Bài học

Ôn tập tổng hợp: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

Mục tiêu bài học

Sau bài ôn tập, em vận dụng lại toàn bộ quy trình năm bước và các kĩ năng giải phương trình đã học trong khóa để giải một loạt bài toán tổng hợp, kể cả bài toán tuổi — một dạng quen thuộc trong đề kiểm tra.

Kiến thức nền cần nhớ

Bài này không có kiến thức mới — toàn bộ sáu bài trước của khóa học được huy động lại: khái niệm phương trình, quy tắc biến đổi, ĐKXĐ và phương trình có ẩn ở mẫu, phương trình trị tuyệt đối, cùng quy trình năm bước cho ba dạng bài toán lập phương trình.

Khởi động

Bài toán tuổi là một dạng quen thuộc trong đề kiểm tra: đề cho một mối quan hệ giữa tuổi hai người Ở HIỆN TẠI, và một mối quan hệ khác SAU (hoặc TRƯỚC) một số năm. Vì tuổi của cả hai người đều tăng CÙNG một lượng theo thời gian, phương trình lập được luôn là phương trình bậc nhất một ẩn quen thuộc — nhưng phải chọn đúng mối quan hệ nào để lập phương trình.

Kiến thức trọng tâm

Trong bài toán tuổi, khi thời gian trôi qua $n$ năm, tuổi của MỖI người đều cộng thêm đúng $n$ — như nhau cho mọi người. Vì vậy HIỆU số tuổi giữa hai người không bao giờ thay đổi theo thời gian; đề bài không bao giờ cho "hiệu tuổi sau này khác hiệu tuổi hiện tại", vì điều đó vô lí. Mối quan hệ thường đổi theo thời gian là TỈ SỐ giữa hai tuổi (ví dụ "gấp mấy lần"), vì tỉ số giữa hai số cùng cộng thêm một lượng sẽ tự nhiên thay đổi.

Trong bài toán tuổi, khi thời gian trôi qua $n$ năm, tuổi của MỖI người đều cộng thêm đúng $n$ — như nhau cho mọi người. Vì vậy HIỆU số tuổi giữa hai người không bao giờ thay đổi theo thời gian; đề bài không bao giờ cho \"hiệu tuổi sau này khác hiệu tuổi hiện tại\", vì điều đó vô lí. Mối quan hệ thường đổi theo thời gian là TỈ SỐ giữa hai tuổi (ví dụ \"gấp mấy lần\"), vì tỉ số giữa hai số cùng cộng thêm một lượng sẽ tự nhiên thay đổi.

Cách làm bài toán tuổi giữ nguyên quy trình năm bước: chọn tuổi một người làm ẩn (đặt điều kiện nguyên dương), biểu diễn tuổi người còn lại theo quan hệ HIỆN TẠI, biểu diễn tuổi của cả hai SAU (hoặc TRƯỚC) số năm đề cho bằng cách cộng (hoặc trừ) đều $n$ , rồi lập phương trình từ mối quan hệ TƯƠNG LAI (hoặc quá khứ) mà đề cho.

Cách làm bài toán tuổi giữ nguyên quy trình năm bước: chọn tuổi một người làm ẩn (đặt điều kiện nguyên dương), biểu diễn tuổi người còn lại theo quan hệ HIỆN TẠI, biểu diễn tuổi của cả hai SAU (hoặc TRƯỚC) số năm đề cho bằng cách cộng (hoặc trừ) đều $n$, rồi lập phương trình từ mối quan hệ TƯƠNG LAI (hoặc quá khứ) mà đề cho.

Hai ví dụ dưới đây không chỉ ôn bài toán tuổi, mà Ví dụ 2 còn quay lại đúng cấu trúc phương trình có ẩn ở mẫu của Chương 3 lồng bên trong một bài toán công việc chung — cho thấy các kĩ năng của khóa học không tách rời nhau, mà luôn có thể xuất hiện phối hợp trong cùng một bài.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Bài toán tuổi

1
Hiện nay tuổi cha gấp 3 lần tuổi con. Sau 5 năm nữa thì tuổi cha chỉ còn gấp 2 lần tuổi con. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.
2
Gọi tuổi con hiện nay là $x$ (tuổi), điều kiện $x$ nguyên dương. Tuổi cha hiện nay là $3x$ (tuổi).
Gọi tuổi con hiện nay là $x$ (tuổi), điều kiện $x$ nguyên dương. Tuổi cha hiện nay là $3x$ (tuổi).
3
Sau 5 năm, tuổi con là $x+5$ , tuổi cha là $3x+5$ .
Sau 5 năm, tuổi con là $x+5$, tuổi cha là $3x+5$.
4
Theo đề, sau 5 năm tuổi cha gấp 2 lần tuổi con: $3x+5=2(x+5)$ .
Theo đề, sau 5 năm tuổi cha gấp 2 lần tuổi con: $3x+5=2(x+5)$.
5
$3x+5=2x+10 \iff x=5$ .
$3x+5=2x+10 \iff x=5$.
6
$x=5$ nguyên dương, thỏa điều kiện. Vậy tuổi con hiện nay là 5 tuổi, tuổi cha hiện nay là $3\times 5=15$ tuổi (kiểm tra: sau 5 năm con 10 tuổi, cha 20 tuổi, đúng gấp 2 lần).
$x=5$ nguyên dương, thỏa điều kiện. Vậy tuổi con hiện nay là 5 tuổi, tuổi cha hiện nay là $3\times 5=15$ tuổi (kiểm tra: sau 5 năm con 10 tuổi, cha 20 tuổi, đúng gấp 2 lần).

Ví dụ

Bài toán tổng hợp: công việc chung có ẩn ở mẫu (dạng thi, ôn tập)

1
Một đội công nhân dự định làm xong một công việc trong $x$ ngày (năng suất không đổi mỗi ngày). Thực tế do tăng thêm nhân lực, đội làm xong sớm hơn dự định 2 ngày, và mỗi ngày làm được nhiều hơn dự định đúng $\dfrac{1}{12}$ khối lượng công việc. Tính số ngày dự định.
Một đội công nhân dự định làm xong một công việc trong $x$ ngày (năng suất không đổi mỗi ngày). Thực tế do tăng thêm nhân lực, đội làm xong sớm hơn dự định 2 ngày, và mỗi ngày làm được nhiều hơn dự định đúng $\dfrac{1}{12}$ khối lượng công việc. Tính số ngày dự định.
2
Gọi số ngày dự định là $x$ (ngày), điều kiện $x>2$ (để số ngày thực tế $x-2$ còn dương).
Gọi số ngày dự định là $x$ (ngày), điều kiện $x>2$ (để số ngày thực tế $x-2$ còn dương).
3
Năng suất dự định là $\dfrac{1}{x}$ (việc/ngày). Thực tế làm xong trong $x-2$ ngày nên năng suất thực tế là $\dfrac{1}{x-2}$ (việc/ngày).
Năng suất dự định là $\dfrac{1}{x}$ (việc/ngày). Thực tế làm xong trong $x-2$ ngày nên năng suất thực tế là $\dfrac{1}{x-2}$ (việc/ngày).
4
Đây là phương trình có ẩn ở mẫu như đã học ở Chương 3, với ĐKXĐ $x\ne 0$ và $x\ne 2$ (đã bao hàm trong điều kiện $x>2$ ở trên): $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}$ .
Đây là phương trình có ẩn ở mẫu như đã học ở Chương 3, với ĐKXĐ $x\ne 0$ và $x\ne 2$ (đã bao hàm trong điều kiện $x>2$ ở trên): $\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{12}$.
5
Quy đồng mẫu chung $x(x-2)$ : $\dfrac{x-(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{1}{12} \iff \dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{1}{12} \iff x(x-2)=24$ , tức $x^2-2x-24=0$ . Phân tích nhân tử: $(x-6)(x+4)=0$ , nên $x=6$ hoặc $x=-4$ .
Quy đồng mẫu chung $x(x-2)$: $\dfrac{x-(x-2)}{x(x-2)}=\dfrac{1}{12} \iff \dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{1}{12} \iff x(x-2)=24$, tức $x^2-2x-24=0$. Phân tích nhân tử: $(x-6)(x+4)=0$, nên $x=6$ hoặc $x=-4$.
6
$x=6$ thỏa $x>2$ và ĐKXĐ (nhận); $x=-4$ loại. Vậy theo dự định, đội cần làm xong công việc trong 6 ngày.
$x=6$ thỏa $x>2$ và ĐKXĐ (nhận); $x=-4$ loại. Vậy theo dự định, đội cần làm xong công việc trong 6 ngày.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Kiểm tra nhanh

Sai lầm thường gặp

Lỗi tổng hợp thường gặp nhất khi ôn tập: quên đặt điều kiện phù hợp với bối cảnh (tuổi phải nguyên dương, thời gian phải dương, số người phải nguyên); với phương trình có ẩn ở mẫu xuất hiện lại trong bài ôn tập, quên tìm ĐKXĐ trước khi quy đồng; và nhầm giữa biểu diễn đại lượng theo QUAN HỆ đề cho với biểu diễn theo TỔNG — hai cách cho ra hai phương trình hoàn toàn khác nhau.

Ghi nhớ

Năm dạng bài đã học — chuyển động, công việc chung, pha trộn và nồng độ, phần trăm và số học, bài toán tuổi — đều dùng chung quy trình năm bước; chúng chỉ khác nhau ở công thức liên hệ giữa các đại lượng của từng bối cảnh.

Nhìn lại toàn khóa: bốn bài đầu trang bị bộ công cụ GIẢI một phương trình (kể cả khi có ngoặc, ẩn ở mẫu, hay dấu trị tuyệt đối); năm bài sau dạy cách TỰ LẬP phương trình đó từ một bài toán kể bằng lời, qua năm bối cảnh quen thuộc của đề kiểm tra lớp 8. Hai nửa này luôn đi cùng nhau — lập đúng phương trình mà không giải được thì vô ích, và giải giỏi mà lập sai phương trình thì đáp số cũng sai ngay từ đầu.

Khóa học kế tiếp dùng đúng phương trình bậc nhất $y=ax+b$ — nhưng lần này không chỉ tìm MỘT giá trị $x$ , mà nghiên cứu toàn bộ đường thẳng nó vẽ nên khi $x$ thay đổi liên tục.

Khóa học kế tiếp dùng đúng phương trình bậc nhất $y=ax+b$ — nhưng lần này không chỉ tìm MỘT giá trị $x$, mà nghiên cứu toàn bộ đường thẳng nó vẽ nên khi $x$ thay đổi liên tục.