Đây là bản xem thử. Phiên bản đầy đủ trong ứng dụng có bài tập, AI chấm ngay và theo dõi tiến độ học.
Bài học
Bài toán pha trộn và nồng độ
Mục tiêu bài học
Sau bài này, em áp dụng được quy trình năm bước để giải bài toán pha trộn và nồng độ, biết theo dõi TỔNG khối lượng và TỔNG lượng "chất tan" (hoặc tổng giá trị) trước và sau khi trộn.
Kiến thức nền cần nhớ
Em cần nhớ khái niệm phần trăm: $x\%$ của một đại lượng $A$ bằng $\dfrac{x}{100}\times A$, đã học từ tiểu học và lớp 6, 7. Quy trình năm bước của hai bài trước cũng dùng lại nguyên vẹn ở đây.
Khởi động
Cô Hạnh có một loại nước muối mặn (nồng độ cao) và một loại nước muối nhạt (nồng độ thấp). Muốn pha ra một loại nước muối có nồng độ nằm GIỮA hai loại trên, cô cần trộn theo tỉ lệ nào — và làm sao tính chính xác tỉ lệ đó bằng phương trình?
Kiến thức trọng tâm
Nồng độ phần trăm của một dung dịch bằng $\dfrac{\text{khối lượng chất tan}}{\text{khối lượng dung dịch}}\times 100\%$. Khi trộn hai dung dịch, có hai đại lượng cần theo dõi riêng biệt: TỔNG KHỐI LƯỢNG dung dịch (cộng trực tiếp hai khối lượng thành phần), và TỔNG LƯỢNG CHẤT TAN (cũng cộng trực tiếp, nhưng phải tính lượng chất tan của MỖI phần theo nồng độ riêng của nó trước khi cộng).
Cách biểu diễn trước khi lập phương trình: dung dịch 1 có khối lượng $x$ (kg), nồng độ $c_1\%$, nên lượng chất tan là $\dfrac{c_1}{100}x$ (kg); dung dịch 2 có khối lượng còn lại (nếu tổng khối lượng $m$ đã cho trước), nồng độ $c_2\%$, lượng chất tan tương ứng; hỗn hợp có khối lượng $m$, nồng độ $c\%$, lượng chất tan $\dfrac{c}{100}m$ (kg). Phương trình lập từ nguyên tắc: tổng lượng chất tan trước khi trộn bằng lượng chất tan của hỗn hợp sau khi trộn (không có phản ứng hóa học nào làm mất chất tan).
Bài toán trộn giá tiền (gạo, cà phê, sữa…) hoàn toàn tương tự về cấu trúc: chỉ cần thay "chất tan" bằng "tổng số tiền", và thay "nồng độ" bằng "đơn giá" — nguyên tắc bảo toàn tổng vẫn giữ nguyên.
Vì sao KHÔNG được lấy trung bình cộng hai nồng độ? Hãy hình dung trộn 1kg dung dịch 20% với 99kg dung dịch 5% — hỗn hợp gần như toàn là dung dịch 5%, nên nồng độ hỗn hợp phải gần 5%, chứ không thể là $\dfrac{20+5}{2}=12{,}5\%$. Nồng độ hỗn hợp luôn nằm giữa hai nồng độ thành phần, nhưng lệch về phía nồng độ của phần có khối lượng LỚN hơn — đó chính là lí do phải lập phương trình thay vì tính nhẩm bằng trung bình cộng.
Khối lượng cộng trực tiếp ($40+60=100$), nhưng nồng độ hỗn hợp KHÔNG phải trung bình cộng của $20\%$ và $5\%$ — nó phụ thuộc vào tỉ lệ khối lượng của từng phần.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ
Pha trộn hai dung dịch muối
1
Cần trộn bao nhiêu kg dung dịch muối 20% với bao nhiêu kg dung dịch muối 5% để được 100kg dung dịch muối 11%?
2
Gọi khối lượng dung dịch 20% cần dùng là $x$ (kg), điều kiện $0<x<100$. Khối lượng dung dịch 5% cần dùng là $100-x$ (kg).
3
Lượng muối trong dung dịch 20% là $0{,}2x$ (kg); lượng muối trong dung dịch 5% là $0{,}05(100-x)$ (kg); lượng muối trong 100kg hỗn hợp 11% là $0{,}11\times 100=11$ (kg).
4
$0{,}2x+0{,}05(100-x)=11$.
5
$0{,}2x+5-0{,}05x=11 \iff 0{,}15x=6 \iff x=40$.
6
$x=40$ thỏa $0<x<100$. Vậy cần 40kg dung dịch 20% và $100-40=60$kg dung dịch 5%.
Ví dụ
Pha trộn hai loại gạo theo giá tiền (dạng thi)
1
Một cửa hàng trộn gạo loại I giá 20.000đ/kg với gạo loại II giá 14.000đ/kg để được 30kg gạo hỗn hợp giá 16.000đ/kg. Hỏi cần bao nhiêu kg gạo mỗi loại?
2
Gọi khối lượng gạo loại I cần dùng là $x$ (kg), điều kiện $0<x<30$. Khối lượng gạo loại II là $30-x$ (kg).
3
Số tiền gạo loại I là $20000x$ (đồng); số tiền gạo loại II là $14000(30-x)$ (đồng); số tiền hỗn hợp là $16000\times 30=480000$ (đồng).
$x=10$ thỏa $0<x<30$. Vậy cần 10kg gạo loại I và $30-10=20$kg gạo loại II.
Luyện tập có hướng dẫn
Luyện tập độc lập
Kiểm tra nhanh
Sai lầm thường gặp
Lỗi nặng nhất là cộng trực tiếp hai nồng độ rồi chia đôi để ra nồng độ hỗn hợp — sai, vì nồng độ hỗn hợp phụ thuộc vào TỈ LỆ khối lượng của hai phần, chỉ bằng trung bình cộng khi khối lượng hai phần bằng nhau. Lỗi khác là quên đổi phần trăm sang dạng thập phân khi tính lượng chất tan, dẫn tới phương trình sai một hệ số 100 lần.
Ghi nhớ
Nồng độ $\%=\dfrac{\text{chất tan}}{\text{dung dịch}}\times 100\%$. Khi trộn: khối lượng cộng trực tiếp, lượng chất tan cũng cộng trực tiếp (tính theo nồng độ riêng từng phần) rồi mới lập phương trình theo nồng độ của hỗn hợp. Với bài toán giá tiền, thay chất tan bằng tổng tiền và nồng độ bằng đơn giá — cấu trúc phương trình giữ nguyên.
Nhìn lại toàn chương: bài chuyển động dùng công thức $s=v\times t$, bài công việc chung dùng năng suất $\dfrac{1}{t}$, còn bài pha trộn dùng nồng độ $\dfrac{\text{chất tan}}{\text{dung dịch}}$ — ba công thức khác hẳn nhau, nhưng đều được đưa vào ĐÚNG MỘT khung xử lí duy nhất: biểu diễn mọi đại lượng qua một ẩn rồi lập phương trình từ MỘT mối quan hệ đề cho. Nắm vững khung xử lí này quan trọng hơn nhớ thuộc lòng từng công thức riêng lẻ, vì bài toán ở đề kiểm tra luôn đổi bối cảnh mới.
Chương cuối cùng khép lại quy trình năm bước với hai dạng bài quen thuộc: bài toán phần trăm và bài toán số học liên hệ hai đại lượng, trước khi ôn tập tổng hợp toàn bộ khóa học.
Em cần nhớ khái niệm phần trăm: x% của một đại lượng A bằng 100x×A, đã học từ tiểu học và lớp 6, 7. Quy trình năm bước của hai bài trước cũng dùng lại nguyên vẹn ở đây.
Nồng độ phần trăm của một dung dịch bằng khoˆˊi lượng dung dịchkhoˆˊi lượng chaˆˊt tan×100%. Khi trộn hai dung dịch, có hai đại lượng cần theo dõi riêng biệt: TỔNG KHỐI LƯỢNG dung dịch (cộng trực tiếp hai khối lượng thành phần), và TỔNG LƯỢNG CHẤT TAN (cũng cộng trực tiếp, nhưng phải tính lượng chất tan của MỖI phần theo nồng độ riêng của nó trước khi cộng).
Cách biểu diễn trước khi lập phương trình: dung dịch 1 có khối lượng x (kg), nồng độ c1%, nên lượng chất tan là 100c1x (kg); dung dịch 2 có khối lượng còn lại (nếu tổng khối lượng m đã cho trước), nồng độ c2%, lượng chất tan tương ứng; hỗn hợp có khối lượng m, nồng độ c%, lượng chất tan 100cm (kg). Phương trình lập từ nguyên tắc: tổng lượng chất tan trước khi trộn bằng lượng chất tan của hỗn hợp sau khi trộn (không có phản ứng hóa học nào làm mất chất tan).
Vì sao KHÔNG được lấy trung bình cộng hai nồng độ? Hãy hình dung trộn 1kg dung dịch 20% với 99kg dung dịch 5% — hỗn hợp gần như toàn là dung dịch 5%, nên nồng độ hỗn hợp phải gần 5%, chứ không thể là 220+5=12,5%. Nồng độ hỗn hợp luôn nằm giữa hai nồng độ thành phần, nhưng lệch về phía nồng độ của phần có khối lượng LỚN hơn — đó chính là lí do phải lập phương trình thay vì tính nhẩm bằng trung bình cộng.
Khối lượng cộng trực tiếp (40+60=100), nhưng nồng độ hỗn hợp KHÔNG phải trung bình cộng của 20% và 5% — nó phụ thuộc vào tỉ lệ khối lượng của từng phần.
Gọi khối lượng dung dịch 20% cần dùng là x (kg), điều kiện 0<x<100. Khối lượng dung dịch 5% cần dùng là 100−x (kg).
Lượng muối trong dung dịch 20% là 0,2x (kg); lượng muối trong dung dịch 5% là 0,05(100−x) (kg); lượng muối trong 100kg hỗn hợp 11% là 0,11×100=11 (kg).
0,2x+0,05(100−x)=11.
0,2x+5−0,05x=11⟺0,15x=6⟺x=40.
x=40 thỏa 0<x<100. Vậy cần 40kg dung dịch 20% và 100−40=60kg dung dịch 5%.
Gọi khối lượng gạo loại I cần dùng là x (kg), điều kiện 0<x<30. Khối lượng gạo loại II là 30−x (kg).
Số tiền gạo loại I là 20000x (đồng); số tiền gạo loại II là 14000(30−x) (đồng); số tiền hỗn hợp là 16000×30=480000 (đồng).
20000x+14000(30−x)=480000.
20000x+420000−14000x=480000⟺6000x=60000⟺x=10.
x=10 thỏa 0<x<30. Vậy cần 10kg gạo loại I và 30−10=20kg gạo loại II.
Nồng độ %=dung dịchchaˆˊt tan×100%. Khi trộn: khối lượng cộng trực tiếp, lượng chất tan cũng cộng trực tiếp (tính theo nồng độ riêng từng phần) rồi mới lập phương trình theo nồng độ của hỗn hợp. Với bài toán giá tiền, thay chất tan bằng tổng tiền và nồng độ bằng đơn giá — cấu trúc phương trình giữ nguyên.
Nhìn lại toàn chương: bài chuyển động dùng công thức s=v×t, bài công việc chung dùng năng suất t1, còn bài pha trộn dùng nồng độ dung dịchchaˆˊt tan — ba công thức khác hẳn nhau, nhưng đều được đưa vào ĐÚNG MỘT khung xử lí duy nhất: biểu diễn mọi đại lượng qua một ẩn rồi lập phương trình từ MỘT mối quan hệ đề cho. Nắm vững khung xử lí này quan trọng hơn nhớ thuộc lòng từng công thức riêng lẻ, vì bài toán ở đề kiểm tra luôn đổi bối cảnh mới.