Bài học

Tứ giác và tổng các góc trong một tứ giác

Mục tiêu bài học

Sau bài này, em phát biểu đúng định nghĩa tứ giác lồi, giải thích được vì sao tổng bốn góc trong của một tứ giác luôn bằng 360°, và tính được góc còn thiếu trong một tứ giác khi biết ba góc kia, kể cả khi đề bài cho các góc dưới dạng biểu thức.

Kiến thức nền cần nhớ

Em cần nhớ lại một kết quả đã học ở lớp 7: tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180°. Bài này dùng ngay kết quả đó, cộng với một đường chéo, để suy ra tổng bốn góc của một hình bốn cạnh — tứ giác.

Khởi động

Một tấm bìa hình chữ nhật có bốn góc đều vuông, tổng bốn góc là $90°\times 4=360°$ . Nếu em cắt xiên một góc của tấm bìa thành một hình bốn cạnh không đều nữa, tổng bốn góc trong của hình mới có còn là 360° không, hay đã đổi khác?

Một tấm bìa hình chữ nhật có bốn góc đều vuông, tổng bốn góc là $90°\times 4=360°$. Nếu em cắt xiên một góc của tấm bìa thành một hình bốn cạnh không đều nữa, tổng bốn góc trong của hình mới có còn là 360° không, hay đã đổi khác?

Kiến thức trọng tâm

Tứ giác $ABCD$ gồm bốn điểm $A, B, C, D$ , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, nối bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$ khép kín sao cho hai đoạn bất kỳ không có điểm chung nào khác ngoài đỉnh. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó — nói cách khác, cả hai đường chéo đều nằm trọn bên trong tứ giác. Từ bài này trở đi, mọi tứ giác em gặp, nếu không nói gì thêm, đều hiểu là tứ giác lồi.

Tứ giác $ABCD$ gồm bốn điểm $A, B, C, D$, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, nối bốn đoạn thẳng $AB, BC, CD, DA$ khép kín sao cho hai đoạn bất kỳ không có điểm chung nào khác ngoài đỉnh. Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm về một phía của đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của nó — nói cách khác, cả hai đường chéo đều nằm trọn bên trong tứ giác. Từ bài này trở đi, mọi tứ giác em gặp, nếu không nói gì thêm, đều hiểu là tứ giác lồi.

Điều kiện lồi quan trọng ngay trong chứng minh dưới đây: chỉ khi tứ giác lồi, đường chéo $AC$ mới chắc chắn nằm trọn bên trong tứ giác và chia đúng góc $A$ , góc $C$ thành hai góc kề nhau cộng lại vừa đủ. Một tứ giác lõm (có một góc trong lớn hơn $180°$ , gọi là góc phản) vẫn có tổng bốn góc bằng $360°$ , nhưng đường chéo nối hai đỉnh không kề của nó có thể đi ra ngoài hình, nên lập luận cần điều chỉnh khác — phần đó vượt ngoài yêu cầu lớp 8, em chỉ cần biết cách nhận ra một tứ giác lõm qua góc phản của nó.

Điều kiện lồi quan trọng ngay trong chứng minh dưới đây: chỉ khi tứ giác lồi, đường chéo $AC$ mới chắc chắn nằm trọn bên trong tứ giác và chia đúng góc $A$, góc $C$ thành hai góc kề nhau cộng lại vừa đủ. Một tứ giác lõm (có một góc trong lớn hơn $180°$, gọi là góc phản) vẫn có tổng bốn góc bằng $360°$, nhưng đường chéo nối hai đỉnh không kề của nó có thể đi ra ngoài hình, nên lập luận cần điều chỉnh khác — phần đó vượt ngoài yêu cầu lớp 8, em chỉ cần biết cách nhận ra một tứ giác lõm qua góc phản của nó.

Lời giải có hình

Chứng minh tổng bốn góc trong một tứ giác lồi bằng 360°

Bước 1

Cho tứ giác lồi $ABCD$ . Chứng minh $\hat A+\hat B+\hat C+\hat D=360°$ .Cho tứ giác lồi $ABCD$. Chứng minh $\hat A+\hat B+\hat C+\hat D=360°$.

Ví dụ minh hoạ

Ví dụ

Tìm góc còn thiếu khi biết ba góc

1
Một tứ giác có ba góc lần lượt là $80°$ , $90°$ , $100°$ . Tính góc còn lại.
Một tứ giác có ba góc lần lượt là $80°$, $90°$, $100°$. Tính góc còn lại.
2
Theo định lý vừa chứng minh, tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360°$ , nên góc còn lại bằng $360°$ trừ đi tổng ba góc đã biết.
Theo định lý vừa chứng minh, tổng bốn góc trong tứ giác bằng $360°$, nên góc còn lại bằng $360°$ trừ đi tổng ba góc đã biết.
3
Tổng ba góc đã biết: $80°+90°+100°=270°$ . Góc còn lại $=360°-270°=90°$ .
Tổng ba góc đã biết: $80°+90°+100°=270°$. Góc còn lại $=360°-270°=90°$.
4
Vậy góc thứ tư của tứ giác bằng $90°$ .

Ví dụ

Tìm các góc theo một tỉ lệ cho trước (dạng thi)

1
Một khung cửa sổ hình tứ giác $ABCD$ có góc $B$ gấp đôi góc $A$ , góc $C$ hơn góc $A$ đúng $20°$ , và góc $D=100°$ . Tính số đo từng góc.
Một khung cửa sổ hình tứ giác $ABCD$ có góc $B$ gấp đôi góc $A$, góc $C$ hơn góc $A$ đúng $20°$, và góc $D=100°$. Tính số đo từng góc.
2
Gọi số đo góc $A$ là $x$ (độ). Khi đó $\hat B=2x$ , $\hat C=x+20$ , $\hat D=100$ .
Gọi số đo góc $A$ là $x$ (độ). Khi đó $\hat B=2x$, $\hat C=x+20$, $\hat D=100$.
3
Ta có $\hat A+\hat B+\hat C+\hat D=360°$ , nên $x+2x+(x+20)+100=360$ , tức $4x+120=360$ .
Ta có $\hat A+\hat B+\hat C+\hat D=360°$, nên $x+2x+(x+20)+100=360$, tức $4x+120=360$.
4
Suy ra $4x=240$ , nên $x=60$ .
Suy ra $4x=240$, nên $x=60$.
5
Vậy $\hat A=60°$ , $\hat B=2\times 60=120°$ , $\hat C=60+20=80°$ , $\hat D=100°$ . Kiểm tra lại: $60+120+80+100=360°$ (TMĐK).
Vậy $\hat A=60°$, $\hat B=2\times 60=120°$, $\hat C=60+20=80°$, $\hat D=100°$. Kiểm tra lại: $60+120+80+100=360°$ (TMĐK).

Ví dụ

Nhận biết tứ giác lồi từ số đo bốn góc

1
Tứ giác thứ nhất có bốn góc $95°, 80°, 150°, 35°$ . Tứ giác thứ hai có bốn góc $210°, 90°, 40°, 20°$ . Cả hai đều có tổng đúng $360°$ . Tứ giác nào là tứ giác lồi?
Tứ giác thứ nhất có bốn góc $95°, 80°, 150°, 35°$. Tứ giác thứ hai có bốn góc $210°, 90°, 40°, 20°$. Cả hai đều có tổng đúng $360°$. Tứ giác nào là tứ giác lồi?
2
Cả bốn góc của tứ giác thứ nhất đều nhỏ hơn $180°$ ( $95°, 80°, 150°, 35°$ ), nên tứ giác này là tứ giác lồi.
Cả bốn góc của tứ giác thứ nhất đều nhỏ hơn $180°$ ($95°, 80°, 150°, 35°$), nên tứ giác này là tứ giác lồi.
3
Tứ giác thứ hai có một góc $210°$ , lớn hơn $180°$ — đây là góc phản, khiến một đỉnh của tứ giác lõm vào phía trong. Tứ giác này không phải tứ giác lồi, dù tổng bốn góc vẫn đúng $360°$ .
Tứ giác thứ hai có một góc $210°$, lớn hơn $180°$ — đây là góc phản, khiến một đỉnh của tứ giác lõm vào phía trong. Tứ giác này không phải tứ giác lồi, dù tổng bốn góc vẫn đúng $360°$.
4
Vậy chỉ tứ giác thứ nhất là tứ giác lồi. Điều kiện lồi không nằm ở tổng các góc — cả hai tứ giác đều đúng $360°$ — mà nằm ở việc không có góc nào vượt quá $180°$ .
Vậy chỉ tứ giác thứ nhất là tứ giác lồi. Điều kiện lồi không nằm ở tổng các góc — cả hai tứ giác đều đúng $360°$ — mà nằm ở việc không có góc nào vượt quá $180°$.

Luyện tập có hướng dẫn

Luyện tập độc lập

Sai lầm thường gặp

Nhiều bạn nhầm tổng bốn góc tứ giác với tổng ba góc tam giác, lấy $180°$ để trừ thay vì $360°$ — hai công thức trông giống nhau nhưng áp dụng cho hai hình khác nhau. Một lỗi khác là cộng thiếu một góc khi đề cho các góc dưới dạng biểu thức chứa ẩn, dẫn đến lập sai phương trình, hoặc quên đơn vị độ khi trình bày kết quả cuối. Luôn kiểm tra lại bằng cách cộng đủ cả bốn góc vừa tìm được — tổng phải đúng $360°$ , không hơn không kém.

Kiểm tra nhanh

Ghi nhớ

Tứ giác lồi luôn nằm trọn về một phía đường thẳng chứa mỗi cạnh, và cả hai đường chéo nằm trong tứ giác — nhận ra tứ giác lõm bằng một góc trong lớn hơn $180°$ . Tổng bốn góc trong của một tứ giác (lồi hay lõm) luôn bằng $360°$ — chứng minh bằng cách kẻ một đường chéo, tách thành hai tam giác có tổng góc $180°$ mỗi tam giác, rồi cộng lại.

Tứ giác lồi luôn nằm trọn về một phía đường thẳng chứa mỗi cạnh, và cả hai đường chéo nằm trong tứ giác — nhận ra tứ giác lõm bằng một góc trong lớn hơn $180°$. Tổng bốn góc trong của một tứ giác (lồi hay lõm) luôn bằng $360°$ — chứng minh bằng cách kẻ một đường chéo, tách thành hai tam giác có tổng góc $180°$ mỗi tam giác, rồi cộng lại.

Tứ giác nói chung có thể mang đủ mọi hình dạng. Bài tiếp theo thu hẹp lại thành một họ tứ giác đặc biệt và quen thuộc: hình thang — tứ giác có ít nhất một cặp cạnh song song.