nghiệm tổng quát rồi chặn tham số.

**So với đề chuẩn lớp 8:** một bài toán đếm quen thuộc hỏi "có bao nhiêu số tự nhiên $x$ thỏa $3 < x < 10$?" — chỉ cần đếm trực tiếp. Bài HSG hỏi "có bao nhiêu cặp $(x,y)$ nguyên dương thỏa $7x+4y=100$?" — không đếm trực tiếp được vì $x,y$ ràng buộc lẫn nhau qua một phương trình, phải dùng công thức nghiệm tổng quát rồi chặn tham số.

Bài toán khởi động

Một câu lạc bộ mua tổng cộng $100$ chiếc bút, gồm hai loại: loại A giá $7$ nghìn đồng một chiếc và loại B giá $4$ nghìn đồng một chiếc (giả sử số tiền chi vừa đúng $100$ nghìn, không dư). Hỏi có những cách mua nào, biết phải mua ít nhất một chiếc mỗi loại?

Ý tưởng cốt lõi

Gọi $x$ là số bút loại A, $y$ là số bút loại B — bài toán trở thành $7x+4y=100$ với $x,y$ nguyên dương. Vì $\gcd(7{,}4)=1$ chia hết $100$ , phương trình có vô số nghiệm nguyên nói chung — nhưng ràng buộc $x>0,\;y>0$ chỉ giữ lại một số hữu hạn trong số đó. Ý tưởng: viết nghiệm tổng quát $x=x_0+4t$ , $y=y_0-7t$ (bước nhảy $\frac{b}{d}=4$ ở $x$ , $\frac{a}{d}=7$ ở $y$ ), rồi giải đồng thời hai bất phương trình $x_0+4t>0$ và $y_0-7t>0$ để tìm khoảng giá trị $t$ hợp lệ — mỗi số nguyên $t$ trong khoảng đó cho đúng một cách mua.

Gọi $x$ là số bút loại A, $y$ là số bút loại B — bài toán trở thành $7x+4y=100$ với $x,y$ nguyên dương. Vì $\gcd(7,4)=1$ chia hết $100$, phương trình có vô số nghiệm nguyên nói chung — nhưng ràng buộc $x>0,\;y>0$ chỉ giữ lại một số **hữu hạn** trong số đó. Ý tưởng: viết nghiệm tổng quát $x=x_0+4t$, $y=y_0-7t$ (bước nhảy $\frac{b}{d}=4$ ở $x$, $\frac{a}{d}=7$ ở $y$), rồi giải đồng thời hai bất phương trình $x_0+4t>0$ và $y_0-7t>0$ để tìm khoảng giá trị $t$ hợp lệ — mỗi số nguyên $t$ trong khoảng đó cho đúng một cách mua.

Vì sao cách này hiệu quả hơn phép thử trực tiếp? Thử từng $x$ từ $1$ đến $14$ (giới hạn bởi $7x<100$ ) rồi kiểm tra $(100-7x)$ có chia hết $4$ hay không là khả thi nhưng chậm và dễ bỏ sót. Chặn tham số $t$ biến bài toán đếm vô hạn khả năng thành đếm số nguyên trong một khoảng hữu hạn — nhanh và chắc chắn không bỏ sót nghiệm nào, vì mọi nghiệm nguyên (không chỉ nghiệm dương) đều đã được công thức tổng quát liệt kê hết.

**Vì sao cách này hiệu quả hơn phép thử trực tiếp?** Thử từng $x$ từ $1$ đến $14$ (giới hạn bởi $7x<100$) rồi kiểm tra $(100-7x)$ có chia hết $4$ hay không là khả thi nhưng chậm và dễ bỏ sót. Chặn tham số $t$ biến bài toán đếm vô hạn khả năng thành đếm số nguyên trong **một** khoảng hữu hạn — nhanh và chắc chắn không bỏ sót nghiệm nào, vì mọi nghiệm nguyên (không chỉ nghiệm dương) đều đã được công thức tổng quát liệt kê hết.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ

Ví dụ 1 — Giải bài toán khởi động:

7x + 4y = 100

x, y

nguyên dươngVí dụ 1 — Giải bài toán khởi động: $7x + 4y = 100$, $x, y$ nguyên dương

1
Thử $x=8$ : $7(8)=56$ , cần $4y=44$ , $y=11$ . Kiểm tra: $56+44=100$ đúng. Nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(8{,}11)$ .
Thử $x=8$: $7(8)=56$, cần $4y=44$, $y=11$. Kiểm tra: $56+44=100$ đúng. Nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(8,11)$.
2
Với $\gcd(7{,}4)=1$ : $x = 8+4t$ , $y=11-7t$ , $t\in\mathbb{Z}$ .
Với $\gcd(7,4)=1$: $x = 8+4t$, $y=11-7t$, $t\in\mathbb{Z}$.
3
Cần $x>0$ : $8+4t>0 \Leftrightarrow t>-2$ . Cần $y>0$ : $11-7t>0 \Leftrightarrow t<\frac{11}{7}\approx1{,}57$ . Kết hợp: $-2<t<1{,}57$ , mà $t$ nguyên nên $t\in\{-1{,}0{,}1\}$ .
Cần $x>0$: $8+4t>0 \Leftrightarrow t>-2$. Cần $y>0$: $11-7t>0 \Leftrightarrow t<\frac{11}{7}\approx1{,}57$. Kết hợp: $-2<t<1{,}57$, mà $t$ nguyên nên $t\in\{-1,0,1\}$.
4
$t=-1$ : $(x,y)=(4{,}18)$ . $t=0$ : $(8{,}11)$ . $t=1$ : $(12{,}4)$ . Cả ba đều thỏa $x,y>0$ — kiểm tra lại: $7(4)+4(18)=28+72=100$ ; $7(12)+4(4)=84+16=100$ , đúng cả hai.
$t=-1$: $(x,y)=(4,18)$. $t=0$: $(8,11)$. $t=1$: $(12,4)$. Cả ba đều thỏa $x,y>0$ — kiểm tra lại: $7(4)+4(18)=28+72=100$; $7(12)+4(4)=84+16=100$, đúng cả hai.
5
Câu lạc bộ có đúng ba cách mua: $(4{,}18),(8{,}11),(12{,}4)$ — không nhiều hơn, không ít hơn, vì $t$ chỉ nhận đúng ba giá trị nguyên trong khoảng đã chặn.
Câu lạc bộ có đúng **ba** cách mua: $(4,18),(8,11),(12,4)$ — không nhiều hơn, không ít hơn, vì $t$ chỉ nhận đúng ba giá trị nguyên trong khoảng đã chặn.
6
Đặt $x,y$ lần lượt là số bút loại A, loại B, ta có phương trình $7x+4y=100$ với $x,y$ nguyên dương. Vì $\gcd(7{,}4)=1$ chia hết $100$ , phương trình có nghiệm. Thử trực tiếp được nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(8{,}11)$ . Nghiệm tổng quát: $x=8+4t,\;y=11-7t$ $(t\in\mathbb{Z})$ (1). Điều kiện $x>0$ cho $t>-2$ ; điều kiện $y>0$ cho $t<\frac{11}{7}$ (2). Kết hợp (1) và (2): $t\in\{-1{,}0{,}1\}$ , tương ứng $(x,y)\in\{(4{,}18),(8{,}11),(12{,}4)\}$ . Vậy có đúng $3$ cách mua thỏa yêu cầu.
Đặt $x,y$ lần lượt là số bút loại A, loại B, ta có phương trình $7x+4y=100$ với $x,y$ nguyên dương. Vì $\gcd(7,4)=1$ chia hết $100$, phương trình có nghiệm. Thử trực tiếp được nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(8,11)$. Nghiệm tổng quát: $x=8+4t,\;y=11-7t$ $(t\in\mathbb{Z})$ (1). Điều kiện $x>0$ cho $t>-2$; điều kiện $y>0$ cho $t<\frac{11}{7}$ (2). Kết hợp (1) và (2): $t\in\{-1,0,1\}$, tương ứng $(x,y)\in\{(4,18),(8,11),(12,4)\}$. Vậy có đúng $3$ cách mua thỏa yêu cầu.
7
Đổi tổng tiền từ $100$ thành $103$ : $\gcd(7{,}4)=1 \mid 103$ nên vẫn có nghiệm. Nghiệm riêng mới: thử $x=1$ : $7+4y=103\Rightarrow y=24$ , $(x_0,y_0)=(1{,}24)$ . Chặn $t$ : $1+4t>0 \Rightarrow t>-0{,}25$ ; $24-7t>0\Rightarrow t<3{,}43$ , nên $t\in\{0{,}1{,}2{,}3\}$ — bốn cách mua, nhiều hơn bài gốc dù tổng tiền chỉ tăng $3$ nghìn, vì độ dài khoảng chặn $t$ nhạy với vế phải.
Đổi tổng tiền từ $100$ thành $103$: $\gcd(7,4)=1 \mid 103$ nên vẫn có nghiệm. Nghiệm riêng mới: thử $x=1$: $7+4y=103\Rightarrow y=24$, $(x_0,y_0)=(1,24)$. Chặn $t$: $1+4t>0 \Rightarrow t>-0{,}25$; $24-7t>0\Rightarrow t<3{,}43$, nên $t\in\{0,1,2,3\}$ — **bốn** cách mua, nhiều hơn bài gốc dù tổng tiền chỉ tăng $3$ nghìn, vì độ dài khoảng chặn $t$ nhạy với vế phải.

Ba nghiệm dương của

7x+4y=100

có

x \in \{4, 8, 12\}

— đúng ba điểm nguyên, cách đều

4

đơn vị (bước nhảy

b/d

), nằm gọn trong đoạn bị chặn bởi điều kiện

x>0

và

y>0

; ngoài đoạn này không còn điểm nguyên dương nào khác thỏa phương trình.Ba nghiệm dương của $7x+4y=100$ có $x \in \{4, 8, 12\}$ — đúng ba điểm nguyên, cách đều $4$ đơn vị (bước nhảy $b/d$), nằm gọn trong đoạn bị chặn bởi điều kiện $x>0$ và $y>0$; ngoài đoạn này không còn điểm nguyên dương nào khác thỏa phương trình.

Ví dụ

Ví dụ 2 — Đếm nghiệm nguyên dương của

5x + 3y = 51

Ví dụ 2 — Đếm nghiệm nguyên dương của $5x + 3y = 51$

1
$\gcd(5{,}3)=1 \mid 51$ . Thử $x=0$ : $3y=51,y=17$ — nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(0{,}17)$ . Nghiệm tổng quát: $x=0+3t=3t$ , $y=17-5t$ .
$\gcd(5,3)=1 \mid 51$. Thử $x=0$: $3y=51,y=17$ — nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(0,17)$. Nghiệm tổng quát: $x=0+3t=3t$, $y=17-5t$.
2
Cần $x>0$ : $3t>0 \Leftrightarrow t>0$ . Cần $y>0$ : $17-5t>0 \Leftrightarrow t<3{,}4$ . Kết hợp: $0<t<3{,}4$ , $t$ nguyên nên $t\in\{1{,}2{,}3\}$ .
Cần $x>0$: $3t>0 \Leftrightarrow t>0$. Cần $y>0$: $17-5t>0 \Leftrightarrow t<3{,}4$. Kết hợp: $0<t<3{,}4$, $t$ nguyên nên $t\in\{1,2,3\}$.
3
$t=1$ : $(3{,}12)$ . $t=2$ : $(6{,}7)$ . $t=3$ : $(9{,}2)$ . Kiểm tra: $5(9)+3(2)=45+6=51$ đúng.
$t=1$: $(3,12)$. $t=2$: $(6,7)$. $t=3$: $(9,2)$. Kiểm tra: $5(9)+3(2)=45+6=51$ đúng.
4
Phương trình có đúng $3$ nghiệm nguyên dương. Lưu ý điểm tinh tế: nghiệm riêng $(0{,}17)$ không phải nghiệm dương (vì $x=0$ không dương) — nó chỉ là điểm khởi đầu để viết công thức, không tính vào đáp số.
Phương trình có đúng $3$ nghiệm nguyên dương. Lưu ý điểm tinh tế: nghiệm riêng $(0,17)$ **không** phải nghiệm dương (vì $x=0$ không dương) — nó chỉ là điểm khởi đầu để viết công thức, không tính vào đáp số.
5
Ta có $\gcd(5{,}3)=1$ chia hết $51$ , phương trình có nghiệm. Nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(0{,}17)$ (vì $5(0)+3(17)=51$ ), nghiệm tổng quát $x=3t,\;y=17-5t$ $(t\in\mathbb{Z})$ (1). Điều kiện $x>0 \Rightarrow t>0$ ; điều kiện $y>0 \Rightarrow t<3{,}4$ (2). Kết hợp (1), (2): $t\in\{1{,}2{,}3\}$ , cho $(x,y)\in\{(3{,}12),(6{,}7),(9{,}2)\}$ . Vậy phương trình có đúng $3$ nghiệm nguyên dương.
Ta có $\gcd(5,3)=1$ chia hết $51$, phương trình có nghiệm. Nghiệm riêng $(x_0,y_0)=(0,17)$ (vì $5(0)+3(17)=51$), nghiệm tổng quát $x=3t,\;y=17-5t$ $(t\in\mathbb{Z})$ (1). Điều kiện $x>0 \Rightarrow t>0$; điều kiện $y>0 \Rightarrow t<3{,}4$ (2). Kết hợp (1), (2): $t\in\{1,2,3\}$, cho $(x,y)\in\{(3,12),(6,7),(9,2)\}$. Vậy phương trình có đúng $3$ nghiệm nguyên dương.
6
Đổi điều kiện thành $x,y$ nguyên không âm (cho phép $=0$ ): thêm lại $t=0$ (cho $(0{,}17)$ ) vào tập nghiệm, nâng tổng số nghiệm lên $4$ . Một chữ "dương" hay "không âm" trong đề bài làm thay đổi hẳn đáp số — luôn đọc kỹ điều kiện biên trước khi chặn $t$ .
Đổi điều kiện thành $x,y$ nguyên **không âm** (cho phép $=0$): thêm lại $t=0$ (cho $(0,17)$) vào tập nghiệm, nâng tổng số nghiệm lên $4$. Một chữ "dương" hay "không âm" trong đề bài làm thay đổi hẳn đáp số — luôn đọc kỹ điều kiện biên trước khi chặn $t$.

Bẫy thường gặp

(1) Chặn $t$ bằng một bất phương trình rồi quên bất phương trình còn lại — phải giải đồng thời $x>0$ và $y>0$ , lấy giao của hai khoảng. (2) Làm tròn sai chiều khi $t$ không nguyên tại biên: $t<\frac{11}{7}\approx1{,}57$ nghĩa là $t$ nguyên lớn nhất hợp lệ là $1$ , không phải $2$ — luôn kiểm tra lại bằng cách thế số. (3) Đếm cả nghiệm riêng ban đầu $(x_0,y_0)$ dù nó không thỏa điều kiện dương — nghiệm riêng chỉ là điểm neo để viết công thức, phải tự kiểm tra lại từng nghiệm sau khi chặn $t$ .

(1) Chặn $t$ bằng một bất phương trình rồi quên bất phương trình còn lại — phải giải **đồng thời** $x>0$ và $y>0$, lấy giao của hai khoảng. (2) Làm tròn sai chiều khi $t$ không nguyên tại biên: $t<\frac{11}{7}\approx1{,}57$ nghĩa là $t$ nguyên lớn nhất hợp lệ là $1$, không phải $2$ — luôn kiểm tra lại bằng cách thế số. (3) Đếm cả nghiệm riêng ban đầu $(x_0,y_0)$ dù nó không thỏa điều kiện dương — nghiệm riêng chỉ là điểm neo để viết công thức, phải tự kiểm tra lại từng nghiệm sau khi chặn $t$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Điều cần nhớ

Để đếm hoặc liệt kê nghiệm nguyên dương của $ax+by=c$ : viết nghiệm tổng quát từ Bài 1, rồi giải đồng thời hai bất phương trình $x>0$ và $y>0$ để chặn tham số $t$ vào một khoảng — mỗi số nguyên $t$ trong khoảng đó là đúng một nghiệm, không hơn không kém. Luôn kiểm tra lại bằng cách thế số vào phương trình gốc.

Để đếm hoặc liệt kê nghiệm nguyên dương của $ax+by=c$: viết nghiệm tổng quát từ Bài 1, rồi giải đồng thời hai bất phương trình $x>0$ và $y>0$ để chặn tham số $t$ vào một khoảng — mỗi số nguyên $t$ trong khoảng đó là đúng một nghiệm, không hơn không kém. Luôn kiểm tra lại bằng cách thế số vào phương trình gốc.

Bài tiếp theo: Chương 1 khép lại kỹ thuật cho phương trình bậc nhất hai ẩn. Chương 2 chuyển sang một họ phương trình khác — nơi $x, y$ nhân với nhau (như $xy+2x+3y=6$ ) — và kỹ thuật giải hoàn toàn khác: đưa về dạng tích rồi liệt kê ước, thay vì viết công thức nghiệm tổng quát.

**Bài tiếp theo:** Chương 1 khép lại kỹ thuật cho phương trình bậc nhất hai ẩn. Chương 2 chuyển sang một họ phương trình khác — nơi $x, y$ nhân với nhau (như $xy+2x+3y=6$) — và kỹ thuật giải hoàn toàn khác: đưa về dạng tích rồi liệt kê ước, thay vì viết công thức nghiệm tổng quát.