Phần

Quan hệ đường chéo: từ tam giác cân tại giao điểm đến hai cạnh song song

Mục tiêu bài học

Sau bài này em chứng minh được hai cạnh đối của một tứ giác song song xuất phát từ một điều kiện về TAM GIÁC CÂN tại giao điểm hai đường chéo — một con đường hoàn toàn khác với việc đo trực tiếp hai góc so le trong trên hai cạnh đó. Đây là kỹ năng "quan hệ đường chéo" trung tâm của chương.

Kiến thức cần có trước

Em cần vững: tam giác cân có hai góc đáy bằng nhau (và ngược lại), hai góc đối đỉnh bằng nhau, và dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song bằng cặp góc so le trong bằng nhau.

Bài chuẩn so với bài HSG

Đề chuẩn cho sẵn hai góc so le trong bằng nhau và hỏi thẳng "chứng minh hai đường thẳng song song" — áp một dấu hiệu, xong ngay. Bài HSG hôm nay không cho góc nào cả; nó cho một điều kiện về ĐỘ DÀI (hai tam giác tại giao điểm đường chéo cân), và em phải tự lần ra cặp góc so le trong bằng nhau từ điều kiện cân đó trước khi dùng được dấu hiệu song song.

Khởi động

Hai đường thẳng $a$ , $b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại hai điểm phân biệt. Biết một cặp góc so le trong bằng $65^\circ$ mỗi góc. Kết luận gì về $a$ , $b$ ? Ngay lập tức: $a \parallel b$ , theo dấu hiệu so le trong. Bài học hôm nay dùng lại đúng dấu hiệu này ở bước cuối — cái khó là phải TỰ TẠO ra cặp góc so le trong bằng nhau đó từ một giả thiết hoàn toàn khác.

Hai đường thẳng $a$, $b$ bị cắt bởi đường thẳng $c$ tại hai điểm phân biệt. Biết một cặp góc so le trong bằng $65^\circ$ mỗi góc. Kết luận gì về $a$, $b$? Ngay lập tức: $a \parallel b$, theo dấu hiệu so le trong. Bài học hôm nay dùng lại đúng dấu hiệu này ở bước cuối — cái khó là phải TỰ TẠO ra cặp góc so le trong bằng nhau đó từ một giả thiết hoàn toàn khác.

Bài toán mở đầu

Bài toán. Cho tứ giác lồi $ABCD$ , hai đường chéo $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ . Biết tam giác $OAB$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ ) và tam giác $OCD$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$ ). Chứng minh $AB \parallel CD$ .

Không có góc nào cho sẵn bằng số — chỉ có hai điều kiện cân. Nhìn hình, $O$ nằm giữa hai cặp cạnh đối, và hai tam giác $OAB$ , $OCD$ "đối xứng" nhau qua $O$ theo một nghĩa nào đó. Câu hỏi đặt ra: điều kiện cân ở HAI tam giác riêng biệt liên hệ với nhau thế nào khi chúng chung đỉnh $O$ qua hai đường chéo cắt nhau?

**Bài toán.** Cho tứ giác lồi $ABCD$, hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Biết tam giác $OAB$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$) và tam giác $OCD$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OCD} = \widehat{ODC}$). Chứng minh $AB \parallel CD$. Không có góc nào cho sẵn bằng số — chỉ có hai điều kiện cân. Nhìn hình, $O$ nằm giữa hai cặp cạnh đối, và hai tam giác $OAB$, $OCD$ "đối xứng" nhau qua $O$ theo một nghĩa nào đó. Câu hỏi đặt ra: điều kiện cân ở HAI tam giác riêng biệt liên hệ với nhau thế nào khi chúng chung đỉnh $O$ qua hai đường chéo cắt nhau?

Ý tưởng mấu chốt

Góc $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$ là hai góc ĐỐI ĐỈNH (tạo bởi hai đường chéo $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ ) nên chúng bằng nhau. Trong tam giác cân $OAB$ , góc đáy bằng $\dfrac{180^\circ - \widehat{AOB}}{2}$ ; trong tam giác cân $OCD$ , góc đáy bằng $\dfrac{180^\circ - \widehat{COD}}{2}$ . Vì $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ , hai góc đáy này BẰNG NHAU — và đó chính là cặp góc so le trong ta cần, tạo bởi cát tuyến $BD$ cắt hai đường thẳng $AB$ , $CD$ .

Góc $\widehat{AOB}$ và $\widehat{COD}$ là hai góc ĐỐI ĐỈNH (tạo bởi hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$) nên chúng bằng nhau. Trong tam giác cân $OAB$, góc đáy bằng $\dfrac{180^\circ - \widehat{AOB}}{2}$; trong tam giác cân $OCD$, góc đáy bằng $\dfrac{180^\circ - \widehat{COD}}{2}$. Vì $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$, hai góc đáy này BẰNG NHAU — và đó chính là cặp góc so le trong ta cần, tạo bởi cát tuyến $BD$ cắt hai đường thẳng $AB$, $CD$.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì hai đường chéo cắt nhau luôn cho một cặp góc đối đỉnh bằng nhau MIỄN PHÍ — không cần chứng minh gì thêm. Một khi đã có $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$ , hai điều kiện cân (vốn là hai giả thiết tưởng như độc lập) lập tức khoá chặt với nhau qua cùng một công thức góc đáy, và cặp so le trong xuất hiện tự động.

Vì sao ý tưởng này tự nhiên? Vì hai đường chéo cắt nhau luôn cho một cặp góc đối đỉnh bằng nhau MIỄN PHÍ — không cần chứng minh gì thêm. Một khi đã có $\widehat{AOB} = \widehat{COD}$, hai điều kiện cân (vốn là hai giả thiết tưởng như độc lập) lập tức khoá chặt với nhau qua cùng một công thức góc đáy, và cặp so le trong xuất hiện tự động.

Lời giải có hình

Tam giác cân OAB, OCD tại giao điểm hai đường chéo ⇒ AB // CD

Bước 1

Cho tứ giác lồi $ABCD$ ; hai đường chéo $AC$ , $BD$ cắt nhau tại $O$ .Cho tứ giác lồi $ABCD$; hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$.

Toạ độ thật dùng để kiểm chứng: hai tam giác cân tại O kéo theo AB song song CD.

Ví dụ

Ví dụ 1 — Kiểm chứng bằng tỉ số đường chéo

1
Với hình trên, đo được $OA = OB \approx 78{,}0$ và $OC = OD \approx 120{,}9$ . Tính tỉ số $OC:OA$ và so sánh với tỉ số $CD:AB$ .
Với hình trên, đo được $OA = OB \approx 78{,}0$ và $OC = OD \approx 120{,}9$. Tính tỉ số $OC:OA$ và so sánh với tỉ số $CD:AB$.
2
$OC:OA \approx 120{,}9 : 78{,}0 \approx 1{,}55$ .
$OC:OA \approx 120{,}9 : 78{,}0 \approx 1{,}55$.
3
Vì $AB \parallel CD$ , tam giác $OAB$ và $OCD$ đồng dạng (so le trong bằng nhau tại cả hai đầu), tỉ số đồng dạng bằng $OC:OA \approx 1{,}55$ . Vậy $CD:AB \approx 1{,}55$ — đúng bằng tỉ số hai đường chéo.
Vì $AB \parallel CD$, tam giác $OAB$ và $OCD$ đồng dạng (so le trong bằng nhau tại cả hai đầu), tỉ số đồng dạng bằng $OC:OA \approx 1{,}55$. Vậy $CD:AB \approx 1{,}55$ — đúng bằng tỉ số hai đường chéo.
4
Kết quả này chính là tính chất "đường chéo hình thang chia nhau theo cùng tỉ lệ với hai đáy" — bài toán hôm nay đã chứng minh CHIỀU NGƯỢC của tính chất đó: từ điều kiện cân suy ra song song, chứ không phải từ song song suy ra tỉ lệ.
5
Ta có $OA = OB \approx 78{,}0$ và $OC = OD \approx 120{,}9$ (giả thiết hai tam giác cân tại $O$ ). (1)

Đã chứng minh $AB \parallel CD$ ở phần lý thuyết; do đó $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (so le trong bằng nhau ở cả hai đỉnh $A$ , $B$ ), tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB}$ . (2)

Thay số vào (2): $k \approx \dfrac{120{,}9}{78{,}0} \approx 1{,}55$ , và vì tam giác đồng dạng nên $\dfrac{CD}{AB} = k \approx 1{,}55$ .

Vậy $CD \approx 1{,}55 \cdot AB$ (làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có $OA = OB \approx 78{,}0$ và $OC = OD \approx 120{,}9$ (giả thiết hai tam giác cân tại $O$). (1) Đã chứng minh $AB \parallel CD$ ở phần lý thuyết; do đó $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (so le trong bằng nhau ở cả hai đỉnh $A$, $B$), tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{OC}{OA} = \dfrac{OD}{OB}$. (2) Thay số vào (2): $k \approx \dfrac{120{,}9}{78{,}0} \approx 1{,}55$, và vì tam giác đồng dạng nên $\dfrac{CD}{AB} = k \approx 1{,}55$. Vậy $CD \approx 1{,}55 \cdot AB$ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Ví dụ

Ví dụ 2 — Đảo lại: từ AB // CD suy ra hai tam giác cân?

1
Học sinh giỏi luôn tự hỏi: mệnh đề đảo có đúng không? Nếu $AB \parallel CD$ , hai tam giác $OAB$ , $OCD$ có BẮT BUỘC cân tại $O$ không?
Học sinh giỏi luôn tự hỏi: mệnh đề đảo có đúng không? Nếu $AB \parallel CD$, hai tam giác $OAB$, $OCD$ có BẮT BUỘC cân tại $O$ không?
2
Nếu $AB \parallel CD$ thì $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (so le trong), nên $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ và $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ — nhưng KHÔNG có gì buộc $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ (tức tam giác $OAB$ cân) trừ khi hình thang đó là hình thang CÂN.
Nếu $AB \parallel CD$ thì $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (so le trong), nên $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ và $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ — nhưng KHÔNG có gì buộc $\widehat{OAB} = \widehat{OBA}$ (tức tam giác $OAB$ cân) trừ khi hình thang đó là hình thang CÂN.
3
Mệnh đề đảo SAI trong trường hợp tổng quát: có vô số hình thang $AB \parallel CD$ mà tam giác $OAB$ không cân. Điều kiện cân ở bài toán gốc mạnh hơn điều kiện song song — đó là lý do ta CHỌN dùng nó làm giả thiết để suy ra kết luận yếu hơn (song song), không phải ngược lại.
Mệnh đề đảo SAI trong trường hợp tổng quát: có vô số hình thang $AB \parallel CD$ mà tam giác $OAB$ không cân. Điều kiện cân ở bài toán gốc mạnh hơn điều kiện song song — đó là lý do ta CHỌN dùng nó làm giả thiết để suy ra kết luận yếu hơn (song song), không phải ngược lại.
4
Giả sử $AB \parallel CD$ . Vì $AB \parallel CD$ , xét cát tuyến $AC$ : $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (so le trong); xét cát tuyến $BD$ : $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (so le trong). Do đó $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g). (1)

Từ (1), tam giác $OAB$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ ) khi và chỉ khi tam giác $OCD$ cũng cân tại $O$ theo đúng góc tương ứng — nhưng (1) không buộc $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ nói riêng.

Vậy chiều đảo không đúng nói chung: $AB \parallel CD$ không kéo theo hai tam giác cân tại $O$ , trừ khi $ABCD$ còn là hình thang cân.
Giả sử $AB \parallel CD$. Vì $AB \parallel CD$, xét cát tuyến $AC$: $\widehat{OAB} = \widehat{OCD}$ (so le trong); xét cát tuyến $BD$: $\widehat{OBA} = \widehat{ODC}$ (so le trong). Do đó $\triangle OAB \sim \triangle OCD$ (g–g). (1) Từ (1), tam giác $OAB$ cân tại $O$ (tức $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$) khi và chỉ khi tam giác $OCD$ cũng cân tại $O$ theo đúng góc tương ứng — nhưng (1) không buộc $\widehat{OAB}=\widehat{OBA}$ nói riêng. Vậy chiều đảo không đúng nói chung: $AB \parallel CD$ không kéo theo hai tam giác cân tại $O$, trừ khi $ABCD$ còn là hình thang cân.

Sai lầm phổ biến

(1) Nhầm góc đối đỉnh $\widehat{AOB}, \widehat{COD}$ với góc kề bù $\widehat{AOD}, \widehat{BOC}$ — chỉ cặp đối đỉnh mới bằng nhau miễn phí; (2) tưởng kết luận đảo (từ song song suy ra hai tam giác cân) cũng đúng — Ví dụ 2 cho thấy điều này sai trong trường hợp tổng quát.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Thử thách

Tổng kết

Khi đề cho điều kiện về ĐỘ DÀI tại giao điểm hai đường chéo (ở đây là hai tam giác cân), đừng vội tìm góc so le trong trực tiếp trên hai cạnh — hãy bắc cầu qua cặp góc đối đỉnh tại giao điểm trước. Góc đối đỉnh luôn bằng nhau miễn phí; đó là cửa ngõ biến một điều kiện độ dài thành một điều kiện góc.

Chương tiếp theo đổi hẳn công cụ: thay vì chỉ dùng đường chéo sẵn có, ta chủ động VẼ THÊM một đường thẳng — kéo dài một cạnh, hoặc dựng một đường song song qua một đỉnh — để lộ ra tam giác hay hình bình hành ẩn bên trong tứ giác. Đó là kỹ năng "vẽ hình phụ", nền tảng của phần lớn các bài hình học HSG khó.