Bài học

Bài toán công việc chung

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em áp dụng được quy trình năm bước để giải bài toán công việc chung, biết biểu diễn năng suất làm việc dưới dạng phân số $\dfrac{1}{t}$ và cộng hai năng suất riêng để được năng suất chung.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần dùng lại quy trình năm bước của bài trước, và kỹ năng giải phương trình có ẩn ở mẫu của Chương 3 — vì phương trình công việc chung luôn có ẩn nằm trong mẫu. Một điểm cần lưu ý: phương trình dạng $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+d}=\dfrac{1}{T}$ sau khi quy đồng và khử mẫu sẽ cho một phương trình BẬC HAI theo $x$ — em dùng kĩ năng phân tích đa thức thành nhân tử đã học ở chương trước của lớp 8 (kiến thức cùng lớp, dùng lại làm cầu nối) để giải phương trình bậc hai trung gian này bằng cách đưa về tích bằng 0, thay vì một công thức nghiệm mới.

Khởi động

Một mình bác thợ cả xây xong một bức tường hết 6 giờ. Nếu có thêm một người phụ, hai người cùng xây thì có nhanh hơn 6 giờ không? Nhanh hơn bao nhiêu thì gọi là hợp lí, và làm sao tính được con số đó một cách chắc chắn thay vì đoán?

Kiến thức trọng tâm

Nếu một người (hoặc một đội) làm XONG một công việc trong $t$ đơn vị thời gian với tốc độ không đổi, thì trong MỘT đơn vị thời gian, người đó làm được $\dfrac{1}{t}$ công việc — đại lượng $\dfrac{1}{t}$ gọi là năng suất (tốc độ hoàn thành công việc).

Khi hai người CÙNG làm chung, không ai nghỉ, năng suất chung bằng TỔNG hai năng suất riêng: nếu người 1 làm một mình xong trong $x$ (thời gian), người 2 xong trong $y$ , thì làm chung mỗi đơn vị thời gian họ làm được $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ công việc. Nếu biết thời gian làm chung là $T$ , phương trình cần lập là $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{T}$ — vì bài toán chỉ có MỘT ẩn, đề luôn cho thêm một mối quan hệ khác giữa $x$ và $y$ (ví dụ "người này làm chậm hơn người kia bao nhiêu thời gian") để biểu diễn $y$ theo $x$ trước khi lập phương trình.

Khi hai người CÙNG làm chung, không ai nghỉ, năng suất chung bằng TỔNG hai năng suất riêng: nếu người 1 làm một mình xong trong $x$ (thời gian), người 2 xong trong $y$, thì làm chung mỗi đơn vị thời gian họ làm được $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}$ công việc. Nếu biết thời gian làm chung là $T$, phương trình cần lập là $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{T}$ — vì bài toán chỉ có MỘT ẩn, đề luôn cho thêm một mối quan hệ khác giữa $x$ và $y$ (ví dụ \"người này làm chậm hơn người kia bao nhiêu thời gian\") để biểu diễn $y$ theo $x$ trước khi lập phương trình.

Cũng như bài toán chuyển động, hãy biểu diễn rõ từng người trước khi viết phương trình: người làm nhanh hơn — thời gian làm một mình $x$ , năng suất $\dfrac{1}{x}$ ; người làm chậm hơn — thời gian làm một mình $x+d$ (với $d$ là số ngày/giờ chênh lệch đề cho), năng suất $\dfrac{1}{x+d}$ .

Cũng như bài toán chuyển động, hãy biểu diễn rõ từng người trước khi viết phương trình: người làm nhanh hơn — thời gian làm một mình $x$, năng suất $\dfrac{1}{x}$; người làm chậm hơn — thời gian làm một mình $x+d$ (với $d$ là số ngày/giờ chênh lệch đề cho), năng suất $\dfrac{1}{x+d}$.

Năng suất chung

\dfrac{1}{4}

công việc mỗi ngày, ứng với thời gian làm chung

T=4

ngày trong ví dụ dưới đây.Năng suất chung $\dfrac{1}{4}$ công việc mỗi ngày, ứng với thời gian làm chung $T=4$ ngày trong ví dụ dưới đây.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Hai người thợ làm chung một công việc

1
Hai người thợ cùng làm chung một công việc thì 4 ngày xong. Nếu làm riêng, người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai 6 ngày. Hỏi mỗi người làm riêng thì mất bao nhiêu ngày để xong công việc?
2
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (ngày), điều kiện $x>0$ . Người thứ hai làm một mình xong trong $x+6$ (ngày).
Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là $x$ (ngày), điều kiện $x>0$. Người thứ hai làm một mình xong trong $x+6$ (ngày).
3
Năng suất người thứ nhất là $\dfrac{1}{x}$ (công việc/ngày), năng suất người thứ hai là $\dfrac{1}{x+6}$ (công việc/ngày). Làm chung 4 ngày xong nên năng suất chung là $\dfrac{1}{4}$ (công việc/ngày).
Năng suất người thứ nhất là $\dfrac{1}{x}$ (công việc/ngày), năng suất người thứ hai là $\dfrac{1}{x+6}$ (công việc/ngày). Làm chung 4 ngày xong nên năng suất chung là $\dfrac{1}{4}$ (công việc/ngày).
4
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{4}$ .
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+6}=\dfrac{1}{4}$.
5
Quy đồng mẫu chung $4x(x+6)$ rồi khử mẫu: $4(x+6)+4x=x(x+6) \iff 4x+24+4x=x^2+6x \iff 8x+24=x^2+6x$ , tức $x^2-2x-24=0$ . Phân tích nhân tử: $(x-6)(x+4)=0$ , nên $x=6$ hoặc $x=-4$ .
Quy đồng mẫu chung $4x(x+6)$ rồi khử mẫu: $4(x+6)+4x=x(x+6) \iff 4x+24+4x=x^2+6x \iff 8x+24=x^2+6x$, tức $x^2-2x-24=0$. Phân tích nhân tử: $(x-6)(x+4)=0$, nên $x=6$ hoặc $x=-4$.
6
$x=6$ thỏa điều kiện $x>0$ (nhận); $x=-4$ không thỏa (loại). Vậy người thứ nhất làm một mình xong trong 6 ngày, người thứ hai xong trong $6+6=12$ ngày.
$x=6$ thỏa điều kiện $x>0$ (nhận); $x=-4$ không thỏa (loại). Vậy người thứ nhất làm một mình xong trong 6 ngày, người thứ hai xong trong $6+6=12$ ngày.

Ví dụ

Hai vòi nước cùng chảy vào bể (dạng thi)

1
Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu chảy riêng, vòi thứ nhất cần nhiều thời gian hơn vòi thứ hai 5 giờ. Hỏi mỗi vòi chảy một mình mất bao lâu để đầy bể?
2
Gọi thời gian vòi thứ hai (nhanh hơn) chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), điều kiện $x>0$ . Vòi thứ nhất chảy một mình mất $x+5$ (giờ).
Gọi thời gian vòi thứ hai (nhanh hơn) chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), điều kiện $x>0$. Vòi thứ nhất chảy một mình mất $x+5$ (giờ).
3
Năng suất vòi thứ hai là $\dfrac{1}{x}$ (bể/giờ), năng suất vòi thứ nhất là $\dfrac{1}{x+5}$ (bể/giờ); chảy chung 6 giờ đầy nên năng suất chung là $\dfrac{1}{6}$ (bể/giờ).
Năng suất vòi thứ hai là $\dfrac{1}{x}$ (bể/giờ), năng suất vòi thứ nhất là $\dfrac{1}{x+5}$ (bể/giờ); chảy chung 6 giờ đầy nên năng suất chung là $\dfrac{1}{6}$ (bể/giờ).
4
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$ .
$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+5}=\dfrac{1}{6}$.
5
Quy đồng mẫu chung $6x(x+5)$ : $6(x+5)+6x=x(x+5) \iff 12x+30=x^2+5x$ , tức $x^2-7x-30=0$ . Phân tích nhân tử: $(x-10)(x+3)=0$ , nên $x=10$ hoặc $x=-3$ .
Quy đồng mẫu chung $6x(x+5)$: $6(x+5)+6x=x(x+5) \iff 12x+30=x^2+5x$, tức $x^2-7x-30=0$. Phân tích nhân tử: $(x-10)(x+3)=0$, nên $x=10$ hoặc $x=-3$.
6
$x=10$ thỏa $x>0$ (nhận); $x=-3$ loại. Vậy vòi thứ hai chảy một mình mất 10 giờ, vòi thứ nhất chảy một mình mất $10+5=15$ giờ.
$x=10$ thỏa $x>0$ (nhận); $x=-3$ loại. Vậy vòi thứ hai chảy một mình mất 10 giờ, vòi thứ nhất chảy một mình mất $10+5=15$ giờ.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi nặng nhất là cộng trực tiếp hai THỜI GIAN làm riêng để suy ra thời gian làm chung (sai — phải cộng NĂNG SUẤT, tức nghịch đảo của thời gian, không phải cộng thời gian). Lỗi khác là quên loại nghiệm âm của phương trình bậc hai trung gian — phương trình dạng $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+d}=\dfrac{1}{T}$ luôn cho hai nghiệm sau khi phân tích nhân tử, và luôn có đúng một nghiệm âm cần loại theo điều kiện $x>0$ .

Ghi nhớ

Năng suất $=\dfrac{1}{\text{thời gian làm một mình}}$ ; năng suất chung bằng tổng các năng suất riêng. Phương trình công việc chung thường có ẩn ở mẫu và có thể dẫn tới phương trình bậc hai — dùng phân tích nhân tử để giải, rồi loại nghiệm âm theo điều kiện thực tế.

Năng suất $=\dfrac{1}{\text{thời gian làm một mình}}$; năng suất chung bằng tổng các năng suất riêng. Phương trình công việc chung thường có ẩn ở mẫu và có thể dẫn tới phương trình bậc hai — dùng phân tích nhân tử để giải, rồi loại nghiệm âm theo điều kiện thực tế.

Cả hai ví dụ trong bài đều dẫn tới một phương trình bậc hai trung gian dạng $x^2-dx-dT=0$ (với $d$ là số ngày/giờ chênh lệch, $T$ là thời gian làm chung), và ở đây đều phân tích được thành tích của hai nhân tử nguyên gọn gàng. Không phải đề bài công việc chung nào cũng may mắn như vậy — nhưng khi đề đã cho sẵn những con số "đẹp", phân tích nhân tử luôn là cách nhanh nhất để giải, không cần tới công thức nghiệm phương trình bậc hai đầy đủ, việc đó để dành cho lớp 9.

Cả hai ví dụ trong bài đều dẫn tới một phương trình bậc hai trung gian dạng $x^2-dx-dT=0$ (với $d$ là số ngày/giờ chênh lệch, $T$ là thời gian làm chung), và ở đây đều phân tích được thành tích của hai nhân tử nguyên gọn gàng. Không phải đề bài công việc chung nào cũng may mắn như vậy — nhưng khi đề đã cho sẵn những con số \"đẹp\", phân tích nhân tử luôn là cách nhanh nhất để giải, không cần tới công thức nghiệm phương trình bậc hai đầy đủ, việc đó để dành cho lớp 9.

Bài sau vẫn dùng đúng quy trình năm bước, nhưng chuyển sang một bối cảnh khác: bài toán pha trộn hai dung dịch (hoặc hai loại hàng hóa) để được một hỗn hợp có nồng độ hoặc đơn giá mong muốn.