Bài học

Hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định nghĩa hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông theo hình bình hành, giải thích được các tính chất riêng của từng loại (đường chéo bằng nhau ở hình chữ nhật; đường chéo vuông góc ở hình thoi), và phân loại được một tứ giác cụ thể dựa trên các dấu hiệu đó.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần dùng lại ba tính chất của hình bình hành vừa học ở bài trước (cạnh đối, góc đối, đường chéo cắt nhau tại trung điểm), cùng định lý Pythagore ở hai bài đầu chương và tính chất tam giác cân (đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao) đã học ở lớp 7.

Khởi động

Một người thợ đóng khung tranh hình chữ nhật, sau khi ghép bốn cạnh xong, đo hai đường chéo của khung. Nếu hai đường chéo bằng nhau, người thợ kết luận khung đã vuông góc chuẩn, không cần đo từng góc bằng ê-ke. Vì sao cách kiểm tra đó lại đúng?

Kiến thức trọng tâm

Hình chữ nhật là hình bình hành có một góc vuông. Hình thoi là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau. Hình vuông là hình vừa có một góc vuông vừa có hai cạnh kề bằng nhau — tức vừa là hình chữ nhật, vừa là hình thoi. Cả ba đều kế thừa nguyên vẹn ba tính chất của hình bình hành, rồi cộng thêm tính chất riêng do điều kiện mới mang lại.

Lời giải có hình

Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau

Bước 1

Cho hình chữ nhật $ABCD$ — hình bình hành có một góc vuông, ở đây là $\hat A=90°$ .Cho hình chữ nhật $ABCD$ — hình bình hành có một góc vuông, ở đây là $\hat A=90°$.

Ví dụ

Kiểm tra lại đường chéo hình chữ nhật bằng định lý Pythagore (dạng thi)

1
Một khung tranh hình chữ nhật có chiều dài 6 dm, chiều rộng 8 dm. Tính độ dài đường chéo khung tranh.
2
Đường chéo chia hình chữ nhật thành tam giác vuông với hai cạnh góc vuông chính là chiều dài và chiều rộng: 6 dm và 8 dm.
3
Đường chéo $^2=6^2+8^2=36+64=100$ , suy ra đường chéo $=\sqrt{100}=10$ dm.
Đường chéo$^2=6^2+8^2=36+64=100$, suy ra đường chéo $=\sqrt{100}=10$ dm.
4
Vậy đường chéo khung tranh dài 10 dm — kết quả này khớp đúng với tính chất vừa chứng minh: hình chữ nhật luôn có hai đường chéo bằng nhau, và ở đây cả hai đường chéo đều dài 10 dm.

Lời giải có hình

Hình thoi có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm

Bước 1

Cho hình thoi $ABCD$ — hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, ở đây $AB=AD$ .Cho hình thoi $ABCD$ — hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, ở đây $AB=AD$.

Ví dụ

Tính diện tích hình thoi từ hai đường chéo

1
Hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC=6$ cm và $BD=8$ cm. Tính diện tích hình thoi.
Hình thoi $ABCD$ có hai đường chéo $AC=6$ cm và $BD=8$ cm. Tính diện tích hình thoi.
2
Vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường (vừa chứng minh), $O$ chia $AC$ thành hai nửa dài 3 cm, chia $BD$ thành hai nửa dài 4 cm — tạo ra bốn tam giác vuông bằng nhau tại $O$ .
Vì hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm $O$ mỗi đường (vừa chứng minh), $O$ chia $AC$ thành hai nửa dài 3 cm, chia $BD$ thành hai nửa dài 4 cm — tạo ra bốn tam giác vuông bằng nhau tại $O$.
3
Mỗi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, diện tích $\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$ cm². Diện tích hình thoi $=4\times 6=24$ cm².
Mỗi tam giác vuông có hai cạnh góc vuông 3 cm và 4 cm, diện tích $\frac{1}{2}\times 3\times 4=6$ cm². Diện tích hình thoi $=4\times 6=24$ cm².
4
Vậy diện tích hình thoi bằng 24 cm² — đúng bằng công thức quen thuộc $S=\frac{1}{2}\times d_1\times d_2=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$ cm².
Vậy diện tích hình thoi bằng 24 cm² — đúng bằng công thức quen thuộc $S=\frac{1}{2}\times d_1\times d_2=\frac{1}{2}\times 6\times 8=24$ cm².

Hình vuông gộp cả hai: bốn góc vuông (như hình chữ nhật) và bốn cạnh bằng nhau (như hình thoi), nên hai đường chéo của hình vuông vừa bằng nhau, vừa vuông góc, vừa cắt nhau tại trung điểm mỗi đường — đầy đủ mọi tính chất đã chứng minh ở trên cộng lại.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nghĩ MỌI hình thoi đều là hình vuông — sai, hình thoi chỉ cần bốn cạnh bằng nhau, góc có thể không vuông. Một lỗi khác là nhầm tính chất: gán "đường chéo bằng nhau" cho hình thoi (đó là tính chất của hình chữ nhật) hoặc gán "đường chéo vuông góc" cho hình chữ nhật (đó là tính chất của hình thoi) — hai tính chất này thuộc về hai hình khác nhau, chỉ hình vuông mới có cả hai.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Hình chữ nhật = hình bình hành + một góc vuông ⟹ bốn góc vuông, hai đường chéo bằng nhau. Hình thoi = hình bình hành + hai cạnh kề bằng nhau ⟹ bốn cạnh bằng nhau, hai đường chéo vuông góc và là phân giác các góc. Hình vuông = cả hai điều kiện cộng lại. Diện tích hình thoi $=\frac{1}{2}d_1 d_2$ .

Bảy tính chất và dấu hiệu của cả họ tứ giác — hình thang cân, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông — cùng định lý Pythagore đã đủ để giải phần lớn bài hình học lớp 8 liên quan đến tứ giác. Chương ôn tập cuối cùng ghép chúng lại trong vài bài toán tổng hợp, đúng phong cách một đề kiểm tra thật.